Плюригармоническая функция

В математике , а точнее в теории функций многих комплексных переменных , плюригармоническая функция — это действительно значная функция , которая локально является действительной частью голоморфной функции многих комплексных переменных. Иногда такую ​​функцию называют n -гармонической функцией , где n ≥ 2 — размерность комплексной области , в которой функция определена. [1] Однако в современных изложениях теории функций многих комплексных переменных [2] предпочитают давать эквивалентную формулировку понятия, определяя плюригармоническую функцию как комплекснозначную функцию, ограничение которой на каждую комплексную линию является гармонической функцией относительно действительной и мнимой части параметра комплексной линии.

Формальное определение

Определение 1. Пусть G ⊆ C n — комплексная область и f  : G → R — C 2 (дважды непрерывно дифференцируемая ) функция. Функция f называется плюригармонической , если для любой комплексной прямой

{ а + б з ∣ з ∈ С } ⊂ С н {\displaystyle \{a+bz\mid z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}}

образованная с использованием каждой пары комплексных кортежей a , b ∈ C n , функция

з ↦ ф ( а + б з ) {\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}

является гармонической функцией на множестве

{ з ∈ С ∣ а + б з ∈ Г } ⊂ С . {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid a+bz\in G\}\subset \mathbb {C} .}


Определение 2. Пусть M — комплексное многообразие и f  : M → R — функция класса C 2. Функция f называется плюригармонической, если

г г с ф = 0. {\displaystyle dd^{c}f=0.}

Основные свойства

Каждая плюригармоническая функция является гармонической функцией , но не наоборот. Далее, можно показать, что для голоморфных функций нескольких комплексных переменных действительные (и мнимые) части являются локально плюригармоническими функциями. Однако гармоничность функции по каждой переменной в отдельности не означает, что она плюригармоническая.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ См., например, (Severi 1958, стр. 196) и (Rizza 1955, стр. 202). Пуанкаре (1899, стр. 111–112) называет такие функции « бигармоническими функциями », независимо от размерности n ≥ 2: его статья, возможно, [ требуется ссылка ] является более старой, в которой плюригармонический оператор выражается с помощью частных дифференциальных операторов первого порядка, которые теперь называются производными Виртингера .
  2. ^ См., например, популярный учебник Кранца (1992, стр. 92) и продвинутую (хотя и немного устаревшую) монографию Ганнинга и Росси (1965, стр. 271).

Исторические справки

  • Ганнинг, Роберт К .; Росси, Хьюго (1965), Аналитические функции нескольких комплексных переменных, ряды Прентиса-Холла в современном анализе, Энглвуд Клиффс , Нью-Джерси: Прентис-Холл , стр. xiv+317, ISBN 9780821869536, MR  0180696, Zbl  0141.08601.
  • Кранц, Стивен Г. (1992), Теория функций нескольких комплексных переменных , Математическая серия Wadsworth & Brooks/Cole (второе издание), Пасифик-Гроув, Калифорния : Wadsworth & Brooks/Cole, стр. xvi+557, ISBN 0-534-17088-9, MR  1162310, Zbl  0776.32001.
  • Пуанкаре, Х. (1899), «Sur les proprietés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes», Acta Mathematica (на французском языке), 22 (1): 89–178 , doi : 10.1007/BF02417872 , JFM  29.0370.02.
  • Севери, Франческо (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più Variabili Complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica в Риме (на итальянском языке), Падуя: CEDAM – Casa Editrice Dott. Антонио Милани, стр. XIV+255, Збл  0094.28002. Заметки с курса, который читал Франческо Севери в Istituto Nazionale di Alta Matematica (который в настоящее время носит его имя), содержащие приложения Энцо Мартинелли , Джованни Баттиста Рицца и Марио Бенедикти. Английский перевод названия звучит так:-" Лекции по аналитическим функциям нескольких комплексных переменных - Лекции читались в 1956–57 годах в Istituto Nazionale di Alta Matematica в Риме ".

Ссылки

  • Аморосо, Луиджи (1912), «Sopra un Issuea al Contorno», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском языке), 33 (1): 75–85 , doi : 10.1007/BF03015289, JFM  43.0453.03, S2CID  122956910. Первая статья, в которой дается набор (довольно сложных) необходимых и достаточных условий разрешимости задачи Дирихле для голоморфных функций многих переменных . Английский перевод названия звучит как:-" About a border value problem ".
  • Фичера, Гаэтано (1982a), «Problemi al contorno per le funzioni pluriarmoniche», Atti del Convegno celebrativo dell'80° anniversario della nascita di Renato Calapso, Мессина – Таормина, 1–4 апреля 1981 г. (на итальянском языке), Рим: Libreria Eredi Виргилио Вески, стр.  127– 152, МР  0698973, Збл  0958.32504« Краевые задачи для плюригармонических функций » (перевод названия на английский язык) посвящены краевым задачам для плюригармонических функций: Фикера доказывает условие следа для разрешимости задачи и рассматривает несколько более ранних результатов Энцо Мартинелли, Джованни Баттисты Риццы и Франческо Севери.
  • Фичера, Гаэтано (1982b), «Valori al contorno delle funzioni pluriarmoniche: estensione allo spazio R 2 n di un teorema di L. Amoroso», Rendiconti del Seminario e Fisico di Milano (на итальянском языке), 52 (1): 23– 34, дои :10.1007/BF02924996, MR  0802991, S2CID  122147246, Збл  0569.31006Английский перевод названия звучит так: « Граничные значения плюригармонических функций: расширение теоремы Л. Аморозо на пространство R2n » .
  • Фичера, Гаэтано (1982c), «Su un teorema di L. Amoroso nella teoria delle funzioni analitiche di Due Variabili Complesse», Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (на итальянском языке), 27 : 327–333 , MR  0669481, Zbl  0509.31007Английский перевод названия звучит так: « О теореме Л. Аморозо в теории аналитических функций двух комплексных переменных ».
  • Мацугу, Ясуо (1982), «Плюригармонические функции как действительные части голоморфных функций», Мемуары факультета естественных наук Университета Кюсю , Серия A, Математика, 36 (2): 157–163 , doi : 10.2206/kyushumfs.36.157 , МР  0676796, г. Збл  0501.32008.
  • Никлиборк, Ладислас (30 марта 1925 г.), «Sur les fonctions Hyperharmoniques», Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 180 : 1008–1011 , JFM  51.0364.02, доступно в Галлике
  • Никлиборк, Ладислас (11 января 1926 г.), «Sur les fonctions Hyperharmoniques», Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 182 : 110–112 , JFM  52.0498.02, доступно в Галлике
  • Рицца, ГБ (1955), «Задача Дирихле для n-гармонических функций и связанные с ними геометрические проблемы», Mathematische Annalen , 130 : 202–218 , doi :10.1007/BF01343349, MR  0074881, S2CID  121147845, Zbl  0067.33004, доступно на DigiZeitschirften.

В данной статье использованы материалы из pluriharmonic function на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pluriharmonic_function&oldid=1107363225"