Вариограмма

В пространственной статистике теоретическая вариограмма , обозначаемая , представляет собой функцию, описывающую степень пространственной зависимости пространственного случайного поля или стохастического процесса . Полувариограмма — это половина вариограммы. ${\displaystyle 2\гамма (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$ ${\displaystyle Z(\mathbf {s})}$ ${\displaystyle \гамма (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

Например, в золотодобыче вариограмма даст меру того, насколько два образца, взятых из района добычи, будут отличаться по процентному содержанию золота в зависимости от расстояния между этими образцами. Образцы, взятые далеко друг от друга, будут отличаться больше, чем образцы, взятые близко друг к другу.

Полувариограмма была впервые определена Матероном (1963) как половина средней квадратичной разницы между функцией и переведенной копией функции, разделенной на расстоянии . [ ^{1] [2]} Формально${\displaystyle \гамма (ч)}$${\displaystyle ч}$

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2}}\iiint _{V}\left[f(M+h)-f(M)\right]^{2}dM,}$

где — точка в геометрическом поле , а — значение в этой точке. Тройной интеграл — это расстояние разделения (например, в метрах или км), представляющее интерес. Например, значение может представлять содержание железа в почве в некотором месте (с географическими координатами широты, долготы и высоты) в некоторой области с элементом объема . Чтобы получить полувариограмму для заданного , будут отобраны все пары точек на этом точном расстоянии. На практике невозможно выполнить отбор везде, поэтому вместо этого используется эмпирическая вариограмма.${\displaystyle М}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle М}$${\displaystyle V}$${\displaystyle dV}$${\displaystyle \гамма (ч)}$

Вариограмма в два раза больше полувариограммы и может быть определена по-другому, как дисперсия разницы между значениями поля в двух местах ( и , обратите внимание на изменение обозначений с на на и на ) по реализациям поля (Cressie 1993):${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle 2\гамма (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})={\text{var}}\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)=E\left[((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))-E[Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})])^{2}\right].}$

Если пространственное случайное поле имеет постоянное среднее значение , это эквивалентно ожиданию квадратичного приращения значений между местоположениями и (Wackernagel 2003) (где и являются точками в пространстве и, возможно, во времени):${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z( \mathbf {s} _{2})\right)^{2}\right].}$

В случае стационарного процесса вариограмму и полувариограмму можно представить как функцию только разницы между местоположениями с помощью следующего соотношения (Cressie 1993):${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma (0,0+h)}$${\displaystyle h=\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2}) = \gamma _{s}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _ {1}).}$

Если процесс к тому же изотропен , то вариограмма и полувариограмма могут быть представлены только функцией расстояния (Cressie 1993):${\displaystyle \gamma _{i}(h):=\gamma _{s}(he_{1})}$${\displaystyle h=\|\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}\|}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2}) = \gamma _{i}(h).}$

Индексы или обычно не пишутся. Термины используются для всех трех форм функции. Более того, термин «вариограмма» иногда используется для обозначения полувариограммы, а символ иногда используется для вариограммы, что вносит некоторую путаницу. ^[3]${\displaystyle я}$${\displaystyle с}$${\displaystyle \гамма}$

Согласно (Cressie 1993, Chiles and Delfiner 1999, Wackernagel 2003) теоретическая вариограмма имеет следующие свойства:

• Полувариограмма неотрицательна , так как представляет собой математическое ожидание квадрата.${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})\geq 0}$
• Полувариограмма на расстоянии 0 всегда равна 0, так как .${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})=\gamma _{i}(0)=E\left((Z(\mathbf {s} _ {1})-Z(\mathbf {s} _{1}))^{2}\right)=0}$${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1})=0}$
• Функция является полувариограммой тогда и только тогда, когда она является условно отрицательно определенной функцией, то есть для всех весов, подчиняющихся условию и местоположений, она имеет место:${\displaystyle w_{1},\ldots,w_{N}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=0}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{N}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i} \gamma (\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _ {j})w_{j}\leq 0}$

что соответствует тому факту, что дисперсия задается отрицательным значением этой двойной суммы и должна быть неотрицательной. ^{[ оспаривается – обсудить ]}${\displaystyle var(X)}$${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$

• Если ковариационная функция стационарного процесса существует, то она связана с вариограммой соотношением

  ${\displaystyle 2\гамма (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})+C(\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{2})-2C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

• Если стационарное случайное поле не имеет пространственной зависимости (т.е. если ), то полувариограмма является константой всюду, за исключением начала координат, где она равна нулю.${\displaystyle C(h)=0}$${\displaystyle h\not =0}$${\displaystyle var(Z(\mathbf {s}))}$
• ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf { s} _{2})|^{2}\right]=\gamma (\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{1})}$является симметричной функцией.
• Следовательно, — четная функция .${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma _{s}(-h)}$
• Если случайное поле стационарно и эргодично , то соответствует дисперсии поля. Предел полувариограммы также называется ее порогом .${\displaystyle \lim _{h\to \infty }\gamma _{s}(h)=var(Z(\mathbf {s} ))}$
• В результате полувариограмма может быть прерывистой только в начале координат. Высота скачка в начале координат иногда называется самородком или эффектом самородка.

Подводя итог, можно сказать, что для описания вариограмм часто используются следующие параметры:

• Самородок : высота скачка полувариограммы на разрыве в начале координат.${\displaystyle n}$
• порог : предел вариограммы, стремящийся к бесконечности расстояний запаздывания.${\displaystyle с}$
• диапазон : Расстояние, на котором разница вариограммы от порога становится незначительной. В моделях с фиксированным порогом это расстояние, на котором он впервые достигается; для моделей с асимптотическим порогом это обычно принимается как расстояние, на котором полудисперсия впервые достигает 95% порога.${\displaystyle r}$

Как правило, для измеренных данных необходима эмпирическая вариограмма , поскольку информация об образце доступна не для каждого местоположения. Например, информация об образце может быть концентрацией железа в образцах почвы или интенсивностью пикселей на камере. Каждая часть информации об образце имеет координаты для 2D-пространства образца, где и являются географическими координатами. В случае железа в почве пространство образца может быть 3-мерным. Если также есть временная изменчивость (например, содержание фосфора в озере), то может быть 4-мерным вектором . В случае, когда измерения имеют разные единицы (например, расстояние и время), то к каждому можно применить коэффициент масштабирования, чтобы получить модифицированное евклидово расстояние. ^[4]${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbf {s} =(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle (x,y,z,t)}$${\displaystyle Б}$

Образцы наблюдений обозначены . Образцы могут быть взяты в разных местах. Это даст набор образцов в местах . Обычно графики показывают значения полувариограммы как функцию разделения точек выборки . В случае эмпирической полувариограммы используются интервалы расстояния разделения, а не точные расстояния, и обычно предполагаются изотропные условия (т. е. это только функция и не зависит от других переменных, таких как положение центра). Затем эмпирическая полувариограмма может быть рассчитана для каждого интервала:${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{i})=z_{i}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$${\displaystyle \mathbf {s} _{1},\ldots ,\mathbf {s} _{k}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h\pm \delta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta )}$

${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta ):={\frac {1}{2|N(h\pm \delta )|}}\sum _{(i,j)\in N(h\pm \delta )}|z_{i}-z_{j}|^{2}}$

Или, другими словами, каждая пара точек, разделенных (плюс или минус некоторый диапазон допуска ширины бина ), находится. Они образуют набор точек . Количество этих точек в этом бине равно . Затем для каждой пары точек находится квадрат разницы в наблюдении (например, содержание образца почвы или интенсивность пикселей) ( ). Эти квадраты разностей складываются и нормализуются натуральным числом . По определению результат делится на 2 для полувариограммы при этом разделении.${\displaystyle h}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle N(h\pm \delta )\equiv \{(\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}):|\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}|=h\pm \delta ;i,j=1,\ldots ,N\}}$${\displaystyle |N(h\pm \delta )|}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle |z_{i}-z_{j}|^{2}}$${\displaystyle |N(h\pm \delta )|}$

Для скорости вычислений нужны только уникальные пары точек. Например, для 2 наблюдений пары [ ], взятые из местоположений с разделением только [ ], должны быть рассмотрены, так как пары [ ] не предоставляют никакой дополнительной информации.${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$${\displaystyle h\pm \delta }$${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$${\displaystyle (z_{b},z_{a}),(z_{d},z_{c})}$

Эмпирическая вариограмма не может быть вычислена на каждом расстоянии лага , и из-за вариации в оценке не гарантируется, что это будет допустимая вариограмма, как определено выше. Однако некоторые геостатистические методы, такие как кригинг, требуют допустимых полувариограмм. В прикладной геостатистике эмпирические вариограммы, таким образом, часто аппроксимируются функцией модели, что обеспечивает достоверность (Chiles&Delfiner 1999). Вот некоторые важные модели (Chiles&Delfiner 1999, Cressie 1993):${\displaystyle h}$

• Модель экспоненциальной вариограммы

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)(1-\exp(-h/(ra)))+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• Модель сферической вариограммы

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(\left({\frac {3h}{2r}}-{\frac {h^{3}}{2r^{3}}}\right)1_{(0,r)}(h)+1_{[r,\infty )}(h)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• Модель гауссовой вариограммы

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(1-\exp \left(-{\frac {h^{2}}{r^{2}a}}\right)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

Параметр имеет разные значения в разных источниках из-за неоднозначности определения диапазона. Например, это значение, используемое в (Chiles&Delfiner 1999). Функция равна 1, если и 0 в противном случае.${\displaystyle a}$${\displaystyle a=1/3}$${\displaystyle 1_{A}(h)}$${\displaystyle h\in A}$

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (May 2015) (Learn how and when to remove this message)

В геостатистике для описания пространственной или временной корреляции наблюдений используются три функции : коррелограмма , ковариация и полувариограмма . Последняя также более просто называется вариограммой .

Вариограмма является ключевой функцией в геостатистике, поскольку она будет использоваться для подгонки модели временной/ пространственной корреляции наблюдаемого явления. Таким образом, проводится различие между экспериментальной вариограммой , которая является визуализацией возможной пространственной/временной корреляции, и моделью вариограммы , которая далее используется для определения весов функции кригинга . Обратите внимание, что экспериментальная вариограмма является эмпирической оценкой ковариации гауссовского процесса . Как таковая, она может не быть положительно определенной и, следовательно, не может напрямую использоваться в кригинге без ограничений или дальнейшей обработки. Это объясняет, почему используется только ограниченное количество моделей вариограмм: чаще всего это линейная, сферическая, гауссова и экспоненциальная модели.

Эмпирическая вариограмма используется в геостатистике в качестве первой оценки модели вариограммы, необходимой для пространственной интерполяции методом кригинга .

• Для определения критериев совпадения спутниковых и наземных измерений использовались эмпирические вариограммы пространственно-временной изменчивости усредненного по столбу углекислого газа . ^[4]
• Были рассчитаны эмпирические вариограммы для плотности неоднородного материала (Гилсокарбон). ^[5]
• Эмпирические вариограммы рассчитываются на основе наблюдений за сильными колебаниями грунта в результате землетрясений . ^[6] Эти модели используются для оценки сейсмического риска и потерь пространственно-распределенной инфраструктуры. ^[7]

Квадратный член в вариограмме, например , можно заменить различными степенями: Мадограмма определяется с помощью абсолютной разности , , а родограмма определяется с помощью квадратного корня абсолютной разности, . Оценки, основанные на этих более низких степенях, считаются более устойчивыми к выбросам . Их можно обобщить как «вариограмму порядка α »,${\displaystyle (Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))^{2}}$${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|}$${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{0.5}}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right|^{\alpha }\right]}$,

где вариограмма имеет порядок 2, мадограмма — это вариограмма порядка 1, а родограмма — это вариограмма порядка 0,5. ^[8]

Когда вариограмма используется для описания корреляции различных переменных, она называется кросс-вариограммой . Кросс-вариограммы используются в ко-кригинге . Если переменная является бинарной или представляет классы значений, то говорят об индикаторных вариограммах . Индикаторные вариограммы используются в индикаторном кригинге .

• Кресси, Н., 1993, Статистика пространственных данных, Wiley Interscience.
• Чайлз, Дж. П., П. Делфинер, 1999, Геостатистика, Моделирование пространственной неопределенности, Wiley-Interscience.
• Вакернагель, Х., 2003, Многомерная геостатистика, Springer.
• Берроу, П.А. и Макдоннелл, Р.А., 1998, Принципы географических информационных систем.
• Изобель Кларк, 1979, Практическая геостатистика, Издательство прикладной науки.
• Кларк, И., 1979, Практическая геостатистика , Издательство прикладной науки.
• Дэвид, М., 1978, Геостатистическая оценка запасов руды , Elsevier Publishing.
• Хальд, А., 1952, Статистическая теория и ее инженерные приложения , John Wiley & Sons, Нью-Йорк.
• Журнал, АГ и Хейбрегтс, Ч. Дж., 1978 Горная геостатистика , Academic Press.
• Гласс, Х.Дж., 2003, Метод оценки качества вариограммы, Журнал Южноафриканского института горного дела и металлургии.

• AI-GEOSTATS: образовательный ресурс по геостатистике и пространственной статистике
• Геостатистика: Лекция Рудольфа Дуттера в Венском техническом университете

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Вариограмма» .