Подмножество

В математике множество A является подмножеством множества B , если все элементы A также являются элементами B ; тогда B является надмножеством A. Возможно, что A и B будут равны; если они не равны, то A является собственным подмножеством B. Отношение , при котором одно множество является подмножеством другого , называется включением (или иногда включением ). A является подмножеством B , может также быть выражено как B включает (или содержит) A или A включено (или содержится) в B. K - подмножество является подмножеством с k элементами.

При количественном определении представляется как ^[1]${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right).}$

Доказать это утверждение можно , применив метод доказательства, известный как аргумент элемента ^[2] :${\displaystyle A\subseteq B}$

Пусть даны множества A и B. Чтобы доказать, что${\displaystyle A\subseteq B,}$

1. предположим , что a — это определенный, но произвольно выбранный элемент A
2. покажите , что a является элементом B.

Обоснованность этого метода можно рассматривать как следствие универсального обобщения : метод показывает для произвольно выбранного элемента c . Универсальное обобщение тогда подразумевает, что эквивалентно тому , что указано выше.${\displaystyle (c\in A)\Стрелка вправо (c\in B)}$${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right),}$${\displaystyle A\subseteq B,}$

Если A и B — множества и каждый элемент A является также элементом B , то:

• A — это подмножество B , обозначаемое как , или, что эквивалентно,${\displaystyle A\subseteq B}$
• B — это надмножество A , обозначаемое как${\displaystyle B\supseteq A.}$

Если A является подмножеством B , но A не равно B (т.е. существует по крайней мере один элемент B , который не является элементом A ), то:

• A — это собственное (или строгое ) подмножество B , обозначаемое как , или , что эквивалентно,${\displaystyle A\subsetneq B}$
• B — это собственное (или строгое ) надмножество A , обозначаемое как${\displaystyle B\supsetneq A.}$

Пустое множество , записанное как или , не имеет элементов и, следовательно, является подмножеством любого множества X . ${\displaystyle \{\}}$${\displaystyle \varnothing ,}$

• Рефлексивность : для любого множества[ ^3]${\displaystyle A}$${\displaystyle A\subseteq A}$
• Транзитивность : Еслии, то${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B\subseteq C}$${\displaystyle A\subseteq C}$
• Антисимметрия : Еслии, то.${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle A=B}$

• Иррефлексивность : Для любого множестваявляетсяложным.${\displaystyle A}$${\displaystyle A\subsetneq A}$
• Транзитивность : Еслии, то${\displaystyle A\subsetneq B}$${\displaystyle B\subsetneq C}$${\displaystyle A\subsetneq C}$
• Асимметрия : ЕслитоЛожь.${\displaystyle A\subsetneq B}$${\displaystyle B\subsetneq A}$

Некоторые авторы используют символы и для обозначения подмножества и супермножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов и ^[4] Например, для этих авторов верно для каждого множества A, что ( рефлексивное отношение ).${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \supseteq .}$${\displaystyle A\subset A.}$

Другие авторы предпочитают использовать символы и для обозначения собственного (также называемого строгим) подмножества и собственного надмножества соответственно; то есть, с тем же значением, что и вместо символов и ^[5] Такое использование делает и аналогичными символам неравенства и Например, если то x может быть или не быть равным y , но если то x определенно не равно y , и меньше y ( иррефлексивное отношение ). Аналогично, используя соглашение, что есть собственное подмножество, если то A может быть или не быть равным B , но если то A определенно не равно B .${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \subsetneq }$${\displaystyle \supsetneq .}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle <.}$${\displaystyle x\leq y,}$${\displaystyle x<y,}$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle A\subseteq B,}$${\displaystyle A\subset B,}$

• Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения и истинны.${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle A\subsetneq B}$
• Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, поэтому является истинным и не является истинным (ложным).${\displaystyle D\subseteq E}$${\displaystyle D\subsetneq E}$
• Множество { x : x — простое число, большее 10} является собственным подмножеством { x : x — нечетное число, большее 10}.
• Множество натуральных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел ; аналогично, множество точек отрезка прямой является собственным подмножеством множества точек прямой . Это два примера, в которых и подмножество, и всё множество бесконечны, и подмножество имеет ту же мощность (понятие, которое соответствует размеру, то есть числу элементов, конечного множества), что и целое; такие случаи могут противоречить изначальной интуиции.
• Множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел . В этом примере оба множества бесконечны, но последнее множество имеет большую мощность (или мощность ), чем первое множество.

Еще один пример на диаграмме Эйлера :

• 
  A является собственным подмножеством B.
• 
  C является подмножеством, но не является собственным подмножеством B.

Множество всех подмножеств называется его множеством мощности и обозначается . ^[6]${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$

Отношение включения является частичным порядком на множестве , определяемом . Мы также можем частично упорядочить с помощью обратного включения множества, определив${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle A\leq B{\text{ if and only if }}B\subseteq A.}$

Для множества мощности множества S частичный порядок включения — это (с точностью до изоморфизма порядка ) декартово произведение ( мощности S ) копий частичного порядка на , для которого Это можно проиллюстрировать , перечислив и связав с каждым подмножеством (т. е. каждым элементом ) k -кортеж , i - я координата которого равна 1, тогда и только тогда, когда является членом T .${\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)}$${\displaystyle k=|S|}$${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle 0<1.}$${\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},}$${\displaystyle T\subseteq S}$${\displaystyle 2^{S}}$${\displaystyle \{0,1\}^{k},}$${\displaystyle s_{i}}$

Множество всех -подмножеств обозначается как , по аналогии с обозначением для биномиальных коэффициентов , которые подсчитывают количество -подмножеств -элементного множества. В теории множеств обозначение также распространено, особенно когда является трансфинитным кардинальным числом .${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tbinom {A}{k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [A]^{k}}$${\displaystyle k}$

• Множество A является подмножеством B тогда и только тогда, когда их пересечение равно A. Формально :

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B=A.}$

• Множество A является подмножеством B тогда и только тогда, когда их объединение равно B. Формально :

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B=B.}$

• Конечное множество A является подмножеством B тогда и только тогда, когда мощность их пересечения равна мощности A. Формально:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.}$

• Отношение подмножества определяет частичный порядок множеств. Фактически, подмножества данного множества образуют булеву алгебру относительно отношения подмножества, в которой соединение и встреча задаются пересечением и объединением , а само отношение подмножества является отношением булевого включения .
• Включение — это канонический частичный порядок , в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество изоморфно некоторому набору множеств , упорядоченных включением. Порядковые числа — простой пример: если каждое порядковое число n отождествляется с множеством всех порядковых чисел, меньших или равных n , то тогда и только тогда, когда${\displaystyle (X,\preceq )}$${\displaystyle [n]}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

• Выпуклое подмножество  — в геометрии множество, пересечение которого с каждой прямой представляет собой один отрезок прямой.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Порядок включения  – Частичный порядок, который возникает как отношение включения подмножества в некоторой коллекции объектов.
• Мереология  – изучение частей и целых, которые они образуют
• Регион  – Связное открытое подмножество топологического пространства.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Задача о сумме подмножеств  – Задача на решение в информатике
• Субсумптивное сдерживание  – система элементов, которые подчинены друг другу
• Подпространство  – математическое множество с некоторой добавленной структурой.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Полное подмножество  – Подмножество T топологического векторного пространства X, где линейная оболочка T является плотным подмножеством X.

• Джех, Томас (2002). Теория множеств . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-44085-2.

• Медиа, связанные с Подмножествами на Wikimedia Commons
• Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество». MathWorld .