Нецентральное t-распределение

Нецентральный студентт

Функция плотности вероятности
Параметры	ν > 0 степеней свободы параметр нецентральности ${\displaystyle \mu \in \Re \,\!}$
Поддерживать	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\,\!}$
PDF	см. текст
СДФ	см. текст
Иметь в виду	см. текст
Режим	см. текст
Дисперсия	см. текст
Асимметрия	см. текст
Избыточный эксцесс	см. текст

Нецентральное t -распределение обобщает t -распределение Стьюдента с использованием параметра нецентральности . В то время как центральное распределение вероятностей описывает, как распределена тестовая статистика t, когда проверяемая разница равна нулю, нецентральное распределение описывает, как распределена t , когда нуль равен нулю. Это приводит к его использованию в статистике, особенно при вычислении статистической мощности . Нецентральное t -распределение также известно как единичное нецентральное t - распределение, и в дополнение к его основному использованию в статистическом выводе , также используется в надежном моделировании данных .

Если Z — стандартная нормальная случайная величина, а V — случайная величина, распределенная по закону хи-квадрат с ν степенями свободы , которая не зависит от Z , то

${\displaystyle T={\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}}$

является нецентральной t -распределенной случайной величиной с ν степенями свободы и параметром нецентральности μ ≠ 0. Обратите внимание, что параметр нецентральности может быть отрицательным.

Кумулятивная функция распределения нецентрального t -распределения с ν степенями свободы и параметром нецентральности μ может быть выражена как ^[1]

${\displaystyle F_{\nu,\mu }(x)={\begin{cases}{\tilde {F}}_{\nu,\mu }(x),&{\mbox{if }}x\ geq 0;\\1-{\tilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x),&{\mbox{if }}x<0,\end{cases}}}$

где

${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }\left[p_{j}I_{y}\left(j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)+q_{j}I_{y}\left(j+1,{\frac {\nu }{2}}\right)\right],}$

${\displaystyle I_{y}\,\!(a,b)}$— это регуляризованная неполная бета-функция ,

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{x^{2}+\nu }},}$

${\displaystyle p_{j}={\frac {1}{j!}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},}$

${\displaystyle q_{j}={\frac {\mu}{{\sqrt {2}}\Gamma (j+3/2)}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},}$

и Φ — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения .

В качестве альтернативы, нецентральное распределение t CDF может быть выражено как ^{[ требуется ссылка ]} :

${\displaystyle F_{v,\mu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x\geq 0\\1-{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x<0\end{cases}}}$

где Γ — гамма-функция , а I — регуляризованная неполная бета-функция .

Хотя существуют и другие формы кумулятивной функции распределения, первую форму, представленную выше, очень легко оценить с помощью рекурсивных вычислений . ^[1] В статистическом программном обеспечении R кумулятивная функция распределения реализована как pt .

Функция плотности вероятности (pdf) для нецентрального t -распределения с ν > 0 степенями свободы и параметром нецентральности μ может быть выражена в нескольких формах.

Форма конфлюэнтной гипергеометрической функции функции плотности имеет вид

${\displaystyle f(x)=\underbrace {{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\tfrac {\nu +1}{2}}}} _{{\text{StudentT}}(x\,;\,\mu =0)}\exp {\big (}-{\tfrac {\mu ^{2}}{2}}{\big )}{\Big \{}A_{\nu }(x\,;\,\mu )+B_{\nu }(x\,;\,\mu ){\Big \}},}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\nu }(x\,;\,\mu )&={_{1}F}_{1}\left({\frac {\nu +1}{2}}\,;\,{\frac {1}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\\B_{\nu }(x\,;\,\mu )&={\frac {{\sqrt {2}}\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu }{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}}{_{1}F}_{1}\left({\frac {\nu }{2}}+1\,;\,{\frac {3}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\end{aligned}}}$

и где ₁ F ₁ — конфлюэнтная гипергеометрическая функция .

Альтернативная интегральная форма — ^[2]

${\displaystyle f(x)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}\exp \left(-{\frac {\nu \mu ^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})2^{\frac {\nu -1}{2}}(x^{2}+\nu )^{\frac {\nu +1}{2}}}}\int _{0}^{\infty }y^{\nu }\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right)dy.}$

Третья форма плотности получается с использованием ее кумулятивных функций распределения следующим образом.

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\nu }{x}}\left\{F_{\nu +2,\mu }\left(x{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}\right)-F_{\nu ,\mu }(x)\right\},&{\mbox{if }}x\neq 0;\\{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\pi \nu }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}x=0.\end{cases}}}$

Именно такой подход реализует функция dt в R.

В общем случае k- й сырой момент нецентрального t -распределения равен ^[3]

${\displaystyle {\mbox{E}}\left[T^{k}\right]={\begin{cases}\left({\frac {\nu }{2}}\right)^{\frac {k}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu -k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}{\mbox{exp}}\left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right){\frac {d^{k}}{d\mu ^{k}}}{\mbox{exp}}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}\nu >k;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq k.\\\end{cases}}}$

В частности, среднее значение и дисперсия нецентрального t -распределения равны

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{E}}\left[T\right]&={\begin{cases}\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}},&{\mbox{if }}\nu >1;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 1,\\\end{cases}}\\{\mbox{Var}}\left[T\right]&={\begin{cases}{\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2},&{\mbox{if }}\nu >2;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 2.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Превосходным приближением является , которое можно использовать в обеих формулах. ^{[4] [5]}${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}}$${\displaystyle \left(1-{\frac {3}{4\nu -1}}\right)^{-1}}$

Нецентральное t -распределение асимметрично, если только μ не равно нулю, т. е. центральное t -распределение. Кроме того, асимметрия становится меньше с увеличением степени свободы. Правый хвост будет тяжелее левого, если μ > 0, и наоборот. Однако обычная асимметрия, как правило, не является хорошей мерой асимметрии для этого распределения, поскольку если степени свободы не больше 3, третий момент вообще не существует. Даже если степени свободы больше 3, выборочная оценка асимметрии все еще очень нестабильна, если только размер выборки не очень большой.

Нецентральное t -распределение всегда унимодально и имеет форму колокола, но мода недоступна аналитически, хотя для μ ≠ 0 мы имеем ^[6]

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{\nu +(5/2)}}}<{\frac {\mathrm {mode} }{\mu }}<{\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}}$

В частности, мода всегда имеет тот же знак, что и параметр нецентральности μ. Более того, отрицательная мода — это в точности мода для нецентрального t -распределения с тем же числом степеней свободы ν, но параметром нецентральности −μ.

Мода строго возрастает с μ (она всегда движется в том же направлении, в котором изменяется μ). В пределе, когда μ → 0, мода аппроксимируется выражением

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)}}\mu ;\,}$

а когда μ → ∞, мода аппроксимируется выражением

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}\mu .}$

• Центральное t -распределение: центральное t -распределение может быть преобразовано в семейство распределения по местоположению / масштабу . Это семейство распределений используется в моделировании данных для захвата различных поведений хвоста. Обобщение центрального t -распределения по местоположению/масштабу является распределением, отличным от нецентрального t -распределения, обсуждаемого в этой статье. В частности, это приближение не учитывает асимметрию нецентрального t -распределения. Однако центральное t -распределение может быть использовано в качестве приближения к нецентральному t -распределению. ^[7]
• Если T имеет нецентральное t -распределение с ν степенями свободы и параметром нецентральности μ и F = T ² , то F имеет нецентральное F -распределение с 1 степенью свободы в числителе, ν степенями свободы в знаменателе и параметром нецентральности μ ² .
• Если T имеет нецентральное t -распределение с ν степенями свободы и параметром нецентральности μ и , то Z имеет нормальное распределение со средним μ и единичной дисперсией.${\displaystyle Z=\lim _{\nu \rightarrow \infty }T}$
• Когда параметр нецентральности знаменателя дважды нецентрального t-распределения равен нулю, то оно становится нецентральным t -распределением.

• При μ = 0 нецентральное t -распределение становится центральным (Стьюдента) t -распределением с теми же степенями свободы.

Предположим, что у нас есть независимая и одинаково распределенная выборка X ₁ , ..., X _{n ,} каждая из которых распределена нормально со средним значением θ и дисперсией σ ² , и мы заинтересованы в проверке нулевой гипотезы θ = 0 против альтернативной гипотезы θ ≠ 0. Мы можем выполнить одновыборочный t -тест, используя тестовую статистику

${\displaystyle T={\frac {\bar {X}}{{\hat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {{\bar {X}}-\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}+{\frac {\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}}{\sqrt {\left.\left({\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}/(n-1)}}\right)\right/(n-1)}}}}$

где — выборочное среднее, а — несмещенная выборочная дисперсия . Поскольку правая часть второго равенства точно соответствует характеристике нецентрального t -распределения, описанной выше, T имеет нецентральное t -распределение с n −1 степенями свободы и параметром нецентральности .${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}\,\!}$${\displaystyle {\sqrt {n}}\theta /\sigma \,\!}$

Если процедура проверки отвергает нулевую гипотезу всякий раз , когда , где — верхний α/2-квантиль (центрального) t -распределения Стьюдента для заранее заданного α ∈ (0, 1), то мощность этого теста определяется как${\displaystyle |T|>t_{1-\alpha /2}\,\!}$${\displaystyle t_{1-\alpha /2}\,\!}$

${\displaystyle 1-F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(t_{1-\alpha /2})+F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(-t_{1-\alpha /2}).}$

Аналогичные применения нецентрального t -распределения можно найти в анализе мощности общих линейных моделей нормальной теории , который включает в себя приведенный выше одновыборочный t -тест как частный случай.

Односторонние нормальные интервалы толерантности имеют точное решение в терминах выборочного среднего и выборочной дисперсии на основе нецентрального t -распределения. ^[8] Это позволяет вычислить статистический интервал, в который с некоторым уровнем достоверности попадает указанная доля выборочной совокупности.

• Нецентральное F -распределение

• Эрик В. Вайсштейн. «Нецентральное распределение Стьюдента». Из MathWorld — веб-ресурс Wolfram
• Высокоточные вычисления для жизни и науки: нецентральное t-распределение от компании Casio.