система Постникова

В гомотопической теории , ветви алгебраической топологии , система Постникова (или башня Постникова ) — это способ разложения топологического пространства путем фильтрации его гомотопического типа . Это выглядит так: для пространства существует список пространств , где${\displaystyle X}$${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&{\text{ for }}k\leq n\\0&{\text{ for }}k>n\end{cases}}}$

и есть ряд отображений , которые являются расслоениями со слоями пространств Эйленберга-Маклейна . Короче говоря, мы разлагаем гомотопический тип с помощью обратной системы топологических пространств, гомотопический тип которых в степени совпадает с усеченным гомотопическим типом исходного пространства . Системы Постникова были введены Михаилом Постниковым и названы в его честь .${\displaystyle \phi _{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle к}$${\displaystyle X}$

Существует похожая конструкция, называемая башней Уайтхеда (определена ниже), где вместо пространств с гомотопическим типом для степеней эти пространства имеют нулевые гомотопические группы для для .${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \leq n}$${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})=0}$${\displaystyle 1<k<n}$

Система Постникова линейно связного пространства является обратной системой пространств${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *}$

с последовательностью карт, совместимых с обратной системой, такой что${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$

1. Отображение индуцирует изоморфизм для каждого .${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$${\displaystyle \pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})}$${\displaystyle i\leq n}$
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$для . ^{[1] : 410}${\displaystyle i>n}$
3. Каждое отображение является расслоением , и поэтому волокно является пространством Эйленберга–Маклейна .${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

Первые два условия подразумевают, что также является -пространством. В более общем смысле, если является -связным, то является -пространством и все для являются стягиваемыми . Обратите внимание, что третье условие включается только факультативно некоторыми авторами.${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle K(\pi _{1}(X),1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i<n}$

Системы Постникова существуют на связных комплексах CW , ^{[1] : 354} и существует слабая гомотопическая эквивалентность между и его обратным пределом, поэтому${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_{n}}$,

показывая, что является CW-приближением его обратного предела. Они могут быть построены на CW-комплексе путем итеративного уничтожения гомотопических групп. Если у нас есть отображение, представляющее гомотопический класс , мы можем выполнить выталкивание вдоль граничного отображения , убивая гомотопический класс. Для этот процесс может быть повторен для всех , давая пространство, которое имеет исчезающие гомотопические группы . Используя тот факт, что может быть построено из путем уничтожения всех гомотопических отображений , мы получаем отображение .${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S^{n}\to X}$${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}$${\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}$${\displaystyle X_{m}}$${\displaystyle n>m}$${\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}$${\displaystyle X_{n-1}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle S^{n}\to X_{n}}$${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$

Одним из основных свойств башни Постникова, делающим ее столь эффективной для изучения при вычислении когомологий, является тот факт, что пространства гомотопны комплексу CW , который отличается от только ячейками размерности .${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \geq n+2}$

Последовательность расслоений ^[2] имеет гомотопически определенные инварианты, то есть гомотопические классы отображений , дают хорошо определенный гомотопический тип . Гомотопический класс получается из рассмотрения гомотопического класса классифицирующей карты для волокна . Соответствующая классифицирующая карта — это${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle [X]\in \operatorname {Ob} (hTop)}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

${\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)}$,

следовательно, гомотопический класс классифицируется гомотопическим классом${\displaystyle [p_{n}]}$

${\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}$

называемый n- м инвариантом Постникова для , поскольку гомотопические классы отображений в пространства Эйленберга-Маклейна дают когомологии с коэффициентами в ассоциированной абелевой группе.${\displaystyle X}$

Одним из частных случаев гомотопической классификации является гомотопический класс пространств, для которых существует расслоение${\displaystyle X}$

${\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}$

давая гомотопический тип с двумя нетривиальными гомотопическими группами, и . Тогда, из предыдущего обсуждения, отображение расслоения дает класс когомологий в${\displaystyle \pi _{1}(X)=G}$${\displaystyle \pi _{n}(X)=A}$${\displaystyle BG\to K(A,n+1)}$

${\displaystyle H^{n+1}(BG,A)}$,

который также может быть интерпретирован как класс групповых когомологий . Это пространство можно считать более высокой локальной системой .${\displaystyle X}$

Одним из концептуально простейших случаев башни Постникова является случай пространства Эйленберга–Маклейна . Это дает башню с${\displaystyle K(G,n)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{for }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{for }}i\geq n\end{matrix}}}$

Башня Постникова для сферы — это особый случай, первые несколько членов которого можно понять явно. Поскольку у нас есть первые несколько гомотопических групп из односвязности , теории степеней сфер и расслоения Хопфа, что дает для , следовательно${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}$${\displaystyle k\geq 3}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}}$

Затем, и происходит из последовательности отката${\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}$${\displaystyle X_{3}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}}$

который является элементом в

${\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }$.

Если бы это было тривиально, то это подразумевало бы . Но это не так! Фактически, это отвечает за то, почему строгие бесконечные группоиды не моделируют гомотопические типы. ^[3] Вычисление этого инварианта требует больше работы, но может быть явно найдено. ^[4] Это квадратичная форма , полученная из расслоения Хопфа . Обратите внимание, что каждый элемент в дает другой гомотопический 3-тип.${\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}$${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$${\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$

Одним из приложений башни Постникова является вычисление гомотопических групп сфер . ^[5] Для -мерной сферы мы можем использовать теорему Гуревича, чтобы показать, что каждая стягиваема для , поскольку теорема подразумевает, что нижние гомотопические группы тривиальны. Напомним, что существует спектральная последовательность для любого расслоения Серра , например, расслоение${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S_{i}^{n}}$${\displaystyle i<n}$

${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)}$.

Затем мы можем сформировать гомологическую спектральную последовательность с -термами${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$.

И первое нетривиальное отображение в ,${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$,

эквивалентно записано как

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$.

Если легко вычислить и , то мы можем получить информацию о том, как выглядит эта карта. В частности, если это изоморфизм, мы получаем вычисление . Для случая это можно вычислить явно, используя расслоение путей для , основное свойство башни Постникова для (давая , и теорему об универсальном коэффициенте , дающую . Более того, из-за теоремы Фрейденталя о подвеске это фактически дает стабильную гомотопическую группу, поскольку стабильна для .${\displaystyle H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)}$${\displaystyle H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)}$${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}$${\displaystyle H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0}$${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}$${\displaystyle \pi _{n+k}\left(S^{n}\right)}$${\displaystyle n\geq k+2}$

Обратите внимание, что аналогичные методы можно применить с использованием башни Уайтхеда (ниже) для вычисления и , что даст первые две нетривиальные стабильные гомотопические группы сфер.${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)}$${\displaystyle \pi _{5}\left(S^{3}\right)}$

Помимо классической башни Постникова, в стабильной гомотопической теории существует понятие башен Постникова, построенных на спектрах ^{[6] стр. 85-86} .

Для спектра башня Постникова представляет собой диаграмму в гомотопической категории спектров, заданную формулой${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})}$

${\displaystyle \cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}}$,

с картами

${\displaystyle \tau _{n}:E\to E_{(n)}}$

коммутируя с картами. Тогда эта башня является башней Постникова, если выполняются следующие два условия:${\displaystyle p_{n}}$

1. ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0}$для ,${\displaystyle i>n}$
2. ${\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)}$является изоморфизмом для ,${\displaystyle i\leq n}$

где — стабильные гомотопические группы спектра. Оказывается, у каждого спектра есть башня Постникова, и эту башню можно построить с помощью индуктивной процедуры, похожей на ту, что приведена выше.${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }}$

При наличии комплекса CW существует дуальная конструкция к башне Постникова, называемая башней Уайтхеда . Вместо того, чтобы убивать все высшие гомотопические группы, башня Уайтхеда итеративно убивает низшие гомотопические группы. Это дается башней комплексов CW,${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$,

где

1. Нижние гомотопические группы равны нулю, поэтому для .${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$${\displaystyle i\leq n}$
2. Индуцированное отображение является изоморфизмом для .${\displaystyle \pi _{i}:\pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)}$${\displaystyle i>n}$
3. Карты представляют собой расслоения с волокнами .${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$

Обратите внимание , что это универсальное покрытие , поскольку это покрывающее пространство с односвязным покрытием. Кроме того, каждое является универсально -связным покрытием .${\displaystyle X_{1}\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{n}\to X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

Пространства в башне Уайтхеда строятся индуктивно. Если мы построим a, убивая высшие гомотопические группы в , ^[7] мы получим вложение . Если мы позволим${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\right\}}$

для некоторой фиксированной базовой точки , то индуцированное отображение является расслоением со слоем, гомеоморфным${\displaystyle p}$${\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}$

${\displaystyle \Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)}$,

и поэтому у нас есть расслоение Серра

${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}}$.

Используя длинную точную последовательность в теории гомотопий, мы имеем, что для , для , и, наконец, существует точная последовательность${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)}$${\displaystyle i\geq n+1}$${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}$${\displaystyle i<n-1}$

${\displaystyle 0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0}$,

где если средний морфизм является изоморфизмом, то другие две группы равны нулю. Это можно проверить, посмотрев на включение и заметив, что пространство Эйленберга–Маклана имеет клеточное разложение${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}$; таким образом,

${\displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)}$,

дающий желаемый результат.

Другой способ рассматривать компоненты в башне Уайтхеда — как гомотопическое волокно . Если мы возьмем

${\displaystyle {\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})}$

от башни Постникова мы получаем пространство, которое имеет${\displaystyle X^{n}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}}$

Двойственное понятие башни Уайтхеда можно определить аналогичным образом, используя гомотопические волокна в категории спектров. Если мы допустим

${\displaystyle E\langle n\rangle =\operatorname {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n)}\right)}$

то это можно организовать в башню, дающую связные покрытия спектра. Это широко используемая конструкция ^{[8] [9] [10]} в теории бордизмов , потому что покрытия неориентированного спектра кобордизмов дают другие теории бордизмов ^[10]${\displaystyle M{\text{O}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}}$

например, струнный бордизм.

В геометрии Spin группа строится как универсальное покрытие Специальной ортогональной группы , так же как и расслоение, дающее первый член в башне Уайтхеда. Существуют физически релевантные интерпретации для более высоких частей в этой башне, которые можно прочитать как${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$

где - -связное покрытие, называемое группой струн , и - -связное покрытие, называемое группой пятибран . ^{[11] [12]}${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$${\displaystyle 7}$

• Спектральная последовательность Адамса
• Пространство Эйленберга–Маклейна
• комплекс ХО
• Теория преград
• Стабильная гомотопическая теория
• Гомотопические группы сфер
• Высшая группа

• Постников, Михаил М. (1951). «Определение групп гомологии пространства с помощью гомотопических инвариантов». Доклады Академии наук СССР . 76 : 359–362.
• Максим, Лауренциу. «Конспект лекций по теории гомотопий и ее приложениям» (PDF) . www.math.wisc.edu .
• Определение вторых групп гомологий и когомологий пространства с помощью гомотопических инвариантов - дает доступные примеры инвариантов Постникова
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79540-1.
• Чжан. "Башни Постникова, башни Уайтхеда и их приложения (рукописные заметки)" (PDF) . www.math.purdue.edu . Архивировано из оригинала (PDF) 2020-02-13.