Перевод (геометрия)

В евклидовой геометрии перенос — это геометрическое преобразование , которое перемещает каждую точку фигуры, формы или пространства на одно и то же расстояние в заданном направлении . Перенос также можно интерпретировать как добавление постоянного вектора к каждой точке или как смещение начала координатной системы . В евклидовом пространстве любой перенос является изометрией .

Если — фиксированный вектор, известный как вектор переноса , и — начальное положение некоторого объекта, то функция переноса будет работать как .${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {п} }$${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

Если — это перевод, то изображение подмножества под функцией — это перевод по . Перевод по часто записывается как .${\displaystyle Т}$${\displaystyle А}$ ${\displaystyle Т}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle А}$${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$${\displaystyle A+\mathbf {v} }$

В классической физике поступательное движение — это движение, которое изменяет положение объекта, в отличие от вращения . Например, по Уиттекеру: ^[1]

Если тело перемещается из одного положения в другое и линии, соединяющие начальную и конечную точки каждой из точек тела, представляют собой набор параллельных прямых линий длины ℓ , так что ориентация тела в пространстве не изменяется, то перемещение называется переносом, параллельным направлению линий, на расстояние ℓ .

—  ET Whittaker , Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел , стр. 1

Перевод — это операция изменения положения всех точек объекта в соответствии с формулой${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle (x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)}$

где — один и тот же вектор для каждой точки объекта. Вектор перемещения, общий для всех точек объекта, описывает определенный тип смещения объекта, обычно называемый линейным смещением, чтобы отличить его от смещений, включающих в себя вращение, называемых угловыми смещениями.${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$

При рассмотрении пространства-времени изменение временной координаты считается переносом.

Оператор трансляции превращает функцию исходного положения, , в функцию конечного положения, . Другими словами, определяется таким образом, что Этот оператор более абстрактен, чем функция, поскольку определяет связь между двумя функциями, а не самими лежащими в их основе векторами. Оператор трансляции может действовать на многие виды функций, например, когда оператор трансляции действует на волновую функцию , которая изучается в области квантовой механики.${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$${\ displaystyle f (\ mathbf {v} + \ mathbf {\ delta })}$${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$

Множество всех трансляций образует группу трансляций , которая изоморфна самому пространству, и нормальную подгруппу евклидовой группы . Фактор -группа по изоморфна группе жестких движений, которые фиксируют определенную начальную точку, ортогональной группе :${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle E(n)}$${\displaystyle E(n)}$${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)}$

Поскольку трансляция коммутативна , группа трансляций абелева . Существует бесконечное число возможных трансляций, поэтому группа трансляций является бесконечной группой .

В теории относительности , в связи с трактовкой пространства и времени как единого пространства-времени , переносы могут также относиться к изменениям временной координаты . Например, группа Галилея и группа Пуанкаре включают переносы относительно времени.

Одним из видов подгрупп трехмерной группы трансляций являются решеточные группы , которые являются бесконечными группами , но в отличие от групп трансляций, являются конечно порожденными . То есть, конечный порождающий набор порождает всю группу.

Перевод — это аффинное преобразование без фиксированных точек . Умножение матриц всегда имеет начало координат в качестве фиксированной точки. Тем не менее, существует общий обходной путь с использованием однородных координат для представления перевода векторного пространства с матричным умножением : Запишите 3-мерный вектор, используя 4 однородные координаты, как . ^[2]${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)}$

Чтобы переместить объект с помощью вектора , каждый однородный вектор (записанный в однородных координатах) можно умножить на эту матрицу перевода :${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

Обратную матрицу трансляции можно получить, изменив направление вектора на противоположное:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$

Аналогично, произведение матриц трансляции получается путем сложения векторов:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!}$

Поскольку сложение векторов коммутативно , умножение матриц переноса также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).

В то время как геометрический перенос часто рассматривается как активное преобразование , которое изменяет положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнут пассивным преобразованием , которое перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивная версия активного геометрического переноса известна как перенос осей .

Объект, который выглядит одинаково до и после трансляции, называется трансляционной симметрией . Распространенным примером является периодическая функция , которая является собственной функцией оператора трансляции.

График действительной функции f , множество точек ⁠ ⁠ , часто изображается в действительной координатной плоскости, где x — горизонтальная координата, а ⁠ ⁠ — вертикальная координата. ${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle y=f(x)}$

Начиная с графика функции f , горизонтальный перенос означает составление функции f с функцией ⁠ ⁠${\displaystyle x\mapsto x-a}$ для некоторого постоянного числа a , что приводит к графику, состоящему из точек ⁠ ⁠${\displaystyle (x,f(x-a))}$ . Каждая точка ⁠ ⁠${\displaystyle (x,y)}$ исходного графика соответствует точке ⁠ ⁠${\displaystyle (x+a,y)}$ на новом графике, что наглядно приводит к горизонтальному сдвигу.

Вертикальный перенос означает составление функции ⁠ ⁠${\displaystyle y\mapsto y+b}$ с f , для некоторой константы b , что приводит к графику, состоящему из точек ⁠ ⁠${\displaystyle {\bigl (}x,f(x)+b{\bigr )}}$ . Каждая точка ⁠ ⁠${\displaystyle (x,y)}$ исходного графика соответствует точке ⁠ ⁠${\displaystyle (x,y+b)}$ на новом графике, что наглядно приводит к вертикальному сдвигу. ^[3]

Например, взяв квадратичную функцию ⁠ ⁠${\displaystyle y=x^{2}}$ , график которой представляет собой параболу с вершиной в ⁠ ⁠${\displaystyle (0,0)}$ , горизонтальный перенос на 5 единиц вправо будет новой функцией ⁠ ⁠ ,${\displaystyle y=(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25}$ вершина которой имеет координаты ⁠ ⁠${\displaystyle (5,0)}$ . Вертикальный перенос на 3 единицы вверх будет новой функцией ⁠ ⁠ ,${\displaystyle y=x^{2}+3}$ вершина которой имеет координаты ⁠ ⁠${\displaystyle (0,3)}$ .

Первообразные функции отличаются друг от друга константой интегрирования и , следовательно, являются вертикальными переносами друг друга. ^[4]

Для описания динамики транспортного средства (или движения любого твердого тела ), включая динамику корабля и динамику самолета , обычно используют механическую модель, состоящую из шести степеней свободы , которая включает перемещения вдоль трех осей отсчета (а также вращения вокруг этих трех осей). Эти перемещения часто называют всплеском , колебанием и вертикальной качкой .

• Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Концепции перевода функций: препятствия, интуиции и перенаправление. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. Получено 29 апреля 2014 г. с сайта www.elsevier.com/locate/jmathb
• Трансформации графов: горизонтальные переводы. (2006, 1 января). BioMath: Трансформация графов. Получено 29 апреля 2014 г.

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Перевод (геометрия)» .

• Перевод Transform в cut-the-knot
• Геометрический перевод (интерактивная анимация) в Math Is Fun
• Понимание 2D-трансляции и понимание 3D-трансляции Роджера Гермундссона, The Wolfram Demonstrations Project .