Бесточечная геометрия Уайтхеда

В математике , точечно-свободная геометрия - это геометрия , примитивным онтологическим понятием которой является область , а не точка . Ниже изложены две аксиоматические системы , одна из которых основана на мереологии , другая - на мереотопологии и известна как теория связей .

Точечно-свободная геометрия была впервые сформулирована Альфредом Нортом Уайтхедом [ ^1] не как теория геометрии или пространства-времени , а как теория «событий» и « отношений расширения » между событиями. Цели Уайтхеда были как философскими, так и научными и математическими. ^[2]

Уайтхед не излагал свои теории таким образом, который бы удовлетворял современным канонам формальности. Две формальные теории первого порядка, описанные в этой статье, были разработаны другими для того, чтобы прояснить и усовершенствовать теории Уайтхеда. Область дискурса для обеих теорий состоит из «регионов». Все неквантифицированные переменные в этой статье следует рассматривать как неявно универсально квантифицированные ; следовательно, все аксиомы следует рассматривать как универсальные замыкания . Ни одна аксиома не требует более трех квантифицированных переменных; следовательно, возможен перевод теорий первого порядка в алгебру отношений . Каждый набор аксиом имеет только четыре экзистенциальных квантификатора .

Фундаментальное примитивное бинарное отношение — включение , обозначаемое инфиксным оператором «≤», что соответствует бинарному отношению Parthood , которое является стандартной функцией в мереологических теориях. Интуитивное значение x ≤ y — « x является частью y ». Предполагая, что равенство, обозначаемое инфиксным оператором «=», является частью фоновой логики, бинарное отношение Proper Part , обозначаемое инфиксным оператором «<», определяется как:

${\displaystyle x<y\leftrightarrow (x\leq y\land x\not =y).}$

Аксиомы таковы: ^[3]

• Включение частично упорядочивает домен .

G1. ( возвратный )${\displaystyle x\leq x.}$

G2. ( переходный ) WP4 .${\displaystyle (x\leq z\land z\leq y)\rightarrow x\leq y.}$

G3. ( антисимметричный )${\displaystyle (x\leq y\land y\leq x)\rightarrow x=y.}$

• Если даны любые два региона, то существует регион, включающий их оба. WP6 .

Г4. ${\displaystyle \exists z[x\leq z\land y\leq z].}$

• Правильная часть плотно упорядочивает домен . WP5 .

Г5. ${\displaystyle x<y\rightarrow \exists z[x<z<y].}$

• Атомные области и универсальная область не существуют. Следовательно, домен не имеет ни верхней, ни нижней границы. WP2 .

Г6. ${\displaystyle \exists y\exists z[y<x\land x<z].}$

• Принцип собственных частей. Если все собственные части x являются собственными частями y , то x включен в y . WP3 .

Г7. ${\displaystyle \forall z[z<x\rightarrow z<y]\rightarrow x\leq y.}$

Модель G1 –G7 представляет собой пространство включений .

Определение . ^[4] Для некоторого пространства включения S абстрактным классом является класс G регионов, такой что S\G полностью упорядочен по включению. Более того, не существует региона, включенного во все регионы, включенные в G .

Интуитивно, абстрактный класс определяет геометрическую сущность, размерность которой меньше, чем у пространства включения. Например, если пространство включения — это евклидова плоскость , то соответствующие абстрактные классы — это точки и линии .

Точечная бесточечная геометрия на основе включения (далее «точечная бесточечная геометрия») по сути является аксиоматизацией системы Саймонса W. ^[5] В свою очередь, W формализует теорию Уайтхеда ^[6] , аксиомы которой не сделаны явными. Точечная бесточечная геометрия — это W с исправленным этим дефектом. Саймонс не исправил этот дефект, вместо этого предложив в сноске, чтобы читатель сделал это в качестве упражнения. Примитивное отношение W — это Правильная Часть, строгий частичный порядок . Теория ^[7] Уайтхеда (1919) имеет единственное примитивное бинарное отношение K, определяемое как xKy ↔ y  <  x . Следовательно, K является обратным к Правильной Части. WP1 Саймонса утверждает, что Правильная Часть иррефлексивна и, таким образом, соответствует G1 . G3 устанавливает, что включение, в отличие от Правильной Части, антисимметрично .

Точечно-свободная геометрия тесно связана с плотным линейным порядком D , аксиомами которого являются G1-3 , G5 и аксиома тотальности ^[8]. Следовательно, точечно-свободная геометрия, основанная на включении, была бы надлежащим расширением D (а именно D ∪ { G4 , G6 , G7 }), если бы отношение D «≤» не было полным порядком .${\displaystyle x\leq y\lor y\leq x.}$

Другой подход был предложен в Уайтхеде (1929), вдохновленный Де Лагуной (1922). Уайтхед взял за примитив топологическое понятие «контакта» между двумя областями, что привело к примитивному «соотношению связи» между событиями. Теория связи C является теорией первого порядка , которая выжимает первые 12 из 31 предположения Уайтхеда ^[9] в 6 аксиом, C1-C6 . ^[10] C является собственным фрагментом теорий, предложенных Кларком ^[11], который отметил их мереологический характер. Теории, которые, как и C , характеризуются как включением, так и топологическими примитивами, называются мереотопологиями .

C имеет одно примитивное отношение , бинарное «соединение», обозначаемое префиксной предикатной буквой C. То, что x включено в y, теперь можно определить как x ≤ y ↔ ∀z[ Czx → Czy ]. В отличие от случая с пространствами включения, теория соединения позволяет определить «некасательное» включение ^[12] , полный порядок, который позволяет строить абстрактные классы. Gerla и Miranda (2008) утверждают, что только таким образом мереотопология может однозначно определить точку .

• C является рефлексивным . C.1.

С1.${\displaystyle \ Cxx.}$

• C симметричен . C.2 .

С2. ${\displaystyle Cxy\rightarrow Cyx.}$

• C является экстенсиональным . C.11.

С3. ${\displaystyle \forall z[Czx\leftrightarrow Czy]\rightarrow x = y.}$

• Все регионы имеют собственные части, так что C является безатомной теорией. P.9.

С4. ${\displaystyle \exists y[y<x].}$

• Для любых двух регионов существует регион, связанный с ними обоими.

С5. ${\displaystyle \exists z[Czx\land Czy].}$

• Во всех регионах есть как минимум две несвязанные части. C.14.

С6. ${\displaystyle \exists y\exists z[(y\leq x)\land (z\leq x)\land \neg Cyz].}$

Модель языка C представляет собой пространство связей .

После словесного описания каждой аксиомы следует идентификатор соответствующей аксиомы в Casati и Varzi (1999). Их система SMT ( сильная мереотопология ) состоит из C1-C3 и по существу принадлежит Clarke (1981). ^[13] Любая мереотопология может быть сделана безатомной, если обратиться к C4 , без риска парадокса или тривиальности. Следовательно, C расширяет безатомный вариант SMT посредством аксиом C5 и C6 , предложенных в главе 2 части 4 Process and Reality . ^[14]

Биачино и Герла (1991) показали, что каждая модель теории Кларка является булевой алгеброй , а модели таких алгебр не могут отличить связь от перекрытия. Сомнительно, что любой из этих фактов соответствует намерению Уайтхеда.

• Мереология
• Мереотопология
• Бессмысленная топология

• Биачино Л. и Герла Г., 1991, «Структуры связей», Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242-47.
• Casati, R., and Varzi, AC, 1999. Части и места: структуры пространственного представления . MIT Press.
• Кларк, Боумен, 1981, «Исчисление индивидов, основанное на «связи»», Notre Dame Journal of Formal Logic 22 : 204-18.
• ------, 1985, «Индивидуумы и точки», Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
• Де Лагуна, Т., 1922, «Точка, линия и поверхность как множества твердых тел», The Journal of Philosophy 19 : 449-61.
• Gerla, G., 1995, «Бесточечные геометрии» в Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Справочник по геометрии инцидентности: здания и фундаменты . North-Holland: 1015-31.
• --------, и Миранда А., 2008, «Включение и соединение в геометрии Уайтхеда без точек», в книге Мишеля Вебера и Уилла Десмонда (ред.), Справочник по мысли Уайтхеда о процессах , Франкфурт/Ланкастер, Ontos Verlag, Process Thought X1 & X2.
• Gruszczynski R., и Pietruszczak A., 2008, "Полное развитие геометрии твердых тел Тарского", Bulletin of Symbolic Logic 14:481-540. Статья содержит представление точечной системы геометрии, происходящей из идей Уайтхеда и основанной на мереологии Лесневского. В ней также кратко обсуждается связь между точечной и точечной системами геометрии. Также приводятся основные свойства мереологических структур.
• Гжегорчик, А., 1960, «Аксиоматизируемость геометрии без точек», Synthese 12 : 228-235.
• Нибон, Г., 1963. Математическая логика и основания математики . Переиздание Дувра, 2001.
• Лукас, Дж. Р. , 2000. Концептуальные корни математики . Routledge. Глава 10, посвященная «прототопологии», рассматривает системы Уайтхеда и находится под сильным влиянием неопубликованных трудов Дэвида Бостока .
• Ропер, П., 1997, «Топология на основе регионов», Журнал философской логики 26 : 251-309.
• Саймонс, П., 1987. Части: исследование онтологии . Oxford Univ. Press.
• Уайтхед, AN , 1916, «La Theorie Relationiste de l'Espace», Revue de Metaphysical et de Morale 23 : 423-454. Переведено как Херли, П.Дж., 1979, «Реляционная теория пространства», Philosophy Research Archives 5 : 712-741.
• --------, 1919. Исследование принципов естественного знания . Cambridge Univ. Press. 2-е изд., 1925.
• --------, 1920. Концепция природы . Cambridge Univ. Press. 2004, мягкая обложка, Prometheus Books. Будучи лекциями Тарнера 1919 года, прочитанными в Тринити-колледже .
• --------, 1979 (1929). Процесс и реальность . Свободная пресса.