Степень двойки

Два возведено в целую степень

Степень двойки — это число вида $2 n ,$ где $n$ — целое число , то есть результат возведения в степень с числом два в качестве основания и целым числом $n$ в качестве показателя степени .

Степени двойки с неотрицательными показателями являются целыми числами: $20 = 1$ , $21 = 2$ , а $2 n$ равно двум, умноженному на себя $n$ раз. ^[1]^[2] Первые десять степеней двойки для неотрицательных значений $n$ равны:

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , ... (последовательность A000079 в OEIS )

Для сравнения, степени двойки с отрицательными показателями являются дробями : для положительного целого числа $n$ , $2 - n$ равно половине, умноженной на себя $n$ раз. Таким образом, первые несколько отрицательных степеней 2 равны ⁠1/2⁠ , ⁠1/4⁠ , ⁠1/8⁠ , ⁠1/16⁠ и т. д. Иногда их называют обратными степенями двойки , поскольку каждая из них является мультипликативной обратной величиной положительной степени двойки.

Основа двоичной системы счисления

Поскольку два является основанием двоичной системы счисления , степени двойки распространены в информатике . Записанная в двоичном виде, степень двойки всегда имеет вид 100...000 или 0,00...001, как и степень 10 в десятичной системе.

Информатика

Два в степени $n$ , записанное как $2 n$ , — это количество значений, в которых могут быть установлены биты в двоичном слове длины $n$ , где каждый бит имеет одно из двух значений. Слово, интерпретируемое как представление целого числа в диапазоне, начинающемся с нуля, называемое «целым числом без знака», может представлять значения от 0 ( $000...000 2$ ) до $2 n - 1$ ( $111...111 2$ ) включительно. Альтернативное представление, называемое целым числом со знаком , допускает значения, которые могут быть положительными, отрицательными и нулевыми; см. Представления знаковых чисел . В любом случае, единица меньше степени двойки часто является верхней границей целого числа в двоичных компьютерах. Как следствие, числа этой формы часто появляются в компьютерном программном обеспечении. Например, видеоигра, работающая на 8-битной системе, может ограничить счет или количество предметов, которые игрок может держать, до 255 — результат использования байта длиной 8 бит для хранения числа, что позволяет представить 256 различных значений от $0$ до $28 - 1 = 255.$ Например, в оригинальной Legend of Zelda главный герой был ограничен ношением 255 рупий (валюта игры) в любой момент времени, а в видеоигре Pac-Man, как известно, есть экран убийства на уровне 256.

Степени двойки часто используются для определения единиц, в которых количественно измеряются размеры памяти компьютера. «Байт» теперь обычно относится к восьми битам (октету ) , что приводит к возможности 256 значений (2 ⁸ ). (Термин байт когда-то означал (а в некоторых случаях и сейчас означает) набор битов , который определялся аппаратным контекстом, обычно от 5 до 32 бит, а не только 8-битную единицу.) Префикс кило в сочетании с байтом использовался специалистами по информатике для обозначения1024 (2 ¹⁰ ). Однако, в целом, термин кило использовался в Международной системе единиц для обозначения1000 (10 ³ ). Двоичные префиксы были стандартизированы, например, киби (Ки), означающий1024. Почти все регистры процессора имеют размеры, являющиеся степенью двух бит, наиболее распространенными являются 8, 16, 32 или 64 бита, причем последние два являются наиболее распространенными, за исключением очень маленьких процессоров.

Степени двойки встречаются и в других местах. Для многих дисководов по крайней мере один из размера сектора, количества секторов на дорожку и количества дорожек на поверхность является степенью двойки. ^{[ необходима цитата ]} Размер логического блока почти всегда является степенью двойки.

Числа, тесно связанные со степенями двойки, встречаются в ряде компьютерных аппаратных конструкций, например, с числом пикселей по ширине и высоте видеоэкранов, где число пикселей в каждом направлении часто является произведением степени двойки и небольшого числа. Например, $640 = 128 \times 5$ и $480 = 32 \times 15$ .

Простые числа Мерсенна и Ферма

Простое число , которое на единицу меньше степени двойки, называется простым числом Мерсенна . Например, простое число 31 является простым числом Мерсенна, потому что оно на 1 меньше 32 (2 ⁵ ). Аналогично, простое число (например, 257 ), которое на единицу больше положительной степени двойки, называется простым числом Ферма — показатель степени сам по себе является степенью двойки. Дробь , знаменатель которой — степень двойки, называется двоично-рациональной . Числа, которые можно представить в виде сумм последовательных положительных целых чисел, называются вежливыми числами ; это в точности те числа, которые не являются степенями двойки.

ЕвклидаЭлементы, Книга IX

Геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (или, в двоичной системе счисления , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ... ) важна в теории чисел . Книга IX, предложение 36 « Начал» доказывает, что если сумма первых $n$ членов этой прогрессии является простым числом (и, таким образом, является простым числом Мерсенна, как упоминалось выше), то эта сумма, умноженная на $n-$ й член, является совершенным числом . Например, сумма первых 5 членов ряда $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ , что является простым числом. Сумма 31, умноженная на 16 (5-й член ряда), равна 496, что является совершенным числом.

В предложении 35 книги IX доказывается, что если в геометрической прогрессии первый член вычесть из второго и последнего члена последовательности, то как избыток второго относится к первому, так и избыток последнего относится ко всем предшествующим ему. (Это переформулировка нашей формулы для геометрической прогрессии, приведенной выше.) Применяя это к геометрической прогрессии 31, 62, 124, 248, 496 (которая получается из 1, 2, 4, 8, 16 путем умножения всех членов на 31), мы видим, что 62 минус 31 относится к 31 так же, как 496 минус 31 относится к сумме 31, 62, 124, 248. Следовательно, числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 в сумме дают 496, и далее это все числа, которые делят 496. Предположим, что $p$ делит 496, и его нет среди этих чисел. Предположим, что $pq$ равно $16 \times 31$ , или 31 относится к $q$ так же, как $p$ относится к 16. Теперь $p$ не может делить 16, иначе оно было бы среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Следовательно, 31 не может делить $q$ . И поскольку 31 не делит $q,$ а $q$ равно 496, основная теорема арифметики подразумевает, что $q$ должно делить 16 и быть среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Пусть $q$ равно 4, тогда $p$ должно быть равно 124, что невозможно, поскольку по гипотезе $p$ не входит в число чисел 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.

Первые 64 степени двойки

(последовательность A000079 в OEIS )


$н$	$2 н$	$н$	$2 н$	$н$	$2 н$	$н$	$2 н$
0	1	16	65 536	32	4 294 967 296	48	281 474 976 710 656
1	2	17	131 072	33	8 589 934 592	49	562 949 953 421 312
2	4	18	262 144	34	17 179 869 184	50	1 125 899 906 842 624
3	8	19	524 288	35	34 359 738 368	51	2 251 799 813 685 248
4	16	20	1 048 576	36	68 719 476 736	52	4 503 599 627 370 496
5	32	21	2 097 152	37	137 438 953 472	53	9 007 199 254 740 992
6	64	22	4 194 304	38	274 877 906 944	54	18 014 398 509 481 984
7	128	23	8 388 608	39	549 755 813 888	55	36 028 797 018 963 968
8	256	24	16 777 216	40	1 099 511 627 776	56	72 057 594 037 927 936
9	512	25	33 554 432	41	2 199 023 255 552	57	144 115 188 075 855 872
10	1024	26	67 108 864	42	4 398 046 511 104	58	288 230 376 151 711 744
11	2048	27	134 217 728	43	8 796 093 022 208	59	576 460 752 303 423 488
12	4096	28	268 435 456	44	17 592 186 044 416	60	1 152 921 504 606 846 976
13	8192	29	536 870 912	45	35 184 372 088 832	61	2 305 843 009 213 693 952
14	16 384	30	1 073 741 824	46	70 368 744 177 664	62	4 611 686 018 427 387 904
15	32 768	31	2 147 483 648	47	140 737 488 355 328	63	9 223 372 036 854 775 808

Последние цифры

Начиная с 2 последняя цифра периодична с периодом 4, с циклом 2–4–8–6–, а начиная с 4 последние две цифры периодически с периодом 20. Эти шаблоны, как правило, верны для любой степени относительно любого основания . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку $2 k$ , а период является мультипликативным порядком 2 по модулю $5 k$ , что равно $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). ^{[ необходима цитата ]}

Силы 1024 года

(последовательность A140300 в OEIS )

Первые несколько степеней числа 2 ¹⁰ немного больше тех же степеней числа1000 (10 ³ ). Ниже приведены первые 11 значений степеней числа 2 ^{10 :}


2 ⁰	=	1	= 1000 ⁰	(отклонение 0%)
2 ¹⁰	=	1024	≈ 1000 ¹	(отклонение 2,4%)
2 ²⁰	=	1 048 576	≈ 1000 ²	(отклонение 4,9%)
2 ³⁰	=	1 073 741 824	≈ 1000 ³	(отклонение 7,4%)
2 ⁴⁰	=	1 099 511 627 776	≈ 1000 ⁴	(отклонение 10,0%)
2 ⁵⁰	=	1 125 899 906 842 624	≈ 1000 ⁵	(отклонение 12,6%)
2 ⁶⁰	=	1 152 921 504 606 846 976	≈ 1000 ⁶	(отклонение 15,3%)
2 ⁷⁰	=	1 180 591 620 717 411 303 424	≈ 1000 ⁷	(отклонение 18,1%)
2 ⁸⁰	=	1 208 925 819 614 629 174 706 176	≈ 1000 ⁸	(отклонение 20,9%)
2 ⁹⁰	=	1 237 940 039 285 380 274 899 124 224	≈ 1000 ⁹	(отклонение 23,8%)
2 ¹⁰⁰	=	1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376	≈ 1000 ¹⁰	(отклонение 26,8%)

Для достижения 50% отклонения требуется приблизительно 17 степеней 1024, а для достижения 100% отклонения тех же степеней 1000 — приблизительно 29 степеней 1024. ^[3] См. также Двоичные префиксы и IEEE 1541-2002 .

Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки

Поскольку данные (в частности, целые числа) и адреса данных хранятся с использованием одного и того же оборудования, а данные хранятся в одном или нескольких октетах ( $23$ ), двойные экспоненты двух являются обычным явлением. Первые 21 из них:


$н$	$2 н$	$2 2 n$ (последовательность A001146 в OEIS )	цифры
0	1	2	1
1	2	4	1
2	4	16	2
3	8	256	3
4	16	65 536	5
5	32	4 294 967 296	10
6	64	18 ‍ 446 ‍ 744 ‍ 073 ‍ 709 ‍ 551 ‍ 616	20
7	128	340 ‍ 282 ‍ 366 ‍ 920 ‍ 938 ‍ 463 ‍ 463 ‍ 374 ‍ 607 ‍ 431 ‍ 768 ‍ 211 ‍ 456	39
8	256	115 ‍ 792 ‍ 089 ‍ 237 ‍ 316 ‍ 195 ‍ 423 ‍ 570 ‍ ... ‍ 039 ‍ 457 ‍ 584 ‍ 007 ‍ 913 ‍ 129 639 ‍ 936	78
9	512	13 ‍ 407 ‍ 807 ‍ 929 ‍ 942 ‍ 597 ‍ 099 ‍ 574 ‍ 0 ... ‍ 946 ‍ 569 ‍ 946 ‍ 433 ‍ 649 ‍ 006 084 ‍ 096	155
10	1024	179 ‍ 769 ‍ 313 ‍ 486 ‍ 231 ‍ 590 ‍ 772 ‍ 930 ‍ ... ‍ 304 ‍ 835 ‍ 356 ‍ 329 ‍ 624 ‍ 224 137 ‍ 216	309
11	2048	32 ‍ 317 ‍ 006 ‍ 071 ‍ 311 ‍ 007 ‍ 300 ‍ 714 ‍ 8 ... ‍ 193 ‍ 555 ‍ 853 ‍ 611 ‍ 059 ‍ 596 230 ‍ 656	617
12	4096	1 ‍ 044 ‍ 388 ‍ 881 ‍ 413 ‍ 152 ‍ 506 ‍ 691 ‍ 75 ... ‍ 243 ‍ 804 ‍ 708 ‍ 340 ‍ 403 ‍ 154 190 ‍ 336	1234
13	8192	1 ‍ 090 ‍ 748 ‍ 135 ‍ 619 ‍ 415 ‍ 929 ‍ 462 ‍ 98 ... ‍ 997 ‍ 186 ‍ 505 ‍ 665 ‍ 475 ‍ 715 792 ‍ 896	2467
14	16 384	1 ‍ 189 ‍ 731 ‍ 495 ‍ 357 ‍ 231 ‍ 765 ‍ 085 ‍ 75 ... ‍ 460 ‍ 447 ‍ 027 ‍ 290 ‍ 669 ‍ 964 066 ‍ 816	4933
15	32 768	1 ‍ 415 ‍ 461 ‍ 031 ‍ 044 ‍ 954 ‍ 789 ‍ 001 ‍ 55 ... ‍ 541 ‍ 122 ‍ 668 ‍ 104 ‍ 633 ‍ 712 377 ‍ 856	9865
16	65 536	2 ‍ 003 ‍ 529 ‍ 930 ‍ 406 ‍ 846 ‍ 464 ‍ 979 ‍ 07 ... ‍ 339 ‍ 445 ‍ 587 ‍ 895 ‍ 905 ‍ 719 156 ‍ 736	19 729
17	131 072	4 ‍ 014 ‍ 132 ‍ 182 ‍ 036 ‍ 063 ‍ 039 ‍ 166 ‍ 06 ... ‍ 850 ‍ 665 ‍ 812 ‍ 318 ‍ 570 ‍ 934 173 ‍ 696	39 457
18	262 144	16 ‍ 113 ‍ 257 ‍ 174 ‍ 857 ‍ 604 ‍ 736 ‍ 195 ‍ 7 ... ‍ 753 ‍ 862 ‍ 605 ‍ 349 ‍ 934 ‍ 298 300 ‍ 416	78 914
19	524 288	259 ‍ 637 ‍ 056 ‍ 783 ‍ 100 ‍ 077 ‍ 612 ‍ 659 ‍ ... ‍ 369 ‍ 814 ‍ 364 ‍ 528 ‍ 226 ‍ 185 773 ‍ 056	157 827
20	1 048 576	67 ‍ 411 ‍ 401 ‍ 254 ‍ 990 ‍ 734 ‍ 022 ‍ 690 ‍ 6 ... ‍ 009 ‍ 289 ‍ 119 ‍ 068 ‍ 940 ‍ 335 579 ‍ 136	315 653

См. также Число Ферма , Тетрация и Гипероперация § Низшие гипероперации .

Последние цифры для степеней двойки, показатели которых являются степенями двойки

Все эти числа больше 4 заканчиваются цифрой 6. Начиная с 16 последние две цифры периодические с периодом 4, с циклом 16–56–36–96–, а начиная с 16 последние три цифры периодические с периодом 20. Эти закономерности, как правило, справедливы для любой степени относительно любого основания . Закономерность продолжается, когда каждая закономерность имеет начальную точку $2 k$ , а период — это мультипликативный порядок 2 по модулю $5 k$ , который равен $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). ^{[ необходима цитата ]}

Факты о степенях двойки, показатели которых являются степенями двойки

В связи с числами эти числа часто называют степенями Ферма 2 .

Числа образуют последовательность иррациональности : для каждой последовательности положительных целых чисел ряд $2^{2^{n}}$ $x_{i}$

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots

сходится к иррациональному числу . Несмотря на быстрый рост этой последовательности, это самая медленно растущая из известных последовательностей иррациональности. ^[4]

Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки в информатике

Поскольку для типов компьютерных данных характерно иметь размер , являющийся степенью двойки, эти числа подсчитывают количество представимых значений этого типа. Например, 32-битное слово, состоящее из 4 байтов, может представлять $232$ различных значений, которые могут рассматриваться как простые битовые комбинации или, что более распространено, интерпретироваться как беззнаковые числа от 0 до $232 - 1$ или как диапазон знаковых чисел от $-2 31$ до $231 - 1.$ Подробнее о представлении знаковых чисел см. в разделе Дополнение до двух .

Избранные степени двойки

2 ² =4: Число, которое является квадратом двойки. Также первая степень двойки тетрация двойки.
2 ⁸ =256: Число значений, представленных 8 битами в байте , более конкретно называемое октетом . (Термин байт часто определяется как набор битов , а не строгое определение 8-битной величины, как показано на примере термина килобайт .)
2 ¹⁰ =1024: Двоичное приближение кило- , илиМножитель 1000 , который вызывает смену префикса. Например:1024 байта = 1 килобайт ^[5] (или кибибайт ).
2 ¹² =4096: Размер аппаратной страницы процессора, совместимого с Intel x86 .
2 ¹⁵ =32 768: Количество неотрицательных значений для 16-битного целого числа со знаком .
2 ¹⁶ =65 536

Количество различных значений, которые можно представить одним словом на 16-битном процессоре, например, на исходных процессорах x86 . ^[6]; Максимальный диапазон переменной типа short integer в языках программирования C# , Java и SQL . Максимальный диапазон переменной типа Word или Smallint в языке программирования Pascal .; Число бинарных отношений на множестве из 4 элементов.
2 ²⁰ =1 048 576: Бинарное приближение мега- , илиМножитель 1 000 000 , который вызывает смену префикса. Например:1 048 576 байт = 1 мегабайт ^[5] (или мебибайт ).
2 ²⁴ =16 777 216: Количество уникальных цветов , которые могут отображаться в режиме TrueColor , используемом обычными компьютерными мониторами .; Это число является результатом использования трехканальной системы RGB , где цвета определяются тремя значениями (красный, зеленый и синий) независимо в диапазоне от 0 ( 00) до 255 ( FF) включительно. Это дает 8 бит для каждого канала или 24 бита в общей сложности; например, чистый черный — #000000, чистый белый — #FFFFFF. Пространство всех возможных цветов,16 777 216 можно определить как 16 ⁶ (6 цифр с 16 возможными значениями для каждой), 256 ³ (3 канала с 256 возможными значениями для каждого) или 2 ²⁴ (24 бита с 2 возможными значениями для каждого).; Размер наибольшего беззнакового целого числа или адреса в компьютерах с 24-битными регистрами или шинами данных.
2 ³⁰ =1 073 741 824: Двоичное приближение гига- , илиМножитель 1 000 000 000 , который вызывает смену префикса. Например,1 073 741 824 байт = 1 гигабайт ^[5] (или гибибайт ).
2 ³¹ =2 147 483 648: Количество неотрицательных значений для 32-битного целого числа со знаком . Поскольку время Unix измеряется в секундах с 1 января 1970 года, оно закончится в2 147 483 647 секунд или 03:14:07 UTC во вторник, 19 января 2038 года на 32-разрядных компьютерах под управлением Unix, проблема, известная как проблема 2038 года .
2 ³² =4 294 967 296

Количество различных значений, представимых одним словом на 32-разрядном процессоре. ^[7] Или количество значений, представимых двойным словом на 16-разрядном процессоре, таком как оригинальные процессоры x86 . ^[6]; Диапазон intпеременной в языках программирования Java , C# и SQL .; Диапазон значений переменной Cardinalили Integerв языке программирования Pascal .; Минимальный диапазон длинной целочисленной переменной в языках программирования C и C++ .; Общее количество IP-адресов в IPv4 . Хотя это, казалось бы, большое число, количество доступных 32-битных IPv4-адресов исчерпано (но не для IPv6 -адресов).; Число бинарных операций с доменом, равным любому набору из 4 элементов, например GF (4).
2 ⁴⁰ =1 099 511 627 776: Бинарное приближение тера- , или1 000 000 000 000 множитель, который вызывает смену префикса. Например,1 099 511 627 776 байт = 1 терабайт ^[5] или тебибайт.
2 ⁵⁰ =1 125 899 906 842 624: Бинарное приближение пета- , илиМножитель 1 000 000 000 000 000 .1 125 899 906 842 624 байт = 1 петабайт ^[5] или пебибайт.
2 ⁵³ =9 007 199 254 740 992: Число, до которого все целые значения могут быть точно представлены в формате IEEE с двойной точностью и плавающей точкой . Также первая степень числа 2, начинающаяся с цифры 9 в десятичной системе счисления.
2 ⁵⁶ =72 057 594 037 927 936: Количество различных возможных ключей в устаревшем 56-битном симметричном шифре DES .
2 ⁶⁰ =1 152 921 504 606 846 976: Бинарное приближение экза- , илиМножитель 1 000 000 000 000 000 000 .1 152 921 504 606 846 976 байт = 1 эксабайт ^[5] или эксбибайт.
2 ⁶³ =9 223 372 036 854 775 808: Количество неотрицательных значений для 64-битного целого числа со знаком.; 2 ⁶³ − 1, общее максимальное значение (эквивалентно числу положительных значений) для 64-битного целого числа со знаком в языках программирования.
2 ⁶⁴ =18 446 744 073 709 551 616: Количество различных значений, представимых одним словом на 64-битном процессоре. Или количество значений, представимых двойным словом на 32 -битном процессоре. Или количество значений, представимых четверным словом на 16-битном процессоре, таком как оригинальные процессоры x86 . ^[6]; Диапазон длинной переменной в языках программирования Java и C# .; Диапазон переменной Int64 или QWord в языке программирования Pascal .; Общее количество адресов IPv6, обычно выделяемых одной локальной сети или подсети.; 2 ⁶⁴ − 1, количество зерен риса на шахматной доске, согласно старой истории , где первый квадрат содержит одно зерно риса, а каждый последующий квадрат в два раза больше предыдущего. По этой причине это число иногда называют «шахматным числом».; 2 ⁶⁴ − 1 — это также количество ходов, необходимых для завершения легендарной 64-дисковой версии Ханойской башни .
2 ⁶⁸ =295 147 905 179 352 825 856: Первая степень числа 2, содержащая все десятичные цифры. (последовательность A137214 в OEIS )
2 ⁷⁰ =1 180 591 620 717 411 303 424: Двоичное приближение зетта- , илиМножитель 1 000 000 000 000 000 000 000 .1 180 591 620 717 411 303 424 байта = 1 зеттабайт ^[5] (или зебибайт ).
2 ⁸⁰ =1 208 925 819 614 629 174 706 176: Двоичное приближение йотта- , илиМножитель 1 000 000 000 000 000 000 000 000 .1 208 925 819 614 629 174 706 176 байт = 1 йоттабайт ^[5] (или йобибайт ).
2 ⁸⁶ =77 371 252 455 336 267 181 195 264: Предполагается ^{, что 286} — это наибольшая степень двойки, не содержащая ноль в десятичной дроби. ^[8]
2 ⁹⁶ =79 228 162 514 264 337 593 543 950 336: Общее количество адресов IPv6 , обычно предоставляемых локальному интернет-регистратору . В нотации CIDR интернет-провайдерам предоставляется a / 32 , что означает, что для адресов доступно 128 − 32 = 96 бит (в отличие от сетевого обозначения). Таким образом, 2 ⁹⁶ адресов.
2 ¹⁰⁸ = 324 ‍ 518 ‍ 553 ‍ 658 ‍ 426 ‍ 726 ‍ 783 ‍ 156 ‍ 020 ‍ 576 ‍ 256: Наибольшая известная степень числа 2, не содержащая 9 в десятичной дроби. (последовательность A035064 в OEIS )
2 ¹²⁶ = 85 ‍ 070 ‍ 591 ‍ 730 ‍ 234 ‍ 615 ‍ 865 ‍ 843 ‍ 651 ‍ 857 ‍ 942 ‍ 052 ‍ 864: Наибольшая известная степень числа 2, не содержащая пары последовательных одинаковых цифр. (последовательность A050723 в OEIS )
2 ¹²⁸ = 340 ‍ 282 ‍ 366 ‍ 920 ‍ 938 ‍ 463 ‍ 463 ‍ 374 ‍ 607 ‍ 431 ‍ 768 ‍ 211 ‍ 456: Общее количество IP-адресов, доступных в IPv6 . Также количество различных универсальных уникальных идентификаторов (UUID) .
2 ¹⁶⁸ = 374 ‍ 144 ‍ 419 ‍ 156 ‍ 711 ‍ 147 ‍ 060 ‍ 143 ‍ 317 ‍ 175 ‍ 368 ‍ 453 ‍ 031 ‍ 918 731 ‍ 001 ‍ 856: Наибольшая известная степень числа 2, не содержащая все десятичные цифры (в данном случае цифра 2 отсутствует). (последовательность A137214 в OEIS )
2 ¹⁹² = 6 ‍ 277 ‍ 101 ‍ 735 ‍ 386 ‍ 680 ‍ 763 ‍ 835 ‍ 789 ‍ 423 ‍ 207 ‍ 666 ‍ 416 ‍ 102 355 ‍ 444 ‍ 464 ‍ 034 ‍ 512 ‍ 896: Общее количество различных возможных ключей в 192-битном ключевом пространстве AES (симметричный шифр).
2 ²²⁹ = 862 ‍ 718 ‍ 293 ‍ 348 ‍ 820 ‍ 473 ‍ 429 ‍ 344 ‍ 482 ‍ 784 ‍ 628 ‍ 181 ‍ 556 ‍ 388 621 ‍ 521 ‍ 298 ‍ 319 ‍ 395 ‍ 315 ‍ 527 ‍ 974 ‍ 912: 2 ²²⁹ — это наибольшая известная степень двойки, содержащая наименьшее количество нулей относительно своей степени. Метин Сарияр предположил, что каждая цифра от 0 до 9 склонна появляться равное количество раз в десятичном разложении степени двойки по мере увеличения степени. (последовательность A330024 в OEIS )
2 ²⁵⁶ = 115 ‍ 792 ‍ 089 ‍ 237 ‍ 316 ‍ 195 ‍ 423 ‍ 570 ‍ 985 ‍ 008 ‍ 687 ‍ 907 ‍ 853 ‍ 269 984 ‍ 665 ‍ 640 ‍ 564 ‍ 039 ‍ 457 ‍ 584 ‍ 007 ‍ 913 ‍ 129 ‍ 639 ‍ 936: Общее количество различных возможных ключей в 256-битном ключевом пространстве AES (симметричный шифр).
2¹⁰²⁴ = 179‍ 769 ‍ 313 ‍ 486 ‍ 231 ‍ 590 ‍ 772 ‍ 930 ‍ ... ‍ 304 ‍ 835 ‍ 356 ‍ 329 ‍ 624 ‍ 224 ‍ 137 ‍ 216 (309 цифр): Максимальное число, которое может поместиться в 64-битном формате IEEE с плавающей запятой двойной точности (отсюда и максимальное число, которое может быть представлено многими программами, например Microsoft Excel ).
2^{16 384} = 1‍ 189 ‍ 731 ‍ 495 ‍ 357 ‍ 231 ‍ 765 ‍ 085 ‍ 75 ...‍ 460 ‍ 447 ‍ 027 ‍ 290 ‍ 669 964 ‍ 066 ‍ 816 (4933 цифры): Максимальное число, которое может поместиться в 128-битном формате IEEE с плавающей точкой четверной точности
2^{262 144} = 16113 257 174 857 604 736 195 7 ...753 862 605 349 934 298 ‍ 300 ‍ 416 (78 914 цифр): Максимальное число, которое может поместиться в 256-битном формате IEEE с плавающей точкой восьмеричной точности
2^{136 279 841} = 8‍ 816 ‍ 943 ‍ 275 ‍ 038 ‍ 332 ‍ 655 ‍ 539 ‍ 39 ...‍ 665 ‍ 555 ‍ 076 ‍ 706 219‍ 486 ‍ 871 ‍ 552 (41 024 320 цифр): На единицу больше, чем самое большое известное простое число по состоянию на октябрь 2024 года ^{[обновлять]}. ^[9]

Степени двойки в теории музыки

В музыкальной нотации все немодифицированные значения нот имеют длительность, равную целой ноте, деленной на степень двойки; например, половинная нота (1/2), четвертная нота (1/4), восьмая нота (1/8) и шестнадцатая нота (1/16). Ноты с точкой или иным образом модифицированные имеют другие длительности. В тактовых размерах нижняя цифра, единица удара , которую можно рассматривать как знаменатель дроби, почти всегда является степенью двойки.

Если отношение частот двух тонов равно степени двойки, то интервал между этими тонами равен полным октавам . В этом случае соответствующие ноты имеют одинаковое название.

Математическое совпадение , из , тесно связывает интервал из 7 полутонов в равномерной темперации с чистой квинтой чистой интонации : , с точностью около 0,1%. Чистая квинта является основой пифагорейской настройки ; разница между двенадцатью чистыми квинтами и семью октавами является пифагорейской коммой . ^[10] $2^{7}\приблизительно ({\tfrac {3}{2}})^{12}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ $2^{7/12}\approx 3/2$

Другие свойства

Сумма всех $n$ -выборных биномиальных коэффициентов равна $2 n$ . Рассмотрим множество всех $n$ -значных двоичных целых чисел. Его мощность равна $2 n$ . Это также суммы мощностей определенных подмножеств: подмножество целых чисел без единиц (состоящих из одного числа, записанного как $n$ нулей), подмножество с одной единицей, подмножество с двумя единицами и так далее до подмножества с $n$ единицами (состоящего из числа, записанного как $n$ единиц). Каждое из них, в свою очередь, равно биномиальному коэффициенту, индексированному $n$ , и количеству рассматриваемых единиц (например, есть 10-выборных-3 двоичных чисел с десятью цифрами, которые включают ровно три единицы).

В настоящее время единственными известными почти совершенными числами являются степени двойки .

Мощность множества a всегда равна $2$ $|$ $a$ $|$ , где | $a$ $|$ $—$ $мощность$ a $.$

Число вершин n -мерного гиперкуба равно $2$ $n$ . Аналогично, число $($ $n$ $- 1)$ -граней $n$ -мерного кросс-политопа также равно $2$ $n$ $,$ а формула для числа $x$ -граней $n$ -мерного кросс-политопа имеет вид $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$

Сумма первых степеней двойки (начиная с ) определяется выражением $n$ $1=2^{0}$

\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}=2^{n}-1

для любого положительного целого числа. $n$

Таким образом, сумма мощностей

1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}

можно вычислить просто, оценив: (что является «шахматным числом»). $2^{64}-1$

Сумма обратных величин степеней двойки равна 1. Сумма обратных величин квадратов степеней двойки (степеней четверки) равна 1/3.

Наименьшая натуральная степень двойки, десятичная запись которой начинается с 7, равна ^[11]

2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.

Каждая степень двойки (исключая 1) может быть записана в виде суммы четырех квадратных чисел 24 способами . Степени двойки — это натуральные числа, большие 1, которые могут быть записаны в виде суммы четырех квадратных чисел наименьшим количеством способов.

Как действительный многочлен , a ⁿ + b ⁿ является неприводимым , если и только если n является степенью двойки. (Если n нечетно, то a ⁿ + b ⁿ делится на a + b , а если n четно, но не является степенью двойки, то n можно записать как n = mp , где m нечетно, и, таким образом , , что делится на a ^p + b ^p .) Но в области комплексных чисел многочлен (где n ≥ 1) всегда можно разложить на множители как , даже если n является степенью двойки. $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ $a^{2n}+b^{2n}$ $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$

Единственные известные степени числа 2, в которых все цифры четные, — это 2 ¹ = 2, 2 ² = 4, 2 ³ = 8, 2 ⁶ = 64 и 2 ¹¹ =2048 . ^[12] Первые 3 степени числа 2, у которых все цифры, кроме последней, нечетные, это 2 ⁴ = 16, 2 ⁵ = 32 и 2 ⁹ = 512. Следующая такая степень числа 2 вида 2 ⁿ должна иметь n не менее 6 цифр. Единственными степенями числа 2, у которых все цифры различны, являются 2 ⁰ = 1 до 2 ¹⁵ =32 768 , 2 ²⁰ =1 048 576 и 2 ²⁹ =536 870 912 .

Отрицательные степени двойки

Коды Хаффмана обеспечивают оптимальное сжатие данных без потерь , когда вероятности исходных символов являются отрицательными степенями двойки. ^[13]

Смотрите также

Ссылки

^ Липшуц, Сеймур (1982). Очерк теории и проблем основ компьютерной математики Шаума . Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 3. ISBN 0-07-037990-4.
^ Сьюэлл, Майкл Дж. (1997). Мастер-классы по математике. Оксфорд: Oxford University Press. стр. 78. ISBN 0-19-851494-8.
^ $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$
^ Гай, Ричард К. (2004), "E24 Иррациональные последовательности", Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , стр. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001, архивировано из оригинала 2016-04-28
^ abcdefgh Fortner, Brand (1995). "Byte Numbers". The Data Handbook (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer; TELOS. Гл. 2, § "Килобайты и мегабайты", стр. 25. doi :10.1007/978-1-4612-2538-6_3. ISBN 978-1-4612-7572-5. Размеры файлов на диске часто выражаются в килобайтах и мегабайтах. Файл может быть указан как занимающий 32 килобайта или 32 Кбайт. Это не означает ровно 32 000 байт. Килобайт определяется как 2 ¹⁰ , или1024 , байт. Так что 32К байт на самом деле равны 32 ×1024 или32 768 , байт. Мегабайт соответственно определяется как 2 ²⁰ , или 1 048 576, байт. Таким образом, 32 мегабайта (32M байт) равны33 554 432 байта.
Сэммс, Тони; Дженкинсон, Брайан (2007). «Понимание информации». Судебные вычисления (2-е изд.). Лондон: Спрингер. стр. 7–48 . doi : 10.1007/978-1-84628-732-9_2. ISBN 978-1-84628-397-0. Сегодня байт используется как основная мера размера памяти, [...]. Поскольку размеры памяти компьютера и диска значительно увеличились, байт стал сравнительно небольшой единицей, и для его определения теперь используются различные степени двойки: килобайт равен 2 ¹⁰ =1024 байта; мегабайт равен 2 ²⁰ =1 048 576 байт; гигабайт равен 2 ³⁰ =1 073 741 824 байт; терабайт равен 2 ⁴⁰ =1 099 511 627 776 байт; а петабайт равен 2 ⁵⁰ =1 125 899 906 842 624 байта. Эта последовательность единиц степеней 2 продолжается далее с эксабайтом, зеттабайтом и йоттабайтом. Традиционно ученые-компьютерщики всегда основывали свои единицы памяти на степенях 2, а не на степенях 10, хотя это является предметом некоторых разногласий в сообществе стандартов. [Сноска: Вопрос в том, следует ли префиксы кило, мега, гига и т. д. возводить в степени двух, как это традиционно принято вычислительным сообществом, или в степени десяти, как предписано Генеральной конференцией по мерам и весам для единиц СИ. Если бы их заменили на степени десяти, кило стало бы 10 ³ =1000 и мега станет10 ⁶ =1 000 000 .]
^ abc Хотя они различаются по размеру слова, все процессоры x86 используют термин «слово» для обозначения 16 бит; таким образом, 32-битный процессор x86 называет свой собственный размер слова dword
^ "Таблица степеней двойки – резюме Вона". www.vaughns-1-pagers.com . Архивировано из оригинала 12 августа 2015 г.
^ Weisstein, Eric W. "Zero". Из MathWorld. "Zero". Архивировано из оригинала 2013-06-01 . Получено 2013-05-29 .
^ «Открытие простого числа Мерсенна – 2136279841−1 является простым числом!». www.mersenne.org .
^ Манфред Роберт Шредер (2008). Теория чисел в науке и коммуникации (2-е изд.). Springer. С. 26–28 . ISBN 978-3-540-85297-1.
^ Павел Стшелецкий (1994). «O potęgach dwójki (О степенях двойки)» (на польском языке). Дельта. Архивировано из оригинала 9 мая 2016 г.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A068994 (степени числа 2 со всеми четными цифрами)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Кодирование Хаффмана, из: Fundamental Data Compression , 2006

[1] Липшуц, Сеймур (1982). Очерк теории и проблем основ компьютерной математики Шаума . Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 3. ISBN 0-07-037990-4.

[2] Сьюэлл, Майкл Дж. (1997). Мастер-классы по математике. Оксфорд: Oxford University Press. стр. 78. ISBN 0-19-851494-8.

[3] $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$

[4] Гай, Ричард К. (2004), "E24 Иррациональные последовательности", Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , стр. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001, архивировано из оригинала 2016-04-28

[kilobyte-5] Fortner, Brand (1995). "Byte Numbers". The Data Handbook (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer; TELOS. Гл. 2, § "Килобайты и мегабайты", стр. 25. doi :10.1007/978-1-4612-2538-6_3. ISBN 978-1-4612-7572-5. Размеры файлов на диске часто выражаются в килобайтах и мегабайтах. Файл может быть указан как занимающий 32 килобайта или 32 Кбайт. Это не означает ровно 32 000 байт. Килобайт определяется как 2 ¹⁰ , или1024 , байт. Так что 32К байт на самом деле равны 32 ×1024 или32 768 , байт. Мегабайт соответственно определяется как 2 ²⁰ , или 1 048 576, байт. Таким образом, 32 мегабайта (32M байт) равны33 554 432 байта.
Сэммс, Тони; Дженкинсон, Брайан (2007). «Понимание информации». Судебные вычисления (2-е изд.). Лондон: Спрингер. стр. 7–48 . doi : 10.1007/978-1-84628-732-9_2. ISBN 978-1-84628-397-0. Сегодня байт используется как основная мера размера памяти, [...]. Поскольку размеры памяти компьютера и диска значительно увеличились, байт стал сравнительно небольшой единицей, и для его определения теперь используются различные степени двойки: килобайт равен 2 ¹⁰ =1024 байта; мегабайт равен 2 ²⁰ =1 048 576 байт; гигабайт равен 2 ³⁰ =1 073 741 824 байт; терабайт равен 2 ⁴⁰ =1 099 511 627 776 байт; а петабайт равен 2 ⁵⁰ =1 125 899 906 842 624 байта. Эта последовательность единиц степеней 2 продолжается далее с эксабайтом, зеттабайтом и йоттабайтом. Традиционно ученые-компьютерщики всегда основывали свои единицы памяти на степенях 2, а не на степенях 10, хотя это является предметом некоторых разногласий в сообществе стандартов. [Сноска: Вопрос в том, следует ли префиксы кило, мега, гига и т. д. возводить в степени двух, как это традиционно принято вычислительным сообществом, или в степени десяти, как предписано Генеральной конференцией по мерам и весам для единиц СИ. Если бы их заменили на степени десяти, кило стало бы 10 ³ =1000 и мега станет10 ⁶ =1 000 000 .]

[iword-6] Хотя они различаются по размеру слова, все процессоры x86 используют термин «слово» для обозначения 16 бит; таким образом, 32-битный процессор x86 называет свой собственный размер слова dword

[7] "Таблица степеней двойки – резюме Вона". www.vaughns-1-pagers.com . Архивировано из оригинала 12 августа 2015 г.

[8] Weisstein, Eric W. "Zero". Из MathWorld. "Zero". Архивировано из оригинала 2013-06-01 . Получено 2013-05-29 .

[9] «Открытие простого числа Мерсенна – 2136279841−1 является простым числом!». www.mersenne.org .

[schroeder-10] Манфред Роберт Шредер (2008). Теория чисел в науке и коммуникации (2-е изд.). Springer. С. 26–28 . ISBN 978-3-540-85297-1.

[o_potegach_dwojki-11] Павел Стшелецкий (1994). «O potęgach dwójki (О степенях двойки)» (на польском языке). Дельта. Архивировано из оригинала 9 мая 2016 г.

[12] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A068994 (степени числа 2 со всеми четными цифрами)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[13] Кодирование Хаффмана, из: Fundamental Data Compression , 2006