Корчиться

В теории узлов существует несколько конкурирующих понятий величины writhe , или . В одном смысле это чисто свойство ориентированной диаграммы связей и предполагает целочисленные значения. В другом смысле это величина, которая описывает количество «наматывания» математического узла (или любой замкнутой простой кривой ) в трехмерном пространстве и предполагает действительные числа в качестве значений. В обоих случаях writhe является геометрической величиной, означающей, что при деформации кривой (или диаграммы) таким образом, чтобы не изменить ее топологию, можно все равно изменить ее writhe. ^[1]${\displaystyle \operatorname {Wr} }$

В теории узлов скручивание — это свойство диаграммы ориентированных связей . Скручивание — это общее число положительных пересечений за вычетом общего числа отрицательных пересечений.

Направление назначается связи в точке каждого компонента, и это направление соблюдается на всем пути вокруг каждого компонента. Для каждого пересечения, которое встречается при движении в этом направлении, если нить внизу идет справа налево, пересечение положительно; если нижняя нить идет слева направо, пересечение отрицательно. Один из способов запомнить это — использовать вариацию правила правой руки .

Положительный переход		Отрицательное пересечение

Для диаграммы узла использование правила правой руки с любой ориентацией дает одинаковый результат, поэтому изгиб хорошо определен на неориентированных диаграммах узла.

Изгиб узла не зависит от двух из трех движений Рейдемейстера : движения типа II и типа III не влияют на изгиб. Однако движение Рейдемейстера типа I увеличивает или уменьшает изгиб на 1. Это означает, что изгиб узла не является изотопическим инвариантом самого узла — только диаграммы. Серией движений типа I можно установить изгиб диаграммы для данного узла равным любому целому числу.

Writhe также является свойством узла, представленного в виде кривой в трехмерном пространстве. Строго говоря, узел — это такая кривая, определяемая математически как вложение окружности в трехмерное евклидово пространство , . Рассматривая кривую с разных точек зрения, можно получить разные проекции и нарисовать соответствующие диаграммы узлов . Его writhe (в смысле пространственной кривой) равен среднему значению интегральных значений writhe, полученных из проекций со всех точек зрения. ^[2] Следовательно, writhe в этой ситуации может принимать любое действительное число в качестве возможного значения. ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \operatorname {Wr} }$

В статье 1961 года ^[3] Георге Кэлугэряну доказал следующую теорему: возьмем ленту в , пусть будет числом зацеплений ее краевых компонентов, и пусть будет ее полным закручиванием . Тогда разница зависит только от сердцевинной кривой ленты , [ ^2] и${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \operatorname {Lk} }$${\displaystyle \operatorname {Tw} }$${\displaystyle \operatorname {Lk} -\operatorname {Tw} }$

${\displaystyle \operatorname {Wr} =\operatorname {Lk} -\operatorname {Tw} }$.

В статье 1959 года ^[4] Кэлугэряну также показал, как вычислить изгиб Wr с интегралом . Пусть будет гладкой, простой, замкнутой кривой и пусть и будут точками на . Тогда изгиб равен интегралу Гаусса${\displaystyle С}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$${\displaystyle С}$

${\displaystyle \operatorname {Wr} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{C}\int _{C}d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}\cdot {\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}}$.

Поскольку writhe для кривой в пространстве определяется как двойной интеграл , мы можем аппроксимировать его значение численно, сначала представив нашу кривую как конечную цепочку отрезков. Процедура, которая была впервые выведена Майклом Левиттом ^[5] для описания сворачивания белка и позже использована для суперспирализованной ДНК Константином Клениным и Йоргом Ланговски ^[6], заключается в вычислении${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {Wr} =\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}=2\sum _{i=2}^{N}\sum _{j<i}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}}$,

где — точная оценка двойного интеграла по отрезкам и ; отметим, что и . ^[6]${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$${\displaystyle я}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \Omega _{ij}=\Omega _{ji}}$${\displaystyle \Omega _{i,i+1}=\Omega _{ii}=0}$

Чтобы оценить для заданных сегментов с номерами и , пронумеруйте конечные точки двух сегментов 1, 2, 3 и 4. Пусть будет вектором, который начинается в конечной точке и заканчивается в конечной точке . Определим следующие величины: ^[6]${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$${\displaystyle я}$${\displaystyle j}$${\displaystyle r_{pq}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle д}$

${\displaystyle n_{1}={\frac {r_{13}\times r_{14}}{\left|r_{13}\times r_{14}\right|}},\;n_{2}={\frac {r_{14}\times r_{24}}{\left|r_{14}\times r_{24}\right|}},\;n_{3}={\frac {r_{24}\times r_{23}}{\left|r_{24}\times r_{23}\right|}},\;n_{4}={\frac {r_{23}\times r_{13}}{\left|r_{23}\times r_{13}\right|}}}$

Затем мы вычисляем ^[6]

${\displaystyle \Omega ^{*}=\arcsin \left(n_{1}\cdot n_{2}\right)+\arcsin \left(n_{2}\cdot n_{3}\right)+\arcsin \left(n_{3}\cdot n_{4}\right)+\arcsin \left(n_{4}\cdot n_{1}\right).}$

Наконец, мы компенсируем возможную разницу знаков и делим на, чтобы получить ^[6]${\displaystyle 4\пи}$

${\displaystyle {\frac {\Omega }{4\pi }}={\frac {\Omega ^{*}}{4\pi }}{\text{sign}}\left(\left(r_{34}\times r_{12}\right)\cdot r_{13}\right).}$

Кроме того, другие методы расчета кривизны могут быть полностью описаны математически и алгоритмически, некоторые из них превосходят метод выше (который имеет квадратичную вычислительную сложность, имея линейную сложность). ^[6]

ДНК будет скручиваться при скручивании, как это делают резиновый шланг или веревка, и именно поэтому биоматематики используют величину скручивания , чтобы описать величину деформации фрагмента ДНК в результате этого напряжения кручения. В общем, это явление образования спиралей из-за скручивания называется суперспирализацией ДНК и является довольно распространенным, и на самом деле в большинстве организмов ДНК отрицательно суперспирализована. ^[1]

Любой эластичный стержень, не только ДНК, снимает напряжение кручения путем скручивания, действия, которое одновременно раскручивает и сгибает стержень. Ф. Брок Фуллер математически показывает ^[7], как «упругая энергия, вызванная локальным скручиванием стержня, может быть уменьшена, если центральная кривая стержня образует спирали, которые увеличивают число его извивов».

• суперспирализация ДНК
• Связывающий номер
• Теория лент
• Твист (математика)
• Номер обмотки

• Адамс, Колин (2004), Книга узлов: Элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3678-1