Критерий сокращения

В квантовой теории информации критерий редукции является необходимым условием, которому смешанное состояние должно удовлетворять, чтобы быть разделимым . Другими словами, критерий редукции является критерием разделимости . Он был впервые доказан ^[1] и независимо сформулирован в 1999 году. ^[2] Нарушение критерия редукции тесно связано с дистилляцией рассматриваемого состояния. ^[1]

Пусть H ₁ и H ₂ — гильбертовы пространства конечных размерностей n и m соответственно. L ( H _i ) будет обозначать пространство линейных операторов, действующих на H _i . Рассмотрим двусоставную квантовую систему, пространством состояний которой является тензорное произведение

${\displaystyle H=H_{1}\otimes H_{2}.}$

(Ненормализованное) смешанное состояние ρ представляет собой положительный линейный оператор (матрицу плотности), действующий на H.

Линейное отображение Φ: L ( H ₂ ) → L ( H ₁ ) называется положительным, если оно сохраняет конус положительных элементов, т.е. из положительности A следует, что Φ ( A ) также положительно.

Из взаимно однозначного соответствия между положительными отображениями и свидетелями запутанности следует, что состояние ρ запутано тогда и только тогда, когда существует положительное отображение Φ такое, что

${\ displaystyle (I \ otimes \ Phi) (\ rho)}$

не является положительным. Поэтому, если ρ является сепарабельным, то для любого положительного отображения Φ,

${\displaystyle (I\otimes \Phi)(\rho)\geq 0.}$

Таким образом, каждое положительное, но не полностью положительное отображение Φ порождает необходимое условие для отделимости таким образом. Критерий редукции является частным примером этого.

Предположим, что H ₁ = H _2. Определим положительное отображение Φ: L ( H ₂ ) → L ( H ₁ ) следующим образом:

${\displaystyle \Phi (A)=\operatorname {Tr} AA.}$

Известно, что Φ положительно, но не полностью положительно. Поэтому смешанное состояние ρ, будучи разделимым, подразумевает

${\displaystyle (I\otimes \Phi)(\rho)\geq 0.}$

Прямой расчет показывает, что приведенное выше выражение совпадает с

${\displaystyle I\otimes \rho _{1}-\rho \geq 0}$

где ρ ₁ — парциальный след ρ относительно второй системы. Двойственное отношение

${\displaystyle \rho _{2}\otimes I-\rho \geq 0}$

получается аналогичным образом. Критерий редукции состоит из двух приведенных выше неравенств.

Последние два неравенства вместе с нижними границами для ρ можно рассматривать как квантовые неравенства Фреше , то есть как квантовый аналог классических вероятностных границ Фреше , которые справедливы для разделимых квантовых состояний . Верхние границы являются предыдущими , а нижние границы являются очевидным ограничением вместе с , где являются единичными матрицами подходящих размеров. Нижние границы были получены в. ^{[3] : Теорема A.16} Эти границы удовлетворяются разделимыми матрицами плотности, в то время как запутанные состояния могут их нарушать . Запутанные состояния демонстрируют форму стохастической зависимости, более сильную, чем самая сильная классическая зависимость , и фактически они нарушают границы типа Фреше. Также стоит упомянуть, что можно дать байесовскую интерпретацию этих границ. ^[3]${\displaystyle I\otimes \rho _ {1} \geq \rho }$${\displaystyle \rho _ {2}\otimes I\geq \rho }$${\displaystyle \rho \geq 0}$${\displaystyle \rho \geq I\otimes \rho _{1}+\rho _{2}\otimes II}$${\displaystyle Я}$