Модель Весса–Зумино

В теоретической физике модель Весса–Зумино стала первым известным примером взаимодействующей четырехмерной квантовой теории поля с линейно реализованной суперсимметрией . В 1974 году Юлиус Весс и Бруно Зумино изучали, используя современную терминологию, динамику одного кирального суперполя (состоящего из комплексного скаляра и спинорного фермиона ), кубический суперпотенциал которого приводит к перенормируемой теории. ^[1] Это частный случай 4D N = 1 глобальной суперсимметрии .

Изложение в этой статье в значительной степени следует лекциям Фигероа-О'Фаррилла по суперсимметрии ^[2] и, в некоторой степени, лекциям Тонга ^{[3] .}

Модель является важной моделью в суперсимметричной квантовой теории поля. Это, возможно, самая простая суперсимметричная теория поля в четырех измерениях, и она не калибрована.

В предварительном рассмотрении теория определяется на плоском пространстве-времени ( пространстве Минковского ). Для этой статьи метрика имеет в основном плюсовую сигнатуру. Содержанием материи является реальное скалярное поле , реальное псевдоскалярное поле и реальное ( майорановское ) спинорное поле . ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \пси}$

Это предварительная трактовка в том смысле, что теория написана в терминах знакомых скалярных и спинорных полей, которые являются функциями пространства-времени, без разработки теории суперпространства или суперполей , которые появляются далее в статье.

Лагранжиан свободной, безмассовой модели Весса–Зумино равен

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{kin}}=-{\frac {1}{2}}(\partial S)^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial P)^{2}-{\frac {1}{2}}{\bar {\psi }}\partial \!\!\!/\psi ,}$

где

• ${\displaystyle \partial \!\!\!/=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$
• ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{t}C=\psi ^{\dagger }i\gamma ^{0}.}$

Соответствующее действие:

${\displaystyle I_{\text{kin}}=\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{\text{kin}}}$.

Суперсимметрия сохраняется при добавлении массового члена вида

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{m}}=-{\frac {1}{2}}m^{2}S^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}P^{2}-{\frac {1}{2}}m{\bar {\psi }}\psi }$

Суперсимметрия сохраняется при добавлении члена взаимодействия с константой связи :${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}=-\lambda \left({\bar {\psi }}(S-P\gamma _{5})\psi +{\frac {1}{2}}\lambda (S^{2}+P^{2})^{2}+mS(S^{2}+P^{2})\right).}$

Полное действие Весса–Зумино затем задается путем объединения этих лагранжианов:

Существует альтернативный способ организации полей. Действительные поля и объединяются в одно комплексное скалярное поле , в то время как спинор Майораны записывается в терминах двух спиноров Вейля: . Определение суперпотенциала ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \phi :={\frac {1}{2}}(S+iP),}$${\displaystyle \psi =(\chi ^{\alpha },{\bar {\chi }}_{\dot {\alpha }})}$

${\displaystyle W(\phi ):={\frac {1}{2}}m\phi ^{2}+{\frac {1}{3}}\lambda \phi ^{3},}$

Действие Весса–Зумино также можно записать (возможно, после переименования некоторых постоянных множителей)

Подставив в , можно обнаружить, что это теория с массивным комплексным скаляром и массивным спинором Майораны той же массы. Взаимодействия представляют собой кубическое и кварковое взаимодействие, а также взаимодействие Юкавы между и , которые являются знакомыми взаимодействиями из курсов по несуперсимметричной квантовой теории поля.${\displaystyle W(\phi )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$

Суперпространство состоит из прямой суммы пространства Минковского со «спиновым пространством», четырехмерным пространством с координатами , где — индексы, принимающие значения в Более формально суперпространство строится как пространство правых смежных классов группы Лоренца в супергруппе Пуанкаре .${\displaystyle (\theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }})}$${\displaystyle \alpha ,{\dot {\alpha }}}$${\displaystyle 1,2.}$

Тот факт, что существует только 4 «спиновых координаты», означает, что это теория с так называемой суперсимметрией, соответствующей алгебре с одним суперзарядом . Размерное суперпространство иногда записывается и называется суперпространством Минковского . «Спиновые координаты» так называются не из-за какой-либо связи с угловым моментом, а потому, что они рассматриваются как антикоммутирующие числа , свойство, типичное для спиноров в квантовой теории поля из-за теоремы о спиновой статистике .${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$${\displaystyle 8=4+4}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3|4}}$

Тогда суперполе — это функция на суперпространстве . ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi =\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$

Определение суперковариантной производной

${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}={\bar {\partial }}_{\dot {\alpha }}-i({\bar {\sigma }}^{\mu })_{{\dot {\alpha }}\beta }\theta ^{\beta }\partial _{\mu },}$

киральное суперполе удовлетворяет Тогда содержимое поля представляет собой просто одно киральное суперполе .${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}\Phi =0.}$

Однако киральное суперполе содержит поля в том смысле, что оно допускает расширение

${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (y)+\theta \chi (y)+\theta ^{2}F(y)}$

с Тогда может быть идентифицирован как комплексный скаляр, является спинором Вейля и является вспомогательным комплексным скаляром.${\displaystyle y^{\mu }=x^{\mu }-i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}.}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle F}$

Эти поля допускают дальнейшую перемаркировку с помощью и Это позволяет восстановить предварительные формы после исключения нединамических с помощью их уравнения движения.${\displaystyle \phi ={\frac {1}{2}}(S+iP)}$${\displaystyle \psi ^{a}=(\chi ^{\alpha },{\bar {\chi }}_{\dot {\alpha }}).}$${\displaystyle F}$

При записи в терминах кирального суперполя действие (для свободной, безмассовой модели Весса–Зумино) принимает простую форму${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \int d^{4}xd^{2}\theta d^{2}{\bar {\theta }}\,\,2{\bar {\Phi }}\Phi }$

где — интегралы по спинорным размерностям суперпространства .${\displaystyle \int d^{2}\theta ,\int d^{2}{\bar {\theta }}}$

Массы и взаимодействия добавляются через суперпотенциал . Суперпотенциал Весса-Зумино — это

${\displaystyle W(\Phi )=m\Phi ^{2}+{\frac {4}{3}}\lambda \Phi ^{3}.}$

Поскольку является сложным, для обеспечения того, чтобы действие было реальным, его сопряженное также должно быть добавлено. Полное действие Весса–Зумино записывается${\displaystyle W(\Phi )}$

Действие инвариантно относительно преобразований суперсимметрии, заданных в бесконечно малой форме:

${\displaystyle \delta _{\epsilon }S={\bar {\epsilon }}\psi }$

${\displaystyle \delta _{\epsilon }P={\bar {\epsilon }}\gamma _{5}\psi }$

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\psi =[\partial \!\!\!/-m-\lambda (S+P\gamma _{5})](S+P\gamma _{5})\epsilon }$

где — параметр спинорнозначного преобразования Майораны, — оператор хиральности .${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \gamma _{5}}$

Альтернативная форма инвариантна относительно преобразования

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\phi ={\sqrt {2}}\epsilon \chi }$

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\chi ={\sqrt {2}}i\sigma ^{\mu }{\bar {\epsilon }}\partial _{\mu }\phi -{\sqrt {2}}\epsilon {\frac {\partial W^{\dagger }}{\partial \phi ^{\dagger }}}}$.

Без разработки теории преобразований суперпространства эти симметрии кажутся случайными.

Если действие можно записать в виде, где — действительное суперполе, то есть , то действие инвариантно относительно суперсимметрии.${\displaystyle S=\int d^{4}xd^{4}\theta K(x,\theta ,{\bar {\theta }})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{\dagger }=K}$

Тогда реальность означает, что она инвариантна относительно суперсимметрии.${\displaystyle K={\bar {\Phi }}\Phi }$

Безмассовая модель Весса–Зумино допускает более широкий набор симметрий, описываемых на уровне алгебры суперконформной алгеброй . Помимо генераторов симметрии Пуанкаре и генераторов трансляции суперсимметрии, она содержит конформную алгебру, а также генератор конформной суперсимметрии . ${\displaystyle S_{\alpha }}$

Конформная симметрия нарушается на квантовом уровне следовыми и конформными аномалиями, которые нарушают инвариантность относительно конформных генераторов для дилатаций и для специальных конформных преобразований соответственно.${\displaystyle D}$${\displaystyle K_{\mu }}$

R -симметрия суперсимметрии выполняется, когда суперпотенциал является мономом. Это означает либо , так что суперполе массивно, но свободно (не взаимодействует), либо так что теория безмассовата, но (возможно) взаимодействует.${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$${\displaystyle W(\Phi )}$${\displaystyle W(\phi )={\frac {1}{2}}m\phi ^{2}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle W(\Phi )={\frac {1}{3}}\lambda \phi ^{3}}$

На квантовом уровне это нарушается аномалиями.

Действие напрямую обобщается на множественные киральные суперполя с . Наиболее общая перенормируемая теория — это${\displaystyle \Phi ^{i}}$${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle I=\int d^{4}x\,d^{4}\theta \,K_{i{\bar {j}}}\Phi ^{i}\Phi ^{\dagger {\bar {j}}}+\int d^{4}x\left[\int d^{2}\theta \,W(\Phi )+{\text{h.c.}}\right]}$

где суперпотенциал

${\displaystyle W(\Phi )=a_{i}\Phi ^{i}+{\frac {1}{2}}m_{ij}\Phi ^{i}\Phi ^{j}+{\frac {1}{3}}\lambda _{ijk}\Phi ^{i}\Phi ^{j}\Phi ^{k}}$,

где используется неявное суммирование.

С помощью изменения координат, при котором преобразуется под , можно установить без потери общности. При таком выборе выражение известно как канонический потенциал Кэлера . Существует остаточная свобода для выполнения унитарного преобразования с целью диагонализации матрицы масс .${\displaystyle \Phi ^{i}}$${\displaystyle {\text{GL}}(N,\mathbb {C} )}$${\displaystyle K_{i{\bar {j}}}=\delta _{i{\bar {j}}}}$${\displaystyle K=\delta _{i{\bar {j}}}\Phi ^{i}\Phi ^{\dagger {\bar {j}}}}$${\displaystyle m_{ij}}$

Когда , если мультиплет массивен, то фермион Вейля имеет массу Майораны. Но для двух фермионов Вейля может иметь массу Дирака, когда суперпотенциал принимается равным Эта теория имеет симметрию, где вращаются с противоположными зарядами${\displaystyle N=1}$${\displaystyle N=2,}$${\displaystyle W(\Phi ,{\tilde {\Phi }})=m{\tilde {\Phi }}\Phi .}$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$${\displaystyle \Phi ,{\tilde {\Phi }}}$

В общем случае суперпотенциал вида имеет симметрию при вращении с противоположными зарядами, то есть при${\displaystyle N}$${\displaystyle W(\Phi _{a},{\tilde {\Phi }}_{a})=m{\tilde {\Phi }}_{a}\Phi _{a}}$${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$${\displaystyle \Phi _{a},{\tilde {\Phi }}_{a}}$${\displaystyle U\in {\text{SU}}(N)}$

${\displaystyle \Phi _{a}\mapsto U_{a}{}^{b}\Phi _{b}}$

${\displaystyle {\tilde {\Phi }}_{a}\mapsto (U^{-1})_{a}{}^{b}{\tilde {\Phi }}_{b}}$.

Эту симметрию можно измерить и связать с суперсимметричной симметрией Янга–Миллса, чтобы сформировать суперсимметричный аналог квантовой хромодинамики , известный как супер КХД.

Если перенормируемость не требуется, то возможны два обобщения. Первое из них — рассмотреть более общие суперпотенциалы. Второе — рассмотреть в кинетическом члене${\displaystyle K}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,d^{2}\theta ^{2}\,d^{2}{\bar {\theta }}^{2}K(\Phi ,{\bar {\Phi }})}$

быть действительной функцией и .${\displaystyle K=K(\Phi ,{\bar {\Phi }})}$${\displaystyle \Phi ^{i}}$${\displaystyle {\bar {\Phi }}^{\bar {j}}}$

Действие инвариантно относительно преобразований : они известны как преобразования Кэлера.${\displaystyle K(\Phi ,\Phi ^{\dagger })+\Lambda (\Phi )+{\bar {\Lambda }}({\bar {\Phi }})}$

Рассмотрение этой теории дает пересечение кэлеровой геометрии с суперсимметричной теорией поля.

Разлагая потенциал Кэлера по производным и составным суперполям , а затем исключая вспомогательные поля с помощью уравнений движения, получаем следующее выражение:${\displaystyle K(\Phi ,{\bar {\Phi }})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Phi ,{\bar {\Phi }}}$${\displaystyle F,{\bar {F}}}$

${\displaystyle S_{K}=\int d^{4}x\left[g_{i{\bar {j}}}(\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial ^{\mu }{\bar {\phi }}^{\bar {j}})+g_{i{\bar {j}}}{\frac {i}{2}}(\nabla _{\mu }\psi ^{i}\sigma ^{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {j}}-\psi ^{i}\sigma ^{\mu }\nabla _{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {j}})+{\frac {1}{4}}R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}(\psi ^{i}\psi ^{k})({\bar {\psi }}^{\bar {j}}{\bar {\psi }}^{\bar {l}})\right]}$

где

• ${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}}$— метрика Кэлера . Она инвариантна относительно преобразований Кэлера. Если кинетический член положительно определен, то обратим, что позволяет определить обратную метрику.${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}}$${\displaystyle g^{i{\bar {j}}}}$

• Символы Кристоффеля (адаптированные для метрики Кэлера) — это и${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=g^{i{\bar {l}}}\partial _{j}g_{k{\bar {l}}}}$${\displaystyle {\bar {\Gamma }}^{\bar {i}}{}_{{\bar {j}}{\bar {k}}}=g^{l{\bar {i}}}\partial _{\bar {j}}g_{l{\bar {k}}}.}$

• Ковариантные производные и определены${\displaystyle \nabla _{\mu }\psi ^{i}}$${\displaystyle \nabla _{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {j}}}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\psi ^{i}=\partial _{\mu }\psi ^{i}+\Gamma ^{i}{}_{jk}\psi ^{j}\partial _{\mu }\phi ^{k}}$

и

${\displaystyle \nabla _{\mu }{\bar {\psi }}^{\bar {i}}=\partial _{\mu }\psi ^{\bar {i}}+{\bar {\Gamma }}^{\bar {i}}{}_{{\bar {j}}{\bar {k}}}{\bar {\psi }}^{\bar {j}}\partial _{\mu }{\bar {\phi }}^{\bar {k}}}$

• Определен тензор кривизны Римана (адаптированный для метрики Кэлера ) .${\displaystyle R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g_{m{\bar {j}}}\partial _{\bar {l}}\Gamma ^{m}{}_{ik}=\partial _{k}\partial _{\bar {l}}g_{i{\bar {j}}}-g^{m{\bar {n}}}(\partial _{k}g_{i{\bar {n}}})(\partial _{\bar {l}}g_{m{\bar {j}}})}$

Суперпотенциал может быть добавлен для формирования более общего действия${\displaystyle W(\Phi )}$

${\displaystyle S=S_{K}-\int d^{4}x\left[g^{i{\bar {j}}}\partial _{i}W\partial _{\bar {j}}{\bar {W}}+{\frac {1}{4}}\psi ^{i}\psi ^{j}H_{ij}(W)+{\frac {1}{4}}{\bar {\psi }}^{\bar {i}}{\bar {\psi }}^{\bar {j}}H_{{\bar {i}}{\bar {j}}}({\bar {W}})\right]}$

где определены гессианы​${\displaystyle W}$

${\displaystyle H_{ij}(W)=\nabla _{i}\partial _{j}W=\partial _{i}\partial _{j}W-\Gamma ^{k}{}_{ij}\partial _{k}W}$

${\displaystyle {\bar {H}}_{{\bar {i}}{\bar {j}}}({\bar {W}})=\nabla _{\bar {i}}\partial _{\bar {j}}{\bar {W}}=\partial _{\bar {i}}\partial _{\bar {j}}{\bar {W}}-\Gamma ^{\bar {k}}{}_{{\bar {i}}{\bar {j}}}\partial _{\bar {k}}{\bar {W}}}$.

• N = 4 суперсимметричная теория Янга–Миллса
• Супермультиплет