Условия Уитни

В дифференциальной топологии , разделе математики , условия Уитни — это условия на пару подмногообразий многообразия , введенные Хасслером Уитни в 1965 году.

Стратификация топологического пространства — это конечная фильтрация замкнутыми подмножествами F _i , такая, что разность между последовательными членами F _i и F _{( i − 1)} фильтрации либо пуста, либо является гладким подмногообразием размерности i . Связные компоненты разности F _i − F _{( i − 1)} являются стратами размерности i . Стратификацию называют стратификацией Уитни , если все пары страт удовлетворяют условиям Уитни A и B, как определено ниже.

Пусть X и Y — два непересекающихся ( локально замкнутых ) подмногообразия R ⁿ размерностей i и j .

• X и Y удовлетворяют условию Уитни A, если всякий раз, когда последовательность точек x ₁ , x ₂ , … в X сходится к точке y в Y , а последовательность касательных i -плоскостей T _m к X в точках x _m сходится к i -плоскости T при стремлении m к бесконечности, то T содержит касательную j -плоскость к Y в точке y .
• X и Y удовлетворяют условию B Уитни, если для каждой последовательности x ₁ , x ₂ , … точек в X и каждой последовательности y ₁ , y ₂ , … точек в Y , сходящихся к одной и той же точке y в Y , таких, что последовательность секущих линий L _m между x _m и y _m сходится к линии L при стремлении m к бесконечности, а последовательность касательных i -плоскостей T _m к X в точках x _m сходится к i -плоскости T при стремлении m к бесконечности, то L содержится в T .

Джон Мазер первым указал на то, что условие Уитни B подразумевает условие Уитни A в записях своих лекций в Гарварде в 1970 году, которые были широко распространены. Он также определил понятие стратифицированного пространства Тома–Мазера и доказал, что каждая стратификация Уитни является стратифицированным пространством Тома–Мазера и, следовательно, является топологически стратифицированным пространством . Другой подход к этому фундаментальному результату был предложен ранее Рене Томом в 1969 году.

Дэвид Тротман показал в своей диссертации Уорика 1977 года, что стратификация замкнутого подмножества в гладком многообразии M удовлетворяет условию Уитни A тогда и только тогда, когда подпространство пространства гладких отображений из гладкого многообразия N в M, состоящее из всех тех отображений, которые трансверсальны всем стратам стратификации, открыто (используя топологию Уитни, или сильную топологию). Подпространство отображений, трансверсальных любому счетному семейству подмногообразий M , всегда плотно по теореме Тома о трансверсальности . Плотность множества трансверсальных отображений часто интерпретируется как «общее» свойство для гладких отображений, в то время как открытость часто интерпретируется как «устойчивое» свойство.

Причина, по которой условия Уитни стали так широко использоваться, заключается в теореме Уитни 1965 года о том, что каждое алгебраическое многообразие, или, по сути, аналитическое многообразие, допускает стратификацию Уитни, т. е. допускает разбиение на гладкие подмногообразия, удовлетворяющие условиям Уитни. Более общие сингулярные пространства могут быть заданы стратификацией Уитни, такой как полуалгебраические множества (благодаря Рене Тому ) и субаналитические множества (благодаря Хейсуке Хиронаке ). Это привело к их использованию в инженерии, теории управления и робототехнике. В диссертации под руководством Веслава Павлуцкого в Ягеллонском университете в Кракове, Польша, вьетнамский математик Та Ле Лой доказал далее, что каждому определимому множеству в о-минимальной структуре может быть задана стратификация Уитни. ^{[ необходима цитата ]}

• Расслоенное пространство Тома–Мазера
• Топологически стратифицированное пространство
• Первая изотопическая лемма Тома
• Стратифицированное пространство

• Мазер, Джон Заметки о топологической устойчивости , Гарвард, 1970 (доступно на его веб-странице в Принстонском университете).
• Том, Рене Ансамбли и стратифицированные морфизмы , Бюллетень Американского математического общества, том. 75, стр. 240–284), 1969.
• Тротман, Дэвид. Устойчивость трансверсальности к стратификации подразумевает (a)-регулярность Уитни, Inventiones Mathematicae 50(3), стр. 273–277, 1979.
• Тротман, Дэвид Сравнение условий регулярности на стратификациях, Singularities, Часть 2 (Arcata, Калифорния, 1981), том 40 Proc. Sympos. Pure Math., стр. 575–586. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1983.
• Уитни, Хасслер Локальные свойства аналитических многообразий. Дифференциальная и комбинаторная топология (Симпозиум в честь Марстона Морса ) стр. 205–244 Princeton Univ. Press, Принстон, Нью-Джерси, 1965.
• Уитни, Хасслер , Касательные к аналитическому многообразию, Annals of Mathematics 81, № 3 (1965), стр. 496–549.