Реальное координатное пространство

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Февраль 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике реальное координатное пространство или реальное координатное n- пространство размерности n , обозначаемое R ⁿ или , представляет собой множество всех упорядоченных n -кортежей действительных чисел , то есть множество всех последовательностей из n действительных чисел, также известных как координатные векторы . Особые случаи называются действительной прямой R ¹ , действительной координатной плоскостью R ² и действительным координатным трехмерным пространством R ³ . С покомпонентным сложением и скалярным умножением это действительное векторное пространство .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Координаты по любому базису элементов действительного векторного пространства образуют действительное координатное пространство той же размерности, что и векторное пространство. Аналогично, декартовы координаты точек евклидова пространства размерности n , E ⁿ ( евклидова прямая , E ; евклидова плоскость , E ² ; евклидово трехмерное пространство , E ³ ) образуют действительное координатное пространство размерности n .

Эти однозначные соответствия между векторами, точками и координатными векторами объясняют названия координатного пространства и координатного вектора . Это позволяет использовать геометрические термины и методы для изучения действительных координатных пространств, и, наоборот, использовать методы исчисления в геометрии. Этот подход геометрии был введен Рене Декартом в 17 веке. Он широко используется, так как позволяет находить точки в евклидовых пространствах и производить вычисления с ними.

Для любого натурального числа n множество R n состоит из всех n - кортежей действительных чисел ( R ) . Оно называется " n -мерным действительным ^{пространством} " или "действительным n -пространством".

Элемент R ^{n ,} таким образом, является n -кортежем и записывается , где каждое x _i является действительным числом. Таким образом, в многомерном исчислении область определения функции нескольких действительных переменных и область определения действительной векторной функции являются подмножествами R ⁿ для некоторого n .$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$

Действительное n -пространство имеет ряд дополнительных свойств, а именно:

• С покомпонентным сложением и скалярным умножением это действительное векторное пространство . Каждое n -мерное действительное векторное пространство изоморфно ему.
• С помощью скалярного произведения (суммы почленного произведения компонентов) это пространство внутреннего произведения . Каждое n -мерное вещественное пространство внутреннего произведения изоморфно ему.
• Как и любое пространство скалярного произведения, оно является топологическим пространством и топологическим векторным пространством .
• Это евклидово пространство и действительное аффинное пространство , и каждое евклидово или аффинное пространство ему изоморфно.
• Это аналитическое многообразие , и ^его можно рассматривать как прототип всех многообразий , поскольку, по определению, многообразие вблизи каждой точки изоморфно открытому подмножеству Rn .
• Это алгебраическое многообразие , а каждое действительное алгебраическое многообразие является подмножеством R ⁿ .

Эти свойства и структуры R ⁿ делают его фундаментальным практически во всех областях математики и областях их применения, таких как статистика , теория вероятностей и многие разделы физики .

Любая функция f ( x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n ) от n действительных переменных может рассматриваться как функция на R ⁿ (то есть с R ⁿ в качестве ее области определения ). Использование действительного n -пространства вместо нескольких переменных, рассматриваемых по отдельности, может упростить обозначения и предложить разумные определения. Рассмотрим для n = 2 композицию функций следующего вида: где функции g ₁ и g ₂ непрерывны . Если$${\displaystyle F(t)=f(g_{1}(t),g_{2}(t)),}$$

• ∀ x ₁  ∈  R  : f ( x ₁ , ·) непрерывна (по x ₂ )
• ∀ x ₂  ∈  R  : f (·,  x ₂ ) непрерывна (по x ₁ )

тогда F не обязательно непрерывен. Непрерывность — более сильное условие: непрерывность f в естественной топологии R ² (обсуждается ниже), также называемая многомерной непрерывностью , которая достаточна для непрерывности композиции F .

Координатное пространство R ⁿ образует n -мерное векторное пространство над полем действительных чисел с добавлением структуры линейности и часто по-прежнему обозначается как R ⁿ . Операции над R ⁿ как векторным пространством обычно определяются как Нулевой вектор задается как и аддитивный обратный вектор x задается как$${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots,x_{n}+y_{n})}$$$${\displaystyle \alpha \mathbf {x} =(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n}).}$$$${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0,\ldots ,0)}$$$${\displaystyle -\mathbf {x} =(-x_{1},-x_{2},\ldots,-x_{n}).}$$

Эта структура важна, поскольку любое n -мерное действительное векторное пространство изоморфно векторному пространству R ⁿ .

В стандартной матричной нотации каждый элемент R ⁿ обычно записывается как вектор-столбец , а иногда как вектор-строка :$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Координатное пространство R ⁿ можно тогда интерпретировать как пространство всех векторов-столбцов размером n  × 1 или всех векторов-строк размером 1 ×  n с обычными матричными операциями сложения и скалярного умножения .

Линейные преобразования из R ⁿ в R ^m могут быть записаны как матрицы m  ×  n , которые действуют на элементы R ⁿ через левое умножение (когда элементы R ⁿ являются векторами-столбцами) и на элементы R ^m через правое умножение (когда они являются векторами-строками). Формула для левого умножения, частного случая умножения матриц , имеет вид:$${\displaystyle (A{\mathbf {x} })_{k}=\sum _{l=1}^{n}A_{kl}x_{l}}$$

Любое линейное преобразование является непрерывной функцией (см. ниже). Также матрица определяет открытое отображение из R ⁿ в R ^m тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен m .

Координатное пространство R ⁿ имеет стандартный базис:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0)\\&{}\;\;\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}}$$

Чтобы увидеть, что это базис, заметим, что произвольный вектор в R ⁿ может быть записан единственным образом в виде$${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.}$$

Тот факт, что действительные числа , в отличие от многих других полей , образуют упорядоченное поле , дает структуру ориентации на R ⁿ . Любое линейное отображение полного ранга R ⁿ в себя либо сохраняет, либо меняет ориентацию пространства в зависимости от знака определителя его матрицы. Если переставить координаты (или, другими словами, элементы базиса), то результирующая ориентация будет зависеть от четности перестановки .

Диффеоморфизмы R ⁿ или областей в нем , благодаря их способности избегать нулевого якобиана , также классифицируются как сохраняющие ориентацию и меняющие ориентацию. Это имеет важные последствия для теории дифференциальных форм , приложения которой включают электродинамику .

Другим проявлением этой структуры является то, что точечное отражение в R ⁿ имеет различные свойства в зависимости от четности n . Для четных n оно сохраняет ориентацию, а для нечетных n — меняет ее на противоположную (см. также несобственное вращение ).

R ⁿ понимаемое как аффинное пространство, является тем же самым пространством, где R ⁿ как векторное пространство действует посредством переносов . Наоборот, вектор следует понимать как « разность между двумя точками», обычно иллюстрируемую направленным отрезком прямой, соединяющим две точки. Различие заключается в том, что не существует канонического выбора того, где должно находиться начало координат в аффинном n -пространстве, поскольку его можно переносить куда угодно.

В реальном векторном пространстве, таком как R ⁿ , можно определить выпуклый конус , который содержит все неотрицательные линейные комбинации его векторов. Соответствующее понятие в аффинном пространстве — выпуклое множество , которое допускает только выпуклые комбинации (неотрицательные линейные комбинации, сумма которых равна 1).

На языке универсальной алгебры векторное пространство — это алгебра над универсальным векторным пространством R∞ конечных последовательностей коэффициентов, соответствующих конечным суммам векторов, в то время как аффинное пространство — это алгебра над универсальной аффинной гиперплоскостью в этом пространстве (конечных последовательностей, дающих в сумме 1), конус — это алгебра над универсальным ^{ортантом} ( конечных последовательностей неотрицательных чисел), а выпуклое множество — это алгебра над универсальным симплексом (конечных последовательностей неотрицательных чисел, дающих в сумме 1). Это геометризует аксиомы в терминах «сумм с (возможными) ограничениями на координаты».

Еще одно понятие из выпуклого анализа — выпуклая функция от R ⁿ до действительных чисел, которая определяется через неравенство между ее значением на выпуклой комбинации точек и суммой значений в этих точках с теми же коэффициентами.

Скалярное произведение определяет норму | x | = √ x ⋅ x на векторном пространстве R ⁿ . Если каждый вектор имеет свою евклидову норму , то для любой пары точек расстояние определено, обеспечивая структуру метрического пространства на R ⁿ в дополнение к его аффинной структуре.$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}$$ $${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$$

Что касается структуры векторного пространства, скалярное произведение и евклидово расстояние обычно предполагаются существующими в R ⁿ без особых пояснений. Однако, действительное n -пространство и евклидово n -пространство являются, строго говоря, разными объектами. Любое евклидово n -пространство имеет систему координат , в которой скалярное произведение и евклидово расстояние имеют вид, показанный выше, называемый декартовой . Но на евклидовом пространстве существует много декартовых систем координат.

Наоборот, приведенная выше формула для евклидовой метрики определяет стандартную евклидову структуру на R ⁿ , но она не является единственно возможной. На самом деле, любая положительно определенная квадратичная форма q определяет свое собственное «расстояние» √ q ( x − y ) , но оно не сильно отличается от евклидовой в том смысле, что Такое изменение метрики сохраняет некоторые ее свойства, например свойство быть полным метрическим пространством . Это также подразумевает, что любое линейное преобразование полного ранга R ⁿ или его аффинное преобразование не увеличивает расстояния больше, чем на некоторое фиксированное C ₂ , и не делает расстояния меньше, чем в 1 /  C ₁ раз, в фиксированное конечное число раз меньше. ^{[ необходимо разъяснение ]}$${\displaystyle \exists C_{1}>0,\ \exists C_{2}>0,\ \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:C_{1}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\leq {\sqrt {q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )}}\leq C_{2}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$$

Вышеупомянутая эквивалентность метрических функций остается справедливой, если √ q ( x − y ) заменить на M ( x − y ) , где M — любая выпуклая положительная однородная функция степени 1, т. е. векторная норма (см. расстояние Минковского для полезных примеров). Из-за того факта, что любая «естественная» метрика на R ⁿ не особенно отличается от евклидовой метрики, R ⁿ не всегда отличается от евклидова n -пространства даже в профессиональных математических работах.

Хотя определение многообразия не требует, чтобы его модельное пространство было ^Rn , этот выбор является наиболее распространенным и почти исключительным в дифференциальной геометрии .

С другой стороны, теоремы Уитни о вложении утверждают, что любое вещественное дифференцируемое m -мерное многообразие может быть вложено в R ^{2 m} .

Другие структуры, рассматриваемые на R ^{n ,} включают структуру псевдоевклидова пространства , симплектическую структуру (четное n ) и контактную структуру (нечетное n ). Все эти структуры, хотя и могут быть определены в координатно-свободной манере, допускают стандартные (и достаточно простые) формы в координатах.

R ⁿ также является вещественным векторным подпространством C ⁿ , которое инвариантно относительно комплексного сопряжения ; см. также комплексификация .

Существует три семейства многогранников , которые имеют простые представления в пространствах R ⁿ для любого n и могут быть использованы для визуализации любой аффинной системы координат в вещественном n -пространстве. Вершины гиперкуба имеют координаты ( x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n ) , где каждое x _k принимает одно из двух значений, обычно 0 или 1. Однако вместо 0 и 1 можно выбрать любые два числа, например −1 и 1. n -гиперкуб можно рассматривать как декартово произведение n одинаковых интервалов (таких как единичный интервал [0,1] ) на вещественной прямой. Как n -мерное подмножество его можно описать системой из 2 n неравенств : для [0,1] и для [−1,1] .$${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\leq 1\\\vdots \\0\leq x_{n}\leq 1\end{matrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{matrix}|x_{1}|\leq 1\\\vdots \\|x_{n}|\leq 1\end{matrix}}}$$

Каждая вершина кросс-политопа имеет, для некоторого k , координату x _{k ,} равную ±1 , и все остальные координаты , равные 0 (таким образом, это k -й стандартный базисный вектор с точностью до sign ). Это двойственный политоп гиперкуба. Как n -мерное подмножество его можно описать одним неравенством, которое использует операцию абсолютного значения : но это можно выразить и системой из 2 ⁿ линейных неравенств.$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}|\leq 1\,,}$$

Третий многогранник с просто перечислимыми координатами — это стандартный симплекс , вершинами которого являются n стандартных базисных векторов и начало координат (0, 0, ..., 0) . Как n -мерное подмножество он описывается системой из n + 1 линейных неравенств: Замена всех «≤» на «<» дает внутренности этих многогранников.$${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\\\vdots \\0\leq x_{n}\\\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\leq 1\end{matrix}}}$$

Топологическая структура R ⁿ (называемая стандартной топологией , евклидовой топологией или обычной топологией ) может быть получена не только из декартова произведения. Она также идентична естественной топологии, индуцированной евклидовой метрикой, обсуждавшейся выше: множество открыто в евклидовой топологии тогда и только тогда, когда оно содержит открытый шар вокруг каждой своей точки. Кроме того, R ⁿ является линейным топологическим пространством (см. непрерывность линейных отображений выше), и существует только одна возможная (нетривиальная) топология, совместимая с его линейной структурой. Поскольку существует много открытых линейных отображений из R ⁿ в себя, которые не являются изометриями , может быть много евклидовых структур на R ^n, которые соответствуют той же топологии. На самом деле, она не сильно зависит даже от линейной структуры: существует много нелинейных диффеоморфизмов (и других гомеоморфизмов) R ⁿ на себя или на его части, такие как евклидов открытый шар или внутренность гиперкуба).

Rn имееттопологическую размерность ⁿ .

Важным результатом о топологии R ⁿ , который далек от поверхностного, является инвариантность Брауэра области определения . Любое подмножество R ⁿ (с его топологией подпространства ), гомеоморфное другому открытому подмножеству R ^{n ,} само является открытым. Непосредственным следствием этого является то, что R ^m не гомеоморфно R ^{n ,} если m ≠ n – интуитивно «очевидный» результат, который, тем не менее, трудно доказать.

Несмотря на разницу в топологической размерности и вопреки наивному восприятию, можно непрерывно и сюръективно отобразить реальное пространство меньшей размерности ^{[ требуется разъяснение ]} на R ⁿ . Возможна непрерывная (хотя и не гладкая) заполняющая пространство кривая (образ R ^{1 ). [ требуется разъяснение ]}

Пустой вектор-столбец, единственный элемент R 0

Случаи 0 ≤ n ≤ 1 не предлагают ничего нового: R ¹ — это вещественная линия , тогда как R ⁰ (пространство, содержащее пустой вектор-столбец) — это синглтон , понимаемый как нулевое векторное пространство . Однако полезно включить их в качестве тривиальных случаев теорий, описывающих различные n .

Случай ( x,y ), где x и y — действительные числа, был разработан как декартова плоскость P. Дальнейшая структура была присоединена к евклидовым векторам, представляющим направленные отрезки линий в P. Плоскость также была разработана как расширение поля путем добавления корней X ² + 1 = 0 к действительному полю. Корень i действует на P как четверть оборота с ориентацией против часовой стрелки. Этот корень порождает группу . Когда ( x,y ) записывается как x + y i , это комплексное число .${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {R} .}$ ${\displaystyle \{i,-1,-i,+1\}\equiv \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$

Другое групповое действие от , где актор был выражен как j, использует линию y = x для инволюции переворота плоскости ( x,y ) ↦ ( y,x ), обмена координатами. В этом случае точки P записываются как x + y j и называются расщепленными комплексными числами . Эти числа с покоординатным сложением и умножением согласно jj =+1 образуют кольцо , которое не является полем.${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

Другая кольцевая структура на P использует нильпотентный e для записи x + y e для ( x,y ). Действие e на P сводит плоскость к прямой: Его можно разложить на проекцию на x-координату, затем повернув результат на четверть к оси y: e ( x + y e) = x e, поскольку e ² = 0. Число x + y e является дуальным числом . Дуальные числа образуют кольцо, но, поскольку e не имеет мультипликативного обратного, оно не порождает группу, поэтому действие не является групповым действием.

Исключение (0,0) из P делает [ x  : y ] проективными координатами , которые описывают действительную проективную прямую, одномерное пространство. Поскольку начало координат исключено, по крайней мере одно из отношений x / y и y / x существует. Тогда [ x  : y ] = [ x / y  :1] или [ x  : y ] = [1: ^y / x ] . Проективная прямая P1 ( R ) является топологическим многообразием , покрытым двумя координатными картами , [ z  :1] → z или [1: z ] → z , которые образуют атлас . Для точек, покрытых обеими картами, функция перехода является мультипликативной инверсией на открытой окрестности точки, что обеспечивает гомеоморфизм , требуемый в многообразии. Одно из приложений действительной проективной прямой находится в метрической геометрии Кэли–Клейна.

R ⁴ можно представить, используя тот факт, что 16 точек ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  x ₄ ) , где каждый x _k равен либо 0, либо 1, являются вершинами тессеракта ( на рисунке), 4-гиперкуба (см. выше).

Первое крупное применение R ⁴ — это модель пространства-времени : три пространственные координаты плюс одна временная . Обычно это ассоциируется с теорией относительности , хотя со времен Галилея для таких моделей использовались четыре измерения . Однако выбор теории приводит к другой структуре: в галилеевой относительности координата t является привилегированной, но в эйнштейновской относительности — нет. Специальная теория относительности задается в пространстве Минковского . Общая теория относительности использует искривленные пространства, которые можно рассматривать как R ⁴ с искривленной метрикой для большинства практических целей. Ни одна из этих структур не обеспечивает (положительно-определенную) метрику на R ⁴ .

Евклидово R ⁴ также привлекает внимание математиков, например, из-за его связи с кватернионами , 4-мерной вещественной алгеброй . См. вращения в 4-мерном евклидовом пространстве для некоторой информации.

В дифференциальной геометрии n = 4 — единственный случай, когда R ⁿ допускает нестандартную дифференциальную структуру : см. экзотический R ⁴ .

Можно определить много норм на векторном пространстве R ⁿ . Вот некоторые общие примеры:

• p -норма , определяемая для всех , где — положительное целое число. Случай очень важен, поскольку это в точности евклидова норма .${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2}$
• -норма или максимальная норма , определяемая для всех . Это предел всех p-норм : .${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$

Действительно удивительным и полезным результатом является то, что каждая норма, определенная на R ^{n ,} эквивалентна . Это означает, что для двух произвольных норм и на R ⁿ вы всегда можете найти положительные действительные числа , такие, что для всех .${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|'}$${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$$${\displaystyle \alpha \cdot \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} \|'\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|}$$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

Это определяет отношение эквивалентности на множестве всех норм в R ⁿ . С помощью этого результата вы можете проверить, что последовательность векторов в R ⁿ сходится с тогда и только тогда, когда она сходится с .${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|'}$

Вот набросок того, как может выглядеть доказательство этого результата:

Из-за отношения эквивалентности достаточно показать, что каждая норма на R ⁿ эквивалентна евклидовой норме . Пусть — произвольная норма на R ⁿ . Доказательство делится на два этапа:${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

• Мы покажем, что существует , такой что для всех . На этом шаге вы используете тот факт, что каждый может быть представлен в виде линейной комбинации стандартного базиса : . Тогда с неравенством Коши–Шварца , где .${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbf {R} ^{n}}$${\textstyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|=\left\|\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|\cdot |x_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}=\beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2},}$$${\textstyle \beta :={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}}$
• Теперь нам нужно найти , такой что для всех . Предположим, что не существует такого . Тогда для каждого a существует , такой что . Определим вторую последовательность как . Эта последовательность ограничена, так как . Поэтому из-за теоремы Больцано–Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность с пределом R ⁿ . Теперь мы покажем, что но , что является противоречием. Это так, потому что и , поэтому . Это влечет , поэтому . С другой стороны , потому что . Это никогда не может быть истинным, поэтому предположение было ложным и существует такой .${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \alpha \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k\in \mathbf {N} }$${\displaystyle \mathbf {x} _{k}\in \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{k}\|_{2}>k\cdot \|\mathbf {x} _{k}\|}$${\displaystyle ({\tilde {\mathbf {x} }}_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$${\textstyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{k}:={\frac {\mathbf {x} _{k}}{\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}}}}$${\displaystyle \|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k}\|_{2}=1}$${\displaystyle ({\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}})_{j\in \mathbf {N} }}$${\displaystyle \mathbf {a} \in }$ ${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=1}$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|\leq \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|+\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|\leq \beta \cdot \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}+{\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\ {\overset {j\to \infty }{\longrightarrow }}\ 0,}$$${\displaystyle \|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\|\to 0}$${\displaystyle 0\leq {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}<{\frac {1}{k_{j}}}}$${\displaystyle {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\to 0}$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|=0}$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=1}$${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=\left\|\lim _{j\to \infty }{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=\lim _{j\to \infty }\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=1}$${\displaystyle \alpha >0}$

• Экспоненциальный объект , для теоретического объяснения надстрочной записи
• Геометрическое пространство
• Реальное проективное пространство

• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Манкрес, Джеймс (1999). Топология . Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.