Разнообразие конечных полугрупп

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Для проверки данной статьи необходимы дополнительные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Разнообразие конечных полугрупп" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( Апрель 2018 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) В статье содержится список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2018 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В математике , а точнее в теории полугрупп , многообразие конечных полугрупп — это класс полугрупп, обладающих некоторыми хорошими алгебраическими свойствами. Эти классы можно определить двумя различными способами, используя либо алгебраические понятия, либо топологические понятия. Многообразия конечных моноидов , многообразия конечных упорядоченных полугрупп и многообразия конечных упорядоченных моноидов определяются аналогично.

Это понятие очень похоже на общее понятие многообразия в универсальной алгебре.

Теперь даны два эквивалентных определения.

Многообразие V конечных (упорядоченных) полугрупп — это класс конечных (упорядоченных) полугрупп, которые:

• закрыто в рамках раздела .
• замкнуто относительно взятия конечных декартовых произведений.

Первое условие эквивалентно утверждению, что V замкнуто относительно взятия подполугрупп и взятия частных. Второе свойство подразумевает, что пустое произведение — то есть тривиальная полугруппа одного элемента — принадлежит каждому многообразию. Следовательно, многообразие обязательно непусто.

Многообразие конечных (упорядоченных) моноидов — это многообразие конечных (упорядоченных) полугрупп, элементы которых являются моноидами. То есть это класс (упорядоченных) моноидов, удовлетворяющих двум условиям, указанным выше.

Чтобы дать топологическое определение множества конечных полугрупп, необходимы некоторые другие определения, связанные с проконечными словами .

Пусть A — произвольный конечный алфавит . Пусть A ⁺ — его свободная полугруппа . Тогда пусть — множество проконечных слов над A. Для данного морфизма полугрупп пусть — единственное непрерывное расширение до .${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \phi :A^{+}\to S}$${\displaystyle {\hat {\phi }}:{\hat {A}}\to S}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\hat {A}}}$

Проконечное тождество — это пара u и v проконечных слов. Говорят, что полугруппа S удовлетворяет проконечному тождеству u = v , если для каждого морфизма полугруппы выполняется равенство .${\displaystyle \phi :A^{+}\to S}$${\displaystyle {\hat {\phi }}(u)={\hat {\phi }}(v)}$

Многообразие конечных полугрупп — это класс конечных полугрупп , удовлетворяющих множеству проконечных тождеств P.

Многообразие конечных моноидов определяется так же, как многообразие конечных полугрупп, с той разницей, что вместо морфизмов полугрупп следует рассматривать морфизмы моноидов .${\displaystyle \phi :A^{*}\to M}$${\displaystyle \phi :A^{+}\to M}$

Разнообразие конечных упорядоченных полугрупп/моноидов также задается аналогичным определением, с той разницей, что следует рассматривать морфизмы упорядоченных полугрупп/моноидов.

Приведено несколько примеров классов полугрупп. В первом примере используются конечные тождества, то есть проконечные тождества, два слова которых являются конечными словами. В следующем примере используются проконечные тождества. Последний пример — пример класса, который не является многообразием.

Больше примеров приведено в статье Специальные классы полугрупп .

• Самый тривиальный пример — многообразие S всех конечных полугрупп. Это многообразие определяется пустым множеством проконечных равенств. Тривиально видеть, что этот класс конечных полугрупп замкнут относительно подполугрупп, конечных произведений и частных.
• Вторым наиболее тривиальным примером является многообразие 1 , содержащее только тривиальную полугруппу. Это многообразие определяется множеством проконечных равенств { x = y }. Интуитивно это равенство утверждает, что все элементы полугруппы равны. Этот класс тривиально замкнут относительно подполугрупп, конечных произведений и частных.
• Многообразие Com коммутативных конечных полугрупп определяется проконечным равенством xy = yx . Интуитивно это равенство утверждает, что каждая пара элементов полугруппы коммутирует.
• Многообразие идемпотентных конечных полугрупп определяется проконечным равенством xx = x .

В более общем случае, если задано проконечное слово u и буква x , проконечное равенство ux = xu утверждает, что множество возможных образов u содержит только элементы централизатора. Аналогично, ux = x утверждает, что множество возможных образов u содержит только левые тождества. Наконец , ux = u утверждает, что множество возможных образов u состоит из левых нулей.

Теперь приводятся примеры с использованием профинитных слов, которые не являются конечными.

Для данного проконечного слова x обозначим . Следовательно, для данного полугруппового морфизма , является единственной идемпотентной степенью . Таким образом, в проконечных равенствах представляет собой произвольный идемпотент.${\displaystyle x^{\omega }}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{n!}}$${\displaystyle \phi :A^{+}\to S}$${\displaystyle {\hat {\phi }}(x^{\omega })}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x^{\omega }}$

Класс G конечных групп — это многообразие конечных полугрупп. Обратите внимание, что конечная группа может быть определена как конечная полугруппа с единственным идемпотентом, который вдобавок является левой и правой тождественностью. Как только эти два свойства будут переведены в термины проконечного равенства, можно увидеть, что многообразие G определяется множеством проконечных равенств${\displaystyle \{x^{\omega }=y^{\omega }{\text{ and }}x^{\omega }y=yx^{\omega }=y\}.}$

Обратите внимание, что класс конечных моноидов не является многообразием конечных полугрупп. Действительно, этот класс не замкнут относительно подполугрупп. Чтобы увидеть это, возьмем любую конечную полугруппу S, которая не является моноидом. Она является подполугруппой моноида S ¹ , образованной присоединением единичного элемента.

Теорема Рейтермана утверждает, что два приведенных выше определения эквивалентны. Ниже приводится схема доказательства.

Если задано многообразие полугрупп V, как в алгебраическом определении, то можно выбрать множество P проконечных тождеств , равное множеству проконечных тождеств, которым удовлетворяет каждая полугруппа из V.

Взаимно, если задано проконечное тождество u = v , можно заметить, что класс полугрупп, удовлетворяющих этому проконечному тождеству, замкнут относительно подполугрупп, частных и конечных произведений. Таким образом, этот класс является многообразием конечных полугрупп. Более того, многообразия замкнуты относительно произвольного пересечения, таким образом, если задано произвольное множество P проконечных тождеств u ⁱ = v ⁱ , класс полугрупп, удовлетворяющих P , является пересечением класса полугрупп, удовлетворяющих всем этим проконечным тождествам. То есть, это пересечение многообразий конечных полугрупп, а это многообразие конечных полугрупп.

Определение многообразия конечных полугрупп вдохновлено понятием многообразия универсальных алгебр . Напомним определение многообразия в универсальной алгебре. Такое многообразие, эквивалентно:

• класс структур, замкнутых относительно гомоморфных образов, подалгебр и (прямых) произведений .
• класс структур, удовлетворяющих набору тождеств .

Теперь даны основные различия между двумя понятиями многообразия. В этом разделе «многообразие (произвольных) полугрупп» означает «класс полугрупп как многообразие универсальной алгебры над словарем одного бинарного оператора». Из определений этих двух видов многообразий следует, что для любого многообразия V (произвольных) полугрупп класс конечных полугрупп из V является многообразием конечных полугрупп.

Сначала мы приводим пример многообразия конечных полугрупп, которое не похоже ни на одно подмногообразие многообразия (произвольных) полугрупп. Затем мы приводим разницу между двумя определениями с использованием тождеств. Наконец, мы приводим разницу между алгебраическими определениями.

Как показано выше, класс конечных групп является многообразием конечных полугрупп. Однако класс групп не является подмногообразием многообразия (произвольных) полугрупп. Действительно, является моноидом, который является бесконечной группой. Однако его подмоноид не является группой. Поскольку класс (произвольных) групп содержит полугруппу и не содержит ни одной из ее подполугрупп, он не является многообразием. Главное отличие конечного случая от бесконечного, когда рассматриваются группы, состоит в том, что подмоноид конечной группы является конечной группой. В то время как бесконечные группы не замкнуты относительно взятия подмоноидов.${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$

Класс конечных групп является многообразием конечных полугрупп, при этом он не является подмногообразием многообразия (произвольных) полугрупп. Таким образом, теорема Рейтермана показывает, что этот класс может быть определен с помощью проконечных тождеств. А теорема Биркгофа HSP показывает, что этот класс не может быть определен с помощью тождеств (конечных слов). Это иллюстрирует, почему определение многообразия конечных полугрупп использует понятие проконечных слов, а не понятие тождеств.

Теперь рассмотрим алгебраические определения многообразий. Требование, чтобы многообразия были замкнуты относительно произвольных прямых произведений, подразумевает, что многообразие либо тривиально, либо содержит бесконечные структуры. Чтобы ограничить многообразия, чтобы они содержали только конечные структуры, определение многообразия конечных полугрупп использует понятие конечного произведения вместо понятия произвольного прямого произведения.

• Пин, Жан-Эрик (2016-11-30). Математические основы теории автоматов (PDF) . стр. 141–160.
• Пин, Жан-Эрик (1986). Разновидности формального языка . Нью-Йорк: Plenum Publishing Corp.
• Эйленберг, С. (1976). Автоматы, языки и машины . Нью-Йорк: Harcourt Brace Jovanovich Publishers. стр. главы «Теорема о глубинной декомпозиции» и «Сложность полугрупп и морфизмов».
• Almeida, J (1994). Конечные полугруппы и универсальная алгебра . Rivere Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc.