Производные Виртингера

В комплексном анализе одной и нескольких комплексных переменных производные Виртингера (иногда также называемые операторами Виртингера ^[1] ), названные в честь Вильгельма Виртингера, который ввел их в 1927 году в ходе своих исследований по теории функций многих комплексных переменных , являются частными дифференциальными операторами первого порядка, которые ведут себя очень похоже на обычные производные по одной действительной переменной , когда применяются к голоморфным функциям , антиголоморфным функциям или просто дифференцируемым функциям на комплексных областях . Эти операторы позволяют построить дифференциальное исчисление для таких функций, которое полностью аналогично обычному дифференциальному исчислению для функций действительных переменных . ^[2]

Производные Виртингера использовались в комплексном анализе по крайней мере еще в статье (Пуанкаре 1899), как кратко отмечено Черри и Йе (2001, стр. 31) и Реммертом (1991, стр. 66–67). ^[3] В третьем абзаце своей статьи 1899 года ^[4] Анри Пуанкаре впервые определяет комплексную переменную в и ее комплексно сопряженную следующим образом${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{cases}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.}$

Затем он записывает уравнение, определяющее функции, которые он называет бигармоническими ^[5], ранее записанные с использованием частных производных по действительным переменным в диапазоне от 1 до , а именно следующим образом ^[6]${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{k},y_{q}}$${\displaystyle к,д}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0}$

Это подразумевает, что он неявно использовал определение 2 ниже: чтобы увидеть это, достаточно сравнить уравнения 2 и 2' из (Пуанкаре 1899, стр. 112). По-видимому, эта статья не была замечена ранними исследователями теории функций многих комплексных переменных : в работах Леви-Чивиты (1905), Леви (1910) (и Леви 1911) и Аморозо (1912) все фундаментальные частные дифференциальные операторы теории выражаются непосредственно с помощью частных производных относительно действительных и мнимых частей вовлеченных комплексных переменных . В большой обзорной статье Осгуда (1966) (впервые опубликованной в 1913 году) ^[7] частные производные по каждой комплексной переменной голоморфной функции нескольких комплексных переменных, по-видимому, подразумеваются как формальные производные : по сути, когда Осгуд выражает плюригармонический оператор ^[8] и оператор Леви, он следует устоявшейся практике Аморозо , Леви и Леви-Чивиты .

По мнению Хенрици (1993, стр. 294), новый шаг в определении концепции был сделан Димитрием Помпейу : в статье (Pompeiu 1912) для заданной комплекснозначной дифференцируемой функции (в смысле действительного анализа ) одной комплексной переменной, определенной в окрестности заданной точки, он определяет ареолярную производную как следующий предел${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C},}$

${\displaystyle {{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}\mathrel {\overset {\mathrm {def} }{=}} \lim _ {r\to 0}{\frac {1}{2\pi ir^{2}}}\oint _{\Gamma (z_{0},r)}g(z)\mathrm {d} г,}$

где — граница круга радиуса , полностью содержащегося в области определения , т.е. его ограничивающей окружности . ^[9] Очевидно, это альтернативное определение производной Виртингера относительно комплексно сопряженной переменной : ^[10] оно является более общим, поскольку, как отметил Хенричи (1993, стр. 294), предел может существовать для функций, которые даже не дифференцируемы в ^[11] Согласно Фикере (1969, стр. 28), первым, кто определил ареолярную производную как слабую производную в смысле Соболева, был Илья Векуа . ^[12] В своей следующей статье Помпейу (1913) использует это новое определенное понятие для того, чтобы ввести свое обобщение интегральной формулы Коши , теперь называемой формулой Коши–Помпейу .${\displaystyle \Gamma (z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g(z),}$ ${\displaystyle z=z_{0}.}$

Первое систематическое введение производных Виртингера, по-видимому, принадлежит Вильгельму Виртингеру в статье Wirtinger 1927 года с целью упрощения вычислений величин, встречающихся в теории функций многих комплексных переменных : в результате введения этих дифференциальных операторов форма всех дифференциальных операторов, обычно используемых в теории, таких как оператор Леви и оператор Коши–Римана , значительно упрощается и, следовательно, становится более удобной для работы. Статья намеренно написана с формальной точки зрения, т. е. без приведения строгого вывода выведенных свойств.

Несмотря на их повсеместное использование, ^[13] кажется, что не существует текста, перечисляющего все свойства производных Виртингера: однако, достаточно полными ссылками являются краткий курс по многомерному комплексному анализу Андреотти (1976, стр. 3–5), ^[14], монография Ганнинга и Росси (1965, стр. 3–6), ^[15] и монография Каупа и Каупа (1983, стр. 2,4) ^[16] , которые используются в качестве общих ссылок в этом и следующих разделах.

Определение 1. Рассмотрим комплексную плоскость (в смысле выражения комплексного числа для действительных чисел и ). Производные Виртингера определяются как следующие линейные частные дифференциальные операторы первого порядка:${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\end{aligned}}}$

Очевидно, что естественной областью определения этих частных дифференциальных операторов является пространство функций на области , но поскольку эти операторы линейны и имеют постоянные коэффициенты , их можно легко расширить на любое пространство обобщенных функций .${\displaystyle С^{1}}$ ${\displaystyle \Омега \subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

Определение 2. Рассмотрим евклидово пространство на комплексном поле. Производные Виртингера определяются как следующие линейные частные дифференциальные операторы первого порядка:$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.}$$

Что касается производных Виртингера для функций одной комплексной переменной, то естественной областью определения этих частных дифференциальных операторов снова является пространство функций на области определения , и снова, поскольку эти операторы линейны и имеют постоянные коэффициенты , их можно легко распространить на любое пространство обобщенных функций .${\displaystyle С^{1}}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2n},}$

Когда функция комплексно дифференцируема в точке, производная Виртингера совпадает с комплексной производной . Это следует из уравнений Коши-Римана . Для комплексной функции , которая комплексно дифференцируема${\displaystyle f}$${\displaystyle \partial f/\partial z}$${\displaystyle df/dz}$${\ displaystyle f (z) = u (z) + iv (z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\\&={\frac {\partial u}{\partial z}}+i{\frac {\partial v}{\partial z}}={\frac {df}{dz}}\end{aligned}}}$

где третье равенство использует первое определение производных Виртингера для и .${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

Это также можно сделать посредством фактического применения уравнений Коши-Римана.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\\&={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {df}{dz}}\end{aligned}}}$

Окончательное равенство вытекает из того, что оно является одной из четырех эквивалентных формулировок комплексной производной через частные производные компонентов.

Вторая производная Виртингера также связана с комплексным дифференцированием; эквивалентна уравнениям Коши-Римана в комплексной форме.${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$

В настоящем и последующих разделах предполагается, что — комплексный вектор и что где — действительные векторы , причем n  ≥ 1: также предполагается, что подмножество можно рассматривать как область в действительном евклидовом пространстве или в его изоморфном комплексном аналоге. Все доказательства являются простыми следствиями определений 1 и 2 и соответствующих свойств производных ( обычных или частных ).${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Лемма 1. Если и — комплексные числа , то для справедливы равенства${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Лемма 2. Если тогда для произведения выполняется правило${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega ),}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Это свойство подразумевает, что производные Виртингера являются производными с точки зрения абстрактной алгебры , точно так же, как и обычные производные .

Это свойство принимает две различные формы соответственно для функций одной и нескольких комплексных переменных : для случая n  > 1, чтобы выразить цепное правило в его полной общности, необходимо рассмотреть две области и и две карты и имеющие естественные требования гладкости . ^[17]${\displaystyle \Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle \Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}}$ ${\displaystyle g:\Omega '\to \Omega }$${\displaystyle f:\Omega \to \Omega ''}$

Лемма 3.1 Если и то выполняется цепное правило${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega ),}$${\displaystyle g(\Omega )\subseteq \Omega ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}\end{aligned}}}$

Лемма 3.2 Если и тогда для следующей формы цепного правила выполняется${\displaystyle g\in C^{1}(\Omega ',\Omega )}$${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ,\Omega ''),}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Лемма 4. Если тогда для справедливы следующие равенства${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ),}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\\{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}\end{aligned}}}$

• CR–функция
• комплекс Дольбо
• Оператор Дольбо
• Плюригармоническая функция