Обратное распределение хи-квадрат

Обратный хи-квадрат
	Функция плотности вероятности
	Кумулятивная функция распределения
Параметры	ν > 0 {\displaystyle \nu >0\!}
Поддерживать	х ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle x\in (0,\infty)\!}
PDF	2 − ν / 2 Г ( ν / 2 ) х − ν / 2 − 1 е − 1 / ( 2 х ) {\displaystyle {\frac {2^{-\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}\,x^{-\nu /2-1}e^{-1/(2x) }\!}
СДФ	Г ( ν 2 , 1 2 х ) / Г ( ν 2 ) {\displaystyle \Гамма \!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2x}}\right){\bigg /}\,\Гамма \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)\!}
Иметь в виду	1 ν − 2 {\displaystyle {\frac {1}{\nu -2}}\!} для ν > 2 {\displaystyle \nu >2\!}
Медиана	≈ 1 ν ( 1 − 2 9 ν ) 3 {\displaystyle \approx {\dfrac {1}{\nu {\bigg (}1-{\dfrac {2}{9\nu }}{\bigg )}^{3}}}}
Режим	1 ν + 2 {\displaystyle {\frac {1}{\nu +2}}\!}
Дисперсия	2 ( ν − 2 ) 2 ( ν − 4 ) {\displaystyle {\frac {2}{(\nu -2)^{2}(\nu -4)}}\!} для ν > 4 {\displaystyle \nu >4\!}
Асимметрия	4 ν − 6 2 ( ν − 4 ) {\displaystyle {\frac {4}{\nu -6}}{\sqrt {2(\nu -4)}}\!} для ν > 6 {\displaystyle \nu >6\!}
Избыточный эксцесс	12 ( 5 ν − 22 ) ( ν − 6 ) ( ν − 8 ) {\displaystyle {\frac {12(5\nu -22)}{(\nu -6)(\nu -8)}}\!} для ν > 8 {\displaystyle \nu >8\!}
Энтропия	ν 2 + вн ( ν 2 Г ( ν 2 ) ) {\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\!+\!\ln \!\left({\frac {\nu }{2}}\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)\right)} − ( 1 + ν 2 ) ψ ( ν 2 ) {\displaystyle \!-\!\left(1\!+\!{\frac {\nu }{2}}\right)\psi \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)}
МГФ	2 Г ( ν 2 ) ( − т 2 я ) ν 4 К ν 2 ( − 2 т ) {\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-t}{2i}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}K_{\frac {\nu }{2}}\!\left({\sqrt {-2t}}\right)} ; не существует как функция с действительным значением
CF	2 Г ( ν 2 ) ( − я т 2 ) ν 4 К ν 2 ( − 2 я т ) {\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-it}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}K_{\frac {\nu }{2}}\!\left({\sqrt {-2it}}\right)}

Распределение вероятностей

В теории вероятности и статистики обратное распределение хи-квадрат (или обратное распределение хи-квадрат ^[1] ) представляет собой непрерывное распределение вероятностей положительной случайной величины. Оно тесно связано с распределением хи-квадрат . Оно используется в байесовском выводе как сопряженное априорное распределение для дисперсии нормального распределения . ^[2]

Определение

Обратное распределение хи-квадрат (или обратное распределение хи-квадрат ^[1] ) — это распределение вероятностей случайной величины, мультипликативная обратная (обратная) величина которой имеет распределение хи-квадрат .

Если следует распределению хи-квадрат со степенями свободы , то следует обратному распределению хи-квадрат со степенями свободы. $X$ $\nu$ $1/X$ $\nu$

Функция плотности вероятности обратного распределения хи-квадрат определяется выражением

f(x;\nu)={\frac {2^{-\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}\,x^{-\nu /2-1}e ^{-1/(2x)}

В приведенном выше примере и — параметр степеней свободы . Далее, — гамма-функция . $х>0$ $\nu$ $\Гамма$

Обратное распределение хи-квадрат является частным случаем обратного гамма-распределения с параметром формы и параметром масштаба . $\alpha = {\frac {\nu }{2}}$ $\beta = {\frac {1}{2}}$

Связанные дистрибутивы

хи-квадрат : Если и , то $X\thicksim \chi ^{2}(\nu )$ $Y={\frac {1}{X}}$ $Y\thicksim {\text{Inv-}}\chi ^{2}(\nu )$
масштабированный обратный хи-квадрат : если , то $X\thicksim {\text{Масштаб-инв-}}\chi ^{2}(\nu ,1/\nu )\,$ $X\thicksim {\text{inv-}}\chi ^{2}(\nu )$
Обратная гамма с и $\alpha = {\frac {\nu }{2}}$ $\beta = {\frac {1}{2}}$
Обратное распределение хи-квадрат является частным случаем распределения Пирсона типа 5.

Смотрите также

Ссылки

^ ab Бернардо, Дж. М.; Смит, А. Ф. М. (1993) Байесовская теория , Wiley (страницы 119, 431) ISBN 0-471-49464-X
^ Гельман, Эндрю и др. (2014). «Нормальные данные с сопряженным априорным распределением». Байесовский анализ данных (третье изд.). Бока-Ратон: CRC Press. стр. 67–68 . ISBN 978-1-4398-4095-5.

Внешние ссылки

InvChisquare в пакете geoR для языка R.

[BS-1] Бернардо, Дж. М.; Смит, А. Ф. М. (1993) Байесовская теория , Wiley (страницы 119, 431) ISBN 0-471-49464-X

[2] Гельман, Эндрю и др. (2014). «Нормальные данные с сопряженным априорным распределением». Байесовский анализ данных (третье изд.). Бока-Ратон: CRC Press. стр. 67–68 . ISBN 978-1-4398-4095-5.