Распределение хи-квадрат

Хи-квадрат

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Обозначение	${\displaystyle \chi ^{2}(k)\;}$или${\displaystyle \chi _{k}^{2}\!}$
Параметры	${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}~~}$(известные как «степени свободы»)
Поддерживать	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;}$
СДФ	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;}$
Иметь в виду	${\displaystyle k}$
Медиана	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$
Режим	${\displaystyle \max(k-2,0)\;}$
Дисперсия	${\displaystyle 2k\;}$
Асимметрия	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}\,}$
Избыточный эксцесс	${\displaystyle {\frac {12}{k}}}$
Энтропия	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\log \left(2\Gamma {\Bigl (}{\frac {k}{2}}{\Bigr )}\right)\\&\!+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)\end{aligned}}}$
МГФ	${\displaystyle (1-2t)^{-k/2}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}\;}$
CF	${\displaystyle (1-2it)^{-k/2}}$[1]
ПГФ	${\displaystyle (1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ for }}0<t<{\sqrt {e}}\;}$

В теории вероятностей и статистике распределение хи-квадрат (также хи-квадрат или -распределение ) со степенями свободы представляет собой распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин. ^[2]${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения и одномерного распределения Уишарта . В частности, если то (где — параметр формы и параметр масштаба гамма-распределения) и .${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim {\text{Gamma}}(\alpha ={\frac {k}{2}},\theta =2)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle X\sim {\text{W}}_{1}(1,k)}$

Масштабированное распределение хи-квадрат является репараметризацией гамма-распределения и одномерного распределения Уишарта . В частности, если то и .${\displaystyle s^{2}\chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim s^{2}\chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim {\text{Gamma}}(\alpha ={\frac {k}{2}},\theta =2s^{2})}$${\displaystyle X\sim {\text{W}}_{1}(s^{2},k)}$

Распределение хи-квадрат является одним из наиболее широко используемых распределений вероятностей в статистике вывода , особенно при проверке гипотез и построении доверительных интервалов . ^{[3] [4] [5] [6]} Это распределение иногда называют центральным распределением хи-квадрат , частным случаем более общего нецентрального распределения хи-квадрат . ^[7]

Распределение хи-квадрат используется в общих тестах хи-квадрат для проверки соответствия наблюдаемого распределения теоретическому, независимости двух критериев классификации качественных данных и при нахождении доверительного интервала для оценки среднеквадратического отклонения популяции нормального распределения от среднеквадратического отклонения выборки. Многие другие статистические тесты также используют это распределение, например, дисперсионный анализ Фридмана по рангам .

Если Z ₁ , ..., Z _k — независимые стандартные нормальные случайные величины, то сумма их квадратов,

${\displaystyle Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},}$

распределено по закону хи-квадрат с k степенями свободы. Обычно это обозначается как

${\displaystyle Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.}$

Распределение хи-квадрат имеет один параметр: положительное целое число k , которое определяет число степеней свободы (число суммируемых случайных величин, Z _i s).

Распределение хи-квадрат используется в основном при проверке гипотез и в меньшей степени для доверительных интервалов для дисперсии популяции, когда лежащее в основе распределение является нормальным. В отличие от более широко известных распределений, таких как нормальное распределение и экспоненциальное распределение , распределение хи-квадрат не так часто применяется при прямом моделировании природных явлений. Оно возникает при следующих проверках гипотез, среди прочих:

• Тест хи-квадрат независимости в таблицах сопряженности
• Хи-квадрат тест качества соответствия наблюдаемых данных гипотетическим распределениям
• Тест отношения правдоподобия для вложенных моделей
• Логранговый тест в анализе выживаемости
• Тест Кохрана-Мантеля-Хензеля для стратифицированных таблиц сопряженности
• тест Вальда
• Тест на оценку

Он также является компонентом определения t -распределения и F -распределения , используемых в t -тестах, дисперсионном анализе и регрессионном анализе.

Основная причина, по которой распределение хи-квадрат широко используется при проверке гипотез, заключается в его связи с нормальным распределением. Многие проверки гипотез используют тестовую статистику, например, t -статистику в t -тесте. Для этих проверок гипотез по мере увеличения размера выборки n распределение выборки тестовой статистики приближается к нормальному распределению ( центральная предельная теорема ). Поскольку тестовая статистика (например, t ) распределена асимптотически нормально, при условии, что размер выборки достаточно велик, распределение, используемое для проверки гипотез, может быть аппроксимировано нормальным распределением. Проверка гипотез с использованием нормального распределения хорошо понятна и относительно проста. Простейшее распределение хи-квадрат является квадратом стандартного нормального распределения. Поэтому везде, где для проверки гипотез можно использовать нормальное распределение, можно использовать распределение хи-квадрат.

Предположим, что — случайная величина, выбранная из стандартного нормального распределения, где среднее значение равно , а дисперсия равна : . Теперь рассмотрим случайную величину . Распределение случайной величины является примером распределения хи-квадрат: . Нижний индекс 1 указывает на то, что это конкретное распределение хи-квадрат построено только из 1 стандартного нормального распределения. Говорят, что распределение хи-квадрат, построенное путем возведения в квадрат одного стандартного нормального распределения, имеет 1 степень свободы. Таким образом, по мере увеличения размера выборки для проверки гипотезы распределение тестовой статистики приближается к нормальному распределению. Так же, как экстремальные значения нормального распределения имеют низкую вероятность (и дают малые p-значения), экстремальные значения распределения хи-квадрат имеют низкую вероятность.${\displaystyle Z}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$${\displaystyle Q=Z^{2}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \ Q\ \sim \ \chi _{1}^{2}}$

Еще одной причиной того, что распределение хи-квадрат широко используется, является то, что оно оказывается распределением большой выборки обобщенных тестов отношения правдоподобия (LRT). ^[8] LRT обладают несколькими желательными свойствами; в частности, простые LRT обычно обеспечивают наивысшую мощность для отклонения нулевой гипотезы ( лемма Неймана–Пирсона ), и это также приводит к свойствам оптимальности обобщенных LRT. Однако нормальное и хи-квадрат приближения действительны только асимптотически. По этой причине предпочтительнее использовать t- распределение, а не нормальное приближение или хи-квадрат приближение для небольшого размера выборки. Аналогично, при анализе таблиц сопряженности приближение хи-квадрат будет плохим для небольшого размера выборки, и предпочтительнее использовать точный тест Фишера . Рэмси показывает, что точный биномиальный тест всегда более мощный, чем нормальное приближение. ^[9]

Ланкастер показывает связи между биномиальным, нормальным и хи-квадрат распределениями следующим образом. ^[10] Де Муавр и Лаплас установили, что биномиальное распределение может быть аппроксимировано нормальным распределением. В частности, они показали асимптотическую нормальность случайной величины

${\displaystyle \chi ={m-Np \over {\sqrt {Npq}}}}$

где — наблюдаемое число успехов в испытаниях, где вероятность успеха равна , и .${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q=1-p}$

Возведение обеих частей уравнения в квадрат дает

${\displaystyle \chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Npq}}$

Используя , , и , это уравнение можно переписать как${\displaystyle N=Np+N(1-p)}$${\displaystyle N=m+(N-m)}$${\displaystyle q=1-p}$

${\displaystyle \chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Np}+{(N-m-Nq)^{2} \over Nq}}$

Выражение справа имеет форму, которую Карл Пирсон обобщил бы до формы

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}}$

где

${\displaystyle \chi ^{2}}$= Статистика кумулятивного теста Пирсона, которая асимптотически приближается к распределению; = число наблюдений типа ; = ожидаемая (теоретическая) частота типа , утверждаемая нулевой гипотезой о том, что доля типа в популяции равна ; и = число ячеек в таблице. ^{[ необходима ссылка ]}${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle O_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle E_{i}=Np_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle n}$

В случае биномиального результата (подбрасывание монеты) биномиальное распределение может быть аппроксимировано нормальным распределением (для достаточно большого ). Поскольку квадрат стандартного нормального распределения является распределением хи-квадрат с одной степенью свободы, вероятность результата, такого как 1 орёл в 10 испытаниях, может быть аппроксимирована либо с помощью прямого использования нормального распределения, либо распределения хи-квадрат для нормализованной квадратичной разницы между наблюдаемым и ожидаемым значением. Однако многие задачи включают в себя больше, чем два возможных результата биномиального распределения, и вместо этого требуют 3 или более категорий, что приводит к полиномиальному распределению. Так же, как де Муавр и Лаплас искали и нашли нормальное приближение к биномиальному, Пирсон искал и нашел вырожденное многомерное нормальное приближение к полиномиальному распределению (числа в каждой категории складываются в общий размер выборки, который считается фиксированным). Пирсон показал, что распределение хи-квадрат возникло из такого многомерного нормального приближения к полиномиальному распределению, тщательно учитывая статистическую зависимость (отрицательные корреляции) между числами наблюдений в различных категориях. ^[10]${\displaystyle n}$

Функция плотности вероятности (pdf) распределения хи-квадрат равна

${\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x>0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

где обозначает гамма-функцию , которая имеет замкнутые значения для целых чисел .${\textstyle \Gamma (k/2)}$${\displaystyle k}$

Для вывода функции PDF в случаях одной, двух и более степеней свободы см. Доказательства, связанные с распределением хи-квадрат .${\displaystyle k}$

Его кумулятивная функция распределения имеет вид:

${\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma ({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}=P\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right),}$

где — нижняя неполная гамма-функция , а — регуляризованная гамма-функция .${\displaystyle \gamma (s,t)}$${\textstyle P(s,t)}$

В частном случае эта функция имеет простой вид:${\displaystyle k=2}$

${\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-x/2}}$

который можно легко получить путем прямого интегрирования. Целочисленная повторяемость гамма-функции позволяет легко вычислять для других малых, даже .${\displaystyle f(x;\,2)={\frac {1}{2}}e^{-x/2}}$${\displaystyle F(x;\,k)}$${\displaystyle k}$

Таблицы кумулятивной функции распределения хи-квадрат широко доступны, и эта функция включена во многие электронные таблицы и все статистические пакеты .

Полагая , можно получить границы Чернова на нижнем и верхнем хвостах функции распределения. ^[11] Для случаев, когда (включая все случаи, когда эта функция распределения меньше половины):${\displaystyle z\equiv x/k}$${\displaystyle 0<z<1}$${\displaystyle F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

Хвостовая граница для случаев, когда , аналогично, равна${\displaystyle z>1}$

${\displaystyle 1-F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

Другую аппроксимацию для CDF, смоделированной на основе куба гауссовой функции, см. в разделе Нецентральное распределение хи-квадрат .

Ниже приведен частный случай теоремы Кохрана.

Теорема. Если — независимые одинаково распределенные (iid), стандартные нормальные случайные величины, то где${\displaystyle Z_{1},...,Z_{n}}$${\displaystyle \sum _{t=1}^{n}(Z_{t}-{\bar {Z}})^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}}$${\displaystyle {\bar {Z}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Z_{t}.}$

Из определения распределения хи-квадрат следует, что сумма независимых переменных хи-квадрат также распределена по закону хи-квадрат. В частности, если — независимые переменные хи-квадрат с , степенями свободы, соответственно, то — распределена по закону хи-квадрат со степенями свободы.${\displaystyle X_{i},i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle Y=X_{1}+\cdots +X_{n}}$${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}$

Выборочное среднее значение iid хи-квадрат переменных степени распределено в соответствии с гамма-распределением с параметрами формы и масштаба :${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha =n\,k/2,\theta =2/n\right)\qquad {\text{where }}X_{i}\sim \chi ^{2}(k)}$

Асимптотически, учитывая, что для параметра формы, стремящегося к бесконечности, гамма-распределение сходится к нормальному распределению с математическим ожиданием и дисперсией , выборочное среднее сходится к:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu =\alpha \cdot \theta }$${\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha \,\theta ^{2}}$

${\displaystyle {\overline {X}}\xrightarrow {n\to \infty } N(\mu =k,\sigma ^{2}=2\,k/n)}$

Обратите внимание, что мы получили бы тот же результат, применив вместо этого центральную предельную теорему , отметив, что для каждой переменной хи-квадрат степени ожидание равно , а ее дисперсия (и, следовательно, дисперсия выборочного среднего равна ).${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 2\,k}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2k}{n}}}$

Дифференциальная энтропия определяется как

${\displaystyle h=\int _{0}^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx={\frac {k}{2}}+\ln \left[2\,\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right]+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\,\psi \!\left({\frac {k}{2}}\right),}$

где - дигамма-функция .${\displaystyle \psi (x)}$

Распределение хи-квадрат — это распределение вероятности максимальной энтропии для случайной переменной , для которой и фиксированы. Поскольку хи-квадрат принадлежит к семейству гамма-распределений, его можно вывести, подставив соответствующие значения в Expectation of the log moment of gamma . Для вывода из более базовых принципов см. вывод в moment-generating function of the enough statistic .${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=k}$${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(X))=\psi (k/2)+\ln(2)}$

Нецентральные моменты (сырые моменты) распределения хи-квадрат со степенями свободы определяются как ^{[12] [13]}${\displaystyle k}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{m})=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)=2^{m}{\frac {\Gamma \left(m+{\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}.}$

Кумулянты легко получаются путем разложения в степенной ряд логарифма характеристической функции:

${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k}$

Распределение хи-квадрат демонстрирует сильную концентрацию вокруг своего среднего значения. Стандартные границы Лорана-Массара ^[14] таковы:

${\displaystyle \operatorname {P} (X-k\geq 2{\sqrt {kx}}+2x)\leq \exp(-x)}$

${\displaystyle \operatorname {P} (k-X\geq 2{\sqrt {kx}})\leq \exp(-x)}$

Одним из следствий этого является то, что если — гауссовский случайный вектор в , то по мере роста размерности квадрат длины вектора плотно концентрируется вокруг с шириной : где показатель степени может быть выбран равным любому значению в .${\displaystyle v\sim N(0,1)^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{1/2+\alpha }}$$${\displaystyle Pr(\|v\|^{2}\in [n-2n^{1/2+\alpha },n+2n^{1/2+\alpha }+2n^{\alpha }])\geq 1-e^{-n^{\alpha }}}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (0,1/2)}$

По центральной предельной теореме , поскольку распределение хи-квадрат является суммой независимых случайных величин с конечным средним значением и дисперсией, оно сходится к нормальному распределению при больших . Для многих практических целей, для распределение достаточно близко к нормальному распределению , поэтому разницей можно пренебречь. ^[15] В частности, если , то при стремлении к бесконечности распределение стремится к стандартному нормальному распределению. Однако сходимость медленная, поскольку асимметрия равна , а избыточный эксцесс равен .${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k>50}$${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$${\displaystyle 12/k}$

Распределение выборки сходится к нормальному распределению гораздо быстрее, чем распределение выборки , ^[16], поскольку логарифмическое преобразование устраняет большую часть асимметрии. ^[17]${\displaystyle \ln(\chi ^{2})}$${\displaystyle \chi ^{2}}$

Другие функции распределения хи-квадрат сходятся к нормальному распределению быстрее. Вот некоторые примеры:

• Если то распределено приблизительно нормально со средним значением и единичной дисперсией (1922, по RA Fisher , см. (18.23), стр. 426 Джонсона. ^[5]${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt {2X}}}$${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}}$
• Если то приблизительно нормально распределено со средним значением и дисперсией ^[18] Это известно как преобразование Уилсона–Хилферти , см. (18.24), стр. 426 Джонсона. ^[5]${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}$${\displaystyle 1-{\frac {2}{9k}}}$${\displaystyle {\frac {2}{9k}}.}$
  • Это нормализующее преобразование приводит непосредственно к широко используемой медианной аппроксимации путем обратного преобразования из среднего значения, которое также является медианой нормального распределения.${\displaystyle k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$

This section needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this section. Unsourced material may be challenged and removed. (September 2011) (Learn how and when to remove this message)

• Как , ( нормальное распределение )${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle (\chi _{k}^{2}-k)/{\sqrt {2k}}~{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$
• ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$( нецентральное распределение хи-квадрат с параметром нецентральности )${\displaystyle \lambda =0}$
• Если тогда имеет распределение хи-квадрат${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}Y}$${\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}}$

• В частном случае, если тогда имеет распределение хи-квадрат${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (1,\nu _{2})\,}$${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }Y\,}$${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$

• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}(0,1)\|^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$( Квадрат нормы k стандартных нормально распределенных переменных представляет собой распределение хи-квадрат с k степенями свободы )
• Если и , то . ( гамма-распределение )${\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}\,}$${\displaystyle c>0\,}$${\displaystyle cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,}$
• Если тогда ( хи-распределение )${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \chi _{k}}$
• Если , то — экспоненциальное распределение . (Подробнее см. в разделе гамма-распределение .)${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (1/2)}$
• Если , то — распределение Эрланга .${\displaystyle X\sim \chi _{2k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)}$
• Если , то${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$${\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}}$
• Если ( распределение Рэлея ), то${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{2}^{2}\,}$
• Если ( распределение Максвелла ), то${\displaystyle X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{3}^{2}\,}$
• Если тогда ( Обратное распределение хи-квадрат )${\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Inv-} \chi _{\nu }^{2}\,}$
• Распределение хи-квадрат является частным случаем распределения Пирсона типа III.
• Если и независимы, то ( бета-распределение )${\displaystyle X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}\,}$${\displaystyle Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}\,}$${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,}$
• Если ( равномерное распределение ), то${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)\,}$${\displaystyle -2\log(X)\sim \chi _{2}^{2}\,}$
• Если тогда${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi _{2n}^{2}\,}$
• Если следует обобщенное нормальное распределение (версия 1) с параметрами , то ^[19]${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mu ,\alpha ,\beta }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |^{\beta }}{\alpha }}\sim \chi _{2n/\beta }^{2}\,}$
• Распределение хи-квадрат является преобразованием распределения Парето.
• Распределение Стьюдента — это преобразование распределения хи-квадрат.
• Распределение Стьюдента можно получить из распределения хи-квадрат и нормального распределения.
• Нецентральное бета-распределение может быть получено как преобразование распределения хи-квадрат и нецентрального распределения хи-квадрат
• Нецентральное t-распределение можно получить из нормального распределения и распределения хи-квадрат.

Переменная хи-квадрат со степенями свободы определяется как сумма квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин.${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Если — -мерный гауссовский случайный вектор со средним вектором и ранговой ковариационной матрицей , то — распределено по закону хи-квадрат со степенями свободы.${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X=(Y-\mu )^{T}C^{-1}(Y-\mu )}$${\displaystyle k}$

Сумма квадратов статистически независимых гауссовских переменных с единичной дисперсией, не имеющих нулевого среднего, дает обобщение распределения хи-квадрат, называемое нецентральным распределением хи-квадрат .

Если — вектор независимых стандартных нормальных случайных величин и — симметричная идемпотентная матрица с рангом , то квадратичная форма распределена по закону хи-квадрат со степенями свободы.${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle k-n}$ ${\displaystyle Y^{T}AY}$${\displaystyle k-n}$

Если — положительно-полуопределенная ковариационная матрица со строго положительными диагональными элементами, то для и случайного -вектора, независимого от , такого, что и тогда${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle X\sim N(0,\Sigma )}$${\displaystyle w}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)\Sigma \left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)^{\top }}}\sim \chi _{1}^{2}.}$^[17]

Распределение хи-квадрат также естественным образом связано с другими распределениями, вытекающими из гауссовского. В частности,

• ${\displaystyle Y}$распределено по закону F , если , где и статистически независимы.${\displaystyle Y\sim F(k_{1},k_{2})}$${\displaystyle Y={\frac {{X_{1}}/{k_{1}}}{{X_{2}}/{k_{2}}}}}$${\displaystyle X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}}$${\displaystyle X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}}$
• Если и статистически независимы, то . Если и не являются независимыми, то не распределено по закону хи-квадрат.${\displaystyle X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}}$${\displaystyle X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \chi _{k_{1}+k_{2}}^{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$

Распределение хи-квадрат получается как сумма квадратов k независимых, с нулевым средним и единичной дисперсией гауссовских случайных величин. Обобщения этого распределения могут быть получены путем суммирования квадратов других типов гауссовских случайных величин. Несколько таких распределений описаны ниже.

Если — случайные величины хи-квадрат и , то распределение является частным случаем обобщенного распределения хи-квадрат . Замкнутое выражение для этого распределения неизвестно. Однако его можно эффективно аппроксимировать, используя свойство характеристических функций случайных величин хи-квадрат. ^[20]${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$

Нецентральное распределение хи-квадрат получается из суммы квадратов независимых гауссовских случайных величин, имеющих единичную дисперсию и ненулевые средние значения.

Обобщенное распределение хи-квадрат получается из квадратичной формы z'Az, где z — гауссовский вектор с нулевым средним, имеющий произвольную ковариационную матрицу, а A — произвольная матрица.

Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения , поскольку использует параметризацию скорости гамма-распределения (или использует параметризацию масштаба гамма-распределения), где k — целое число.${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},2\right)}$

Поскольку экспоненциальное распределение также является частным случаем гамма-распределения, мы также имеем, что если , то — экспоненциальное распределение .${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{2}}\right)}$

Распределение Эрланга также является частным случаем гамма-распределения, и поэтому мы также имеем, что если при четном , то является распределением Эрланга с параметром формы и параметром масштаба .${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k/2}$${\displaystyle 1/2}$

Распределение хи-квадрат имеет многочисленные приложения в статистике вывода , например, в тестах хи-квадрат и в оценке дисперсий . Оно входит в проблему оценки среднего значения нормально распределенной совокупности и в проблему оценки наклона линии регрессии через свою роль в распределении Стьюдента . Оно входит во все проблемы дисперсионного анализа через свою роль в F-распределении , которое является распределением отношения двух независимых случайных величин хи-квадрат , каждая из которых делится на свои соответствующие степени свободы.

Ниже приведены некоторые наиболее распространенные ситуации, в которых распределение хи-квадрат возникает из выборки, распределенной по Гауссу.

• если являются независимыми случайными величинами , то где .${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X_{i}}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}}$${\displaystyle {\overline {X_{i}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$
• В таблице ниже показаны некоторые статистические данные, основанные на независимых случайных величинах, распределение вероятностей которых связано с распределением хи-квадрат:${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,\ldots ,k}$

Имя	Статистика
распределение хи-квадрат	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
нецентральное распределение хи-квадрат	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
распределение хи	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
нецентральное распределение хи	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Распределение хи-квадрат также часто встречается в магнитно-резонансной томографии . ^[21]

Значение - это вероятность наблюдения тестовой статистики по крайней мере как экстремальной в распределении хи-квадрат. Соответственно, поскольку кумулятивная функция распределения (CDF) для соответствующих степеней свободы (df) дает вероятность получения значения менее экстремального, чем эта точка, вычитание значения CDF из 1 дает p -значение. Низкое p -значение, ниже выбранного уровня значимости, указывает на статистическую значимость , т. е. достаточные доказательства для отклонения нулевой гипотезы. Уровень значимости 0,05 часто используется в качестве границы между значимыми и незначимыми результатами.${\textstyle p}$

В таблице ниже приведен ряд значений p , соответствующих первым 10 степеням свободы.${\displaystyle \chi ^{2}}$

Степени свободы (df)	${\displaystyle \chi ^{2}}$значение [22]
1	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.63	10.83
2	0.10	0,21	0,45	0,71	1.39	2.41	3.22	4.61	5.99	9.21	13.82
3	0,35	0,58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.81	11.34	16.27
4	0,71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.87	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
p -значение (вероятность)	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0.30	0.20	0.10	0,05	0.01	0,001

Эти значения можно рассчитать, оценивая квантильную функцию (также известную как «обратная CDF» или «ICDF») распределения хи-квадрат; ^[23] например, χ ² ICDF для p = 0,05 и df = 7 дает 2,1673 ≈ 2,17, как в таблице выше, отметив, что 1 – p является p -значением из таблицы.

Это распределение было впервые описано немецким геодезистом и статистиком Фридрихом Робертом Гельмертом в работах 1875–6 гг. ^{[24] [25]} , где он вычислил выборочное распределение выборочной дисперсии нормальной совокупности. Таким образом, в немецком языке это традиционно известно как Helmert'sche («Helmertian») или «распределение Гельмерта».

Распределение было независимо переоткрыто английским математиком Карлом Пирсоном в контексте согласия , для чего он разработал свой критерий хи-квадрат Пирсона , опубликованный в 1900 году, с вычисленной таблицей значений, опубликованной в (Elderton 1902), собранной в (Pearson 1914, стр. xxxi–xxxiii, 26–28, таблица XII). Название «хи-квадрат» в конечном итоге происходит от сокращения Пирсона для показателя степени в многомерном нормальном распределении с греческой буквой Хи , записывая −½χ ² для того, что в современной нотации будет выглядеть как −½ x ^T Σ ⁻¹ x (Σ является ковариационной матрицей ). ^[26] Однако идея семейства «хи-квадрат распределений» принадлежит не Пирсону, а возникла как дальнейшее развитие благодаря Фишеру в 1920-х годах. ^[24]

• Самые ранние примеры использования некоторых слов из математики: запись о хи-квадрате имеет краткую историю
• Заметки по курсу «Проверка согласия по критерию хи-квадрат» из курса 101 «Статистика» Йельского университета.
• Демонстрация Mathematica, демонстрирующая распределение выборки хи-квадрат различных статистик, например Σx², для нормальной совокупности
• Простой алгоритм аппроксимации cdf и обратной cdf для распределения хи-квадрат с помощью карманного калькулятора
• Значения распределения хи-квадрат