Идентичность (математика)

В математике тождество — это равенство , связывающее одно математическое выражение A  с другим математическим выражением  B , так что A и B (которое может содержать некоторые переменные ) производят одно и то же значение для всех значений переменных в пределах определенной области дискурса . ^{[1] [2]} Другими словами, A  =  B является тождеством, если A и B определяют одни и те же функции , а тождество — это равенство между функциями, которые определены по-разному. Например, и являются тождествами. ^[3] Иногда тождества обозначаются символом тройной черты ≡ вместо = , знака равенства . ^[4] Формально тождество — это универсально квантифицированное равенство.${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$

Некоторые тождества, такие как и , составляют основу алгебры ^[5], в то время как другие тождества, такие как и , могут быть полезны для упрощения алгебраических выражений и их расширения. ^[6]${\displaystyle а+0=а}$${\displaystyle а+(-а)=0}$${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}$

Геометрически тригонометрические тождества — это тождества, включающие определенные функции одного или нескольких углов . ^[7] Они отличаются от тождеств треугольников , которые являются тождествами, включающими как углы, так и длины сторон треугольника . В этой статье рассматриваются только первые.

Эти тождества полезны всякий раз, когда выражения, включающие тригонометрические функции, необходимо упростить. Другим важным применением является интегрирование нетригонометрических функций: распространенный метод, который включает в себя сначала использование правила подстановки с тригонометрической функцией , а затем упрощение полученного интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Одним из наиболее ярких примеров тригонометрических тождеств является уравнение , которое справедливо для всех действительных значений . С другой стороны, уравнение${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$${\displaystyle \тета}$

${\displaystyle \cos \theta =1}$

верно только для определенных значений , а не для всех. Например, это уравнение верно, когда , но ложно, когда .${\displaystyle \тета}$${\displaystyle \тета =0,}$${\displaystyle \тета =2}$

Другая группа тригонометрических тождеств касается так называемых формул сложения/вычитания (например, тождество двойного угла , формула сложения для ), которые можно использовать для разложения выражений с большими углами на выражения с меньшими составляющими.${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$${\displaystyle \tan(x+y)}$

Следующие тождества справедливы для всех целочисленных показателей, при условии, что основание не равно нулю:

${\displaystyle {\begin{align}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{align}}}$

В отличие от сложения и умножения, возведение в степень не является коммутативным . Например, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , но 2 ³ = 8 , тогда как 3 ² = 9 .

Также в отличие от сложения и умножения, возведение в степень также не ассоциативно . Например, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , но 2 ³ в степени 4 равно 8 ⁴ (или 4096), тогда как 2 в степени 3 ⁴ равно 2 ⁸¹ (или 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Если скобки не написаны, то по соглашению порядок сверху вниз, а не снизу вверх:

${\displaystyle b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},}$   тогда как   ${\displaystyle (b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.}$

Несколько важных формул, иногда называемых логарифмическими тождествами или логарифмическими законами , связывают логарифмы друг с другом: ^[a]

Логарифм произведения — это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел — это разность логарифмов. Логарифм степени p числа — это логарифм самого числа, умноженный на p; логарифм корня степени p — это логарифм числа, деленного на p . В следующей таблице перечислены эти тождества с примерами. Каждое из тождеств может быть получено после подстановки определений логарифма и/или в левых частях.${\displaystyle x=b^{\log _{b}x},}$${\displaystyle y=b^{\log _{b}y},}$

	Формула	Пример
продукт	${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}$
частное	${\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4}$
власть	${\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)}$	${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}$
корень	${\displaystyle \log _{b}\!{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \log _{10}\!{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

Логарифм log _b ( x ) можно вычислить из логарифмов x и b относительно произвольного основания k, используя следующую формулу:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.}$

Типичные научные калькуляторы вычисляют логарифмы по основаниям 10 и e . ^[8] Логарифмы по любому основанию b можно определить, используя любой из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.}$

Дано число x и его логарифм log _b ( x ) по неизвестному основанию b , основание определяется по формуле:

${\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.}$

Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все из которых по форме похожи на тригонометрические тождества . Фактически, правило Осборна ^[9] гласит, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество в гиперболическое тождество, полностью расширив его в терминах целых степеней синусов и косинусов, изменив синус на sinh, а косинус на cosh, и изменив знак каждого члена, который содержит произведение четного числа гиперболических синусов. ^[10]

Функция Гудермана устанавливает прямую связь между тригонометрическими функциями и гиперболическими, не включающую комплексные числа .

Формально тождество — это истинная универсально квантифицированная формула вида , где s и t — термины без других свободных переменных , кроме Кванторный префикс часто остается неявным, когда утверждается, что формула является тождеством. Например, аксиомы моноида часто задаются в виде формул${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle \forall x,y,z:x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x:x*1=x,\quad \forall x:1*x=x,}$

или, короче,

${\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x,\qquad 1*x=x.}$

Итак, эти формулы являются тождествами в каждом моноиде. Что касается любого равенства, то формулы без квантификатора часто называют уравнениями . Другими словами, тождество — это уравнение, которое верно для всех значений переменных. ^{[11] [12]}

• Учетная идентичность
• Список математических тождеств
• Право (математика)

• Энциклопедия уравнений Онлайн-энциклопедия математических тождеств (архив)
• Коллекция алгебраических тождеств, архив 2011-10-01 на Wayback Machine