Слабо измеримая функция

В математике — в частности, в функциональном анализе — слабо измеримая функция , принимающая значения в банаховом пространстве , — это функция , композиция которой с любым элементом сопряженного пространства является измеримой функцией в обычном (сильном) смысле. Для сепарабельных пространств понятия слабой и сильной измеримости совпадают.

Если — измеримое пространство и — банахово пространство над полем (которое является действительными числами или комплексными числами ), то оно называется слабо измеримым , если для каждого непрерывного линейного функционала функция является измеримой функцией относительно и обычной борелевской алгебры на${\displaystyle (X,\Сигма)}$${\displaystyle Б}$ ${\displaystyle \mathbb {К} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle g:B\to \mathbb {K} ,}$$${\displaystyle g\circ f\colon X\to \mathbb {K} \quad {\text{ определено как }}\quad x\mapsto g(f(x))}$$${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \mathbb {К} .}$

Измеримая функция на вероятностном пространстве обычно называется случайной величиной (или случайным вектором , если она принимает значения в векторном пространстве, таком как банахово пространство ). Таким образом, как частный случай приведенного выше определения, если является вероятностным пространством, то функция называется ( -значной) слабой случайной величиной (или слабым случайным вектором ), если для каждого непрерывного линейного функционала функция является -значной случайной величиной (т.е. измеримой функцией) в обычном смысле, относительно и обычной борелевской -алгебры на${\displaystyle Б}$${\displaystyle (\Omega, {\mathcal {P}})}$${\displaystyle Z:\Omega \to B}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle g:B\to \mathbb {K} ,}$$${\displaystyle g\circ Z\colon \Omega \to \mathbb {K} \quad {\text{ определено }}\quad \omega \mapsto g(Z(\omega ))}$$${\displaystyle \mathbb {К} }$${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \mathbb {К} .}$

Связь между измеримостью и слабой измеримостью определяется следующим результатом, известным как теорема Петтиса или теорема измеримости Петтиса .

Говорят, что функция почти наверняка имеет разделимое значение (или по существу имеет разделимое значение ), если существует подмножество с таким значением, что является разделимым.${\displaystyle f}$${\displaystyle N\subseteq X}$${\displaystyle \мю (N)=0}$${\displaystyle f(X\setminus N)\subseteq B}$

В случае, когда является сепарабельным, поскольку любое подмножество сепарабельного банахова пространства само является сепарабельным, можно считать, что указанное выше является пустым, и отсюда следует, что понятия слабой и сильной измеримости совпадают, когда является сепарабельным.${\displaystyle Б}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Б}$

• Измеримая функция Бохнера
• Интеграл Бохнера  – Понятие в математике
• Пространство Бохнера  – Тип топологического пространства
• Интеграл Петтиса
• Векторная мера

• Петтис, Б. Дж. (1938). «Об интегрировании в векторных пространствах». Trans. Amer. Math. Soc . 44 (2): 277– 304. doi : 10.2307/1989973 . ISSN  0002-9947. MR  1501970.
• Showalter, Ralph E. (1997). "Теорема III.1.1". Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных . Математические обзоры и монографии 49. Providence, RI: American Mathematical Society. стр. 103. ISBN 0-8218-0500-2. МР  1422252.