Абелева 2-группа

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Эта статья может показаться читателям запутанной или непонятной .Пожалуйста, помогите прояснить статью . Возможно, на странице обсуждения будет обсуждение по этому поводу . ( Декабрь 2022 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) В статье содержится список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Декабрь 2022 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В математике абелева 2-группа является более многомерным аналогом абелевой группы в смысле высшей алгебры ^[1] , которые были первоначально введены Александром Гротендиком при изучении абстрактных структур, окружающих абелевы многообразия и группы Пикара . ^[2] Более конкретно, они задаются группоидами , которые имеют бифунктор , который действует формально как сложение абелевой группы. А именно, бифунктор имеет понятие коммутативности , ассоциативности и структуры тождества . Хотя это кажется довольно возвышенной и абстрактной структурой, существует несколько (очень конкретных) примеров абелевых 2-групп. Фактически, некоторые из них предоставляют прототипы для более сложных примеров высших алгебраических структур, таких как абелевы n -группы .${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle +:\mathbb {A} \times \mathbb {A} \to \mathbb {A} }$${\displaystyle +}$

Абелева 2-группа — это группоид (то есть категория , в которой каждый морфизм является изоморфизмом ) с бифунктором и естественными преобразованиями${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle +:\mathbb {A} \times \mathbb {A} \to \mathbb {A} }$

${\displaystyle {\begin{align}\tau :&X+Y\Стрелка вправо Y+X\\\sigma :&(X+Y)+Z\Стрелка вправо X+(Y+Z)\end{align}}}$

которые удовлетворяют множеству аксиом, гарантирующих, что эти преобразования ведут себя подобно коммутативности ( ) и ассоциативности для абелевой группы. Один из мотивирующих примеров такой категории исходит из категории Пикара линейных расслоений на схеме (см. ниже).${\displaystyle \тау}$${\displaystyle (\сигма)}$

Для схемы или многообразия существует абелева 2-группа , объектами которой являются линейные расслоения , а морфизмы задаются изоморфизмами линейных расслоений. Обратите внимание на заданное линейное расслоение${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {\textbf {Pic}} X}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\text{Конец}}({\mathcal {L}})={\text{Авт}}({\mathcal {L}})\cong {\mathcal {O}}_{X}^{*}}$

поскольку единственные автоморфизмы линейного расслоения задаются неисчезающей функцией на . Аддитивная структура задается тензорным произведением на линейных расслоениях. Это делает более понятным, почему должны быть естественные преобразования вместо равенства функторов . Например, у нас есть только изоморфизм линейных расслоений${\displaystyle X}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \otimes}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {L}}'\cong {\mathcal {L}}'\otimes {\mathcal {L}}}$

но не прямое равенство. Этот изоморфизм не зависит от выбранных линейных расслоений и является функториальным, поэтому они дают естественное преобразование

${\displaystyle \tau :(-\otimes -)\to (-\otimes -)}$

перестановка компонент. Ассоциативность аналогично следует из ассоциативности тензорных произведений линейных расслоений.

Другим источником категорий Пикара являются двухчленные цепные комплексы абелевых групп.

${\displaystyle A^{-1}\xrightarrow {d} A^{0}}$

которые имеют каноническую группоидную структуру, связанную с ними. Мы можем записать множество объектов как абелеву группу , а множество стрелок как множество . Тогда исходный морфизм стрелки — это проекционная карта${\displaystyle А^{0}}$${\displaystyle A^{-1}\oplus A^{0}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle (a_{-1},a_{0})}$

${\displaystyle s(a_{-1}+a_{0})=a_{0}}$

и целевой морфизм —${\displaystyle t}$

${\displaystyle t(a_{-1}+a_{0})=d(a_{-1})+a_{0}}$

Обратите внимание, что это определение подразумевает, что группа автоморфизмов любого объекта есть . Обратите внимание, что если мы повторим эту конструкцию для пучков абелевых групп над сайтом (или топологическим пространством ), мы получим пучок абелевых 2-групп. Можно было бы предположить, что это можно использовать для построения всех таких категорий, но это не так. Фактически, эта конструкция должна быть обобщена на спектры, чтобы дать точное обобщение. ^{[3] стр. 88}${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle \operatorname {Ker} d}$ ${\displaystyle X}$

Одним из примеров является комплекс котангенса для локальной схемы полного пересечения , который задается двухчленным комплексом${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathbf {L} _{X}^{\bullet }=i^{*}I/I^{2}\to i^{*}\Omega _{Y}}$

для вложения . Существует прямая категорическая интерпретация этой абелевой 2-группы из теории деформаций с использованием категории Exalcomm . ^[4]${\displaystyle i:X\to Y}$

Обратите внимание, что в дополнение к использованию цепного комплекса из 2 членов можно было бы вместо этого рассмотреть цепной комплекс и построить абелеву n -группу (или бесконечную группу).${\displaystyle A^{\bullet }\in Ch^{\leq 0}({\text{Ab}})}$

Для пары абелевых 2-групп существует ассоциированная абелева 2-группа морфизмов${\displaystyle \mathbb {A} ,\mathbb {A} '}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {A} ,\mathbb {A} ')}$

чьи объекты задаются функторами между этими двумя категориями, а стрелки задаются естественными преобразованиями. Более того, бифунктор на индуцирует бифункторную структуру на этом группоиде, давая ему абелеву 2-групповую структуру.${\displaystyle +'}$${\displaystyle \mathbb {A} '}$

Для классификации абелевых 2-групп строгих категорий Пикара с использованием двухчленных цепных комплексов недостаточно. Один из подходов заключается в стабильной гомотопической теории с использованием спектров, которые имеют только две нетривиальные гомотопические группы . При изучении произвольной категории Пикара становится ясно, что существуют дополнительные данные, используемые для классификации структуры категории, они задаются инвариантом Постникова.

Для абелевой 2-группы и фиксированного объекта изоморфизмы функторов и задаются стрелкой коммутативности${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(\mathbb {A} )}$${\displaystyle x+(-)}$${\displaystyle (-)+x}$

${\displaystyle \tau :x+x\Rightarrow x+x}$

дает элемент группы автоморфизмов , квадрат которого равен , следовательно, содержится в некоторых . Иногда это записывается как . Мы можем назвать этот элемент и этот инвариант индуцирует морфизм из классов изоморфизма объектов в , обозначаемый , в , т.е. он дает морфизм${\displaystyle {\text{Aut}}_{\mathbb {A} }(x)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {A} )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle \pi _{0}(\mathbb {A} )}$${\displaystyle {\text{Aut}}_{\mathbb {A} }(x)}$

${\displaystyle \varepsilon :\pi _{0}(\mathbb {A} )\otimes \mathbb {Z} /2\to \pi _{1}(\mathbb {A} )={\text{Aut}}_{\mathbb {A} }(x)}$

что соответствует инварианту Постникова . В частности, каждая категория Пикара, заданная как двухчленный цепной комплекс, имеет , поскольку они соответствуют по соответствию Дольда-Кана симплициальным абелевым группам с топологическими реализациями как произведение пространств Эйленберга–Маклейна${\displaystyle \varepsilon =0}$

${\displaystyle K(H^{-1}(A^{\bullet }),1)\times K(H^{0}(A^{\bullet }),0)}$

Например, если у нас есть категория Пикара с и , то не существует цепного комплекса абелевых групп, дающего эти группы гомологии, поскольку может быть задан только проекцией${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {A} )=\mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \pi _{0}(\mathbb {A} )=\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle \mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot 2} \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2}$

Вместо этого эту категорию Пикара можно понимать как категориальную реализацию усеченного спектра сферы , где единственные две нетривиальные гомотопические группы спектра находятся в степенях и .${\displaystyle \tau _{\leq 1}\mathbb {S} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

• ∞-группоид
• n -группа
• Жерб

• Диссертация Хоанг Суан Синя (большие категории)
• Пирашвили, Теймураз (2010). «Об абелевых 2-категориях и производных 2-функторах». arXiv : 1007.4138 [math.CT].
• Джибладзе, Мамука; Пирашвили, Теймураз (2011). «Когомологии с коэффициентами в стопках категорий Пикара». arXiv : 1101.2918 [math.AT].
• Дебремейкер, Рэймонд (2017). «Когомологии со значениями в пучке скрещенных групп над сайтом». arXiv : 1702.02128 [math.AG].- дает методы определения когомологий пучков с коэффициентами в скрещенном модуле или категории Пикара
• Джонсон, Найлс; Осорно, Анжелика М. (2012). «Моделирование стабильных однотипных объектов». arXiv : 1201.2686 [math.AT].- экспозиция стабильных 1-типов, содержащих связь с категориями Пикара
• Гурски, Ник; Джонсон, Найлс; Осорно, Анжелика; Стефан, Марк (2017). «Стабильные данные Постникова категорий Пикара 2». Алгебраическая и геометрическая топология . 17 (5): 2763–2806. arXiv : 1606.07032 . doi : 10.2140/agt.2017.17.2763. S2CID  119324062.