Измеримая функция Бохнера

В математике , а именно в функциональном анализе , измеримая по Бохнеру функция, принимающая значения в банаховом пространстве , — это функция , которая почти всюду равна пределу последовательности измеримых счетнозначных функций, т. е.

${\displaystyle f(t)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(t){\text{ для почти каждого }}t,\,}$

где каждая функция имеет счетный диапазон и для которого прообраз измерим для каждого элемента  x . Концепция названа в честь Саломона Бохнера .${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f_{n}^{-1}(\{x\})}$

Измеримые по Бохнеру функции иногда называют сильно измеримыми , -измеримыми или просто измеримыми (или равномерно измеримыми в случае, если банахово пространство является пространством непрерывных линейных операторов между банаховыми пространствами).${\displaystyle \мю}$

Связь между измеримостью и слабой измеримостью определяется следующим результатом, известным как теорема Петтиса или теорема измеримости Петтиса .

Функция f почти наверняка имеет разделимые значения (или по существу имеет разделимые значения ), если существует подмножество N  ⊆  X с μ ( N ) = 0, такое что f ( X  \  N ) ⊆  B является разделимым.

Функция f :  X  →  B , определенная на пространстве с мерой ( X , Σ,  μ ) и принимающая значения в банаховом пространстве B, является (сильно) измеримой (относительно Σ и алгебры Бореля на B ) тогда и только тогда, когда она одновременно слабо измерима и почти наверное раздельнозначна.

В случае, когда B сепарабельно, поскольку любое подмножество сепарабельного банахова пространства само сепарабельно, можно считать N пустым, и отсюда следует, что понятия слабой и сильной измеримости совпадают, когда B сепарабельно.

• Интеграл Бохнера  – обобщение интеграла Лебега на функции со значениями в банаховом пространствеСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Пространство Бохнера  – Тип топологического пространства
• Измеримая функция  – Функция, для которой прообраз измеримого множества измерим.
• Измеримое пространство  – Базовый объект в теории меры; множество и сигма-алгебра
• Интеграл Петтиса
• Векторная мера
• Слабо измеримая функция

• Showalter, Ralph E. (1997). "Теорема III.1.1". Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных . Математические обзоры и монографии 49. Providence, RI: American Mathematical Society. стр. 103. ISBN 0-8218-0500-2. МР  1422252..