Элемент (математика)
Любой из отдельных объектов, составляющих множество в теории множеств.

В математике элемент (или член ) множества — это любой из отдельных объектов , принадлежащих этому множеству. Например, если задано множество A, содержащее первые четыре положительных целых числа ( ), можно сказать , что «3 — элемент A » , что можно выразить в виде . А = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle А=\{1,2,3,4\}} 3 ∈ А {\displaystyle 3\in А}

Наборы

Запись означает , что элементами множества A являются числа 1, 2, 3 и 4. Множества элементов A , например , являются подмножествами A. А = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle А=\{1,2,3,4\}} { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}}

Множества сами по себе могут быть элементами. Например, рассмотрим множество . Элементами B являются не 1, 2, 3 и 4. Вместо этого существует только три элемента B , а именно числа 1 и 2, и множество . Б = { 1 , 2 , { 3 , 4 } } {\displaystyle B=\{1,2,\{3,4\}\}} { 3 , 4 } {\displaystyle \{3,4\}}

Элементами множества могут быть любые цвета. Например, это множество, элементами которого являются красный , зеленый и синий цвета . С = { г е г , г г е е н , б л ты е } {\displaystyle C=\{\mathrm {\color {Red}красный} ,\mathrm {\color {green}зеленый} ,\mathrm {\color {blue}синий} \}}

В логических терминах, ( x ∈ y ) ↔ (∀ x [P x = y ] : x ∈ 𝔇 y ) . [ необходимо разъяснение ]

Обозначения и терминология

Отношение «является элементом », также называемое принадлежностью к множеству , обозначается символом «∈».

х ∈ А {\displaystyle x\in A}

означает, что « x является элементом  A ». [1] Эквивалентными выражениями являются « x является членом  A », « x принадлежит  A », « x находится в  A » и « x лежит в  A ». Выражения « A включает x » и « A содержит x » также используются для обозначения принадлежности к множеству, хотя некоторые авторы используют их для обозначения « x является подмножеством A  ». [2] Логик Джордж Булос настоятельно рекомендовал использовать «contains» только для обозначения принадлежности, а «includes» — только для отношения подмножества. [3]

Для отношения ∈ обратное отношение ∈ T можно записать

А ∋ х {\displaystyle A\ni x}

означает « А содержит или включает в себя x ».

Отрицание принадлежности множеству обозначается символом «∉».

х ∉ А {\displaystyle x\notin A}

означает, что « x не является элементом  A ».

Символ ∈ впервые был использован Джузеппе Пеано в его работе 1889 года Arithmetices principia, nova methodo exposita . [4] Здесь на странице X он написал:

Signum ∈ означает est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

что означает

Символ ∈ означает . Таким образом, a ∈ b читается как a — это некое b; …

Сам символ представляет собой стилизованную строчную греческую букву эпсилон («ϵ»), первую букву слова ἐστί , что означает «есть». [4]


Информация о персонаже
Предварительный просмотр∈∉∋∌
Имя в юникодеЭЛЕМЕНТНЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЭЛЕМЕНТОМСОДЕРЖИТ В КАЧЕСТВЕ ЧЛЕНАНЕ СОДЕРЖИТ В КАЧЕСТВЕ ЧЛЕНА
Кодировкидесятичныйшестигранникдекшестигранникдекшестигранникдекшестигранник
Юникод8712У+22088713У+22098715У+220Б8716У+220С
UTF-8226 136 136Е2 88 88226 136 137Е2 88 89226 136 139Е2 88 8Б226 136 140Е2 88 8С
Ссылка на числовой символ∈∈∉∉∋∋∌∌
Ссылка на именованный персонаж&Элемент;, ∈, ∈, ∈∉, ∉, ∉∋, ∋, ∋, ∋∌, ∌, ∌
Латекс\в\notin\ни\не\ни или \не\ни
Вольфрам Математика\[Элемент]\[НеЭлемент]\[ОбратныйЭлемент]\[НеОбратныйЭлемент]

Примеры

Используя определенные выше множества, а именно A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}} и C = {красный, зеленый, синий}, верны следующие утверждения:

  • 2 ∈ А
  • 5 ∉ А
  • {3, 4} ∈ B
  • 3 ∉ Б
  • 4 ∉ Б
  • желтый ∉ С

Мощность множеств

Число элементов в определенном наборе — это свойство, известное как мощность ; неформально это размер набора. [5] В приведенных выше примерах мощность набора  A равна 4, тогда как мощность наборов B и C равна 3. Бесконечное множество — это множество с бесконечным числом элементов, тогда как конечное множество — это множество с конечным числом элементов. Приведенные выше примеры являются примерами конечных множеств. Примером бесконечного множества является множество положительных целых чисел {1, 2, 3, 4, ...} .

Формальное отношение

Как отношение , членство в множестве должно иметь домен и диапазон. Обычно домен называется универсумом, обозначаемым U. Диапазон — это множество подмножеств U , называемое множеством мощности U и обозначаемое P( U ). Таким образом, отношение является подмножеством U × P( U ) . Обратное отношение является подмножеством P( U ) × U . ∈ {\displaystyle \в} ∋ {\displaystyle \ni}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Element". mathworld.wolfram.com . Получено 10 августа 2020 г. .
  2. ^ Эрик Шехтер (1997). Справочник по анализу и его основам . Academic Press . ISBN 0-12-622760-8.стр. 12
  3. ↑ Джордж Булос (4 февраля 1992 г.). 24.243 Классическая теория множеств (лекция) (Речь). Массачусетский технологический институт .
  4. ^ ab Kennedy, HC (июль 1973 г.). «Чему Рассел научился у Пеано». Notre Dame Journal of Formal Logic . 14 (3). Duke University Press: 367–372. doi : 10.1305/ndjfl/1093891001 . MR  0319684.
  5. ^ "Наборы - Элементы | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . Получено 10.08.2020 .

Дальнейшее чтение

  • Халмос, Пол Р. (1974) [1960], Наивная теория множеств , Тексты для студентов по математике (изд. в твердом переплете), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6- «Наивный» означает, что он не полностью аксиоматизирован, а не то, что он глупый или простой (трактовка Халмоша не является ни тем, ни другим).
  • Джек, Томас (2002), «Теория множеств», Стэнфордская энциклопедия философии , Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет
  • Саппс, Патрик (1972) [1960], Аксиоматическая теория множеств , Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-61630-4- Для более глубокого понимания «элемента множества» необходимы как понятие множества (совокупности членов), так и аксиома членства или элементности, аксиома расширения, аксиома разделения и аксиома объединения (Саппес называет ее аксиомой суммы).
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Элемент_(математика)&oldid=1250354932#Обозначения_и_терминология"