Слабое измерение

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (June 2021) (Learn how and when to remove this message)

В абстрактной алгебре слабая размерность ненулевого правого модуля M над кольцом R — это наибольшее число n такое, что группа Tor ненулевая для некоторого левого R -модуля N ( или бесконечность , если такого наибольшего n не существует), и слабая размерность левого R -модуля определяется аналогично. Слабая размерность была введена Анри Картаном и Самуэлем Эйленбергом  (1956, стр. 122). Слабая размерность иногда называется плоской размерностью , поскольку это наименьшая длина разрешения модуля плоскими модулями . Слабая размерность модуля, самое большее, равна его проективной размерности . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$

Слабая глобальная размерность кольца — это наибольшее число n, которое отлично от нуля для некоторого правого R -модуля M и левого R -модуля N . Если такого наибольшего числа n не существует , слабая глобальная размерность определяется как бесконечная. Она не больше левой или правой глобальной размерности кольца R .${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$

• Модуль рациональных чисел над кольцом целых чисел имеет слабую размерность 0, но проективную размерность 1.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Модуль над кольцом имеет слабую размерность 1, но инъективную размерность 0.${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Модуль над кольцом имеет слабую размерность 0, но инъективную размерность 1.${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Домен Prüfer имеет слабую глобальную размерность, не превышающую 1.
• Регулярное кольцо фон Неймана имеет слабую глобальную размерность 0.
• Произведение бесконечного числа полей имеет слабую глобальную размерность 0 , но его глобальная размерность не равна нулю.
• Если кольцо является правым нётеровым , то правая глобальная размерность совпадает со слабой глобальной размерностью и не превышает левой глобальной размерности. В частности, если кольцо является правым и левым нётеровым, то левая и правая глобальные размерности и слабая глобальная размерность являются одинаковыми.
• Кольцо треугольных матриц имеет правую глобальную размерность 1, слабую глобальную размерность 1, но левую глобальную размерность 2. Оно является правым нётеровым, но не левым нётеровым.${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$

• Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1956), Гомологическая алгебра, Princeton Mathematical Series, т. 19, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04991-5, МР  0077480
• Нэстасеску, Константин; Ван Ойстаен, Фредди (1987), Размеры теории колец , Математика и ее приложения, т. 36, D. Reidel Publishing Co., doi : 10.1007/978-94-009-3835-9, ISBN 9789027724618, МР  0894033

Эта статья по коммутативной алгебре — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e