Вариационный квантовый собственный решатель

В квантовых вычислениях вариационный квантовый собственный решатель ( VQE ) — это квантовый алгоритм для квантовой химии , квантового моделирования и задач оптимизации . Это гибридный алгоритм, который использует как классические, так и квантовые компьютеры для поиска основного состояния заданной физической системы. При наличии предположения или анзаца квантовый процессор вычисляет ожидаемое значение системы относительно наблюдаемой , часто гамильтониана, а классический оптимизатор используется для улучшения предположения. Алгоритм основан на вариационном методе квантовой механики.

Первоначально он был предложен в 2014 году авторами-соавторами Альберто Перуццо, Аланом Аспуру-Гузиком и Джереми О'Брайеном . ^{[a] [1] [2]} Алгоритм также нашел применение в квантовом машинном обучении и был дополнительно подтвержден общими гибридными алгоритмами между квантовыми и классическими компьютерами. ^[3] Это пример шумного квантового алгоритма промежуточного масштаба (NISQ).

Целью VQE является нахождение набора квантовых операций, которые подготавливают самое низкое энергетическое состояние (или минимумы) близкого приближения к некоторой целевой величине или наблюдаемой. Хотя единственным строгим требованием к представлению наблюдаемой является ее эффективность в оценке ее ожидаемых значений, часто бывает проще, если оператор имеет компактное или простое выражение в терминах операторов Паули или тензорных произведений операторов Паули.

Для фермионной системы часто удобнее всего кубитизировать: то есть записать многочастичный гамильтониан системы с использованием вторичного квантования , а затем использовать отображение для записи операторов рождения-уничтожения в терминах операторов Паули. Обычные схемы для фермионов включают преобразование Джордана–Вигнера , преобразование Бравого–Китаева и преобразование четности. ^{[4] [5]}

После того как гамильтониан записан в терминах операторов Паули и нерелевантные состояния отброшены (конечномерное пространство), он будет состоять из линейной комбинации струн Паули, состоящих из тензорных произведений операторов Паули (например, ), таких, что${\displaystyle {\шляпа {H}}}$${\displaystyle {\hat {P}}_{i}}$${\displaystyle X\otimes I\otimes Z\otimes X}$

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i}\alpha _{i}{\hat {P}}_{i}}$,

где — числовые коэффициенты. На основе коэффициентов можно уменьшить количество струн Паули, чтобы оптимизировать расчет. ^[6]${\displaystyle \альфа _{я}}$

VQE можно адаптировать к другим задачам оптимизации, адаптировав гамильтониан в качестве функции стоимости. ^[7]

Выбор состояния анзаца зависит от интересующей системы. В квантовых вычислениях на основе вентилей анзац задается параметризованной квантовой схемой , параметры которой могут обновляться после каждого запуска. Анзац должен быть достаточно адаптивным, чтобы не пропустить желаемое состояние. Обычный метод получения допустимого анзаца задается фреймворком унитарного связанного кластера (UCC) и его расширениями. ^[8]

Если анзац выбран неадекватно, процедура может остановиться на субоптимальных параметрах, которые не соответствуют минимумам. В этой ситуации говорят, что алгоритм достиг «бесплодного плато». ^[5]

Анзац может быть установлен на начальную пробную функцию для запуска алгоритма. Например, для молекулярной системы можно использовать метод Хартри–Фока, чтобы обеспечить начальное состояние, близкое к реальному основному состоянию.

Другой вариант схемы анзаца — это эффективный аппаратный анзац, который состоит из последовательности 1-кубитных вращательных вентилей и 2-кубитных запутывающих вентилей. ^{[ необходима цитата ]} Количество повторений 1-кубитных вращательных вентилей и 2-кубитных запутывающих вентилей называется глубиной схемы.

Ожидаемое значение данного состояния с параметрами имеет ожидаемое значение функции энергии или стоимости, заданное выражением${\displaystyle |\psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})\rangle }$${\displaystyle \{\theta _{i}\}_{i=1}^{N}}$

${\displaystyle E(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})=\langle {\hat {H}}\rangle =\sum _{i}\alpha _{i}\langle \psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})|{\hat {P}}_{i}|\psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})\rangle }$

поэтому для получения ожидаемого значения энергии можно измерить ожидаемое значение каждой струны Паули (число отсчетов для данного значения по общему числу отсчетов). Этот шаг соответствует измерению каждого кубита по оси, предоставленной струной Паули. ^[7] Например, для струны первый кубит должен быть измерен по оси x , в то время как последние два должны быть измерены по оси y сферы Блоха . Если измерение возможно только по оси z , то для преобразования между осями можно использовать вентили Клиффорда . Если две струны Паули коммутируют, то их можно измерить одновременно, используя одну и ту же схему и интерпретируя результат в соответствии с алгеброй Паули.${\displaystyle X\otimes Y\otimes Y}$

При наличии параметризованного анзаца для основного состояния с параметрами, которые можно изменять, можно наверняка найти параметризованное состояние, которое ближе всего к основному состоянию на основе вариационного метода квантовой механики . Используя классические алгоритмы в цифровом компьютере, параметры анзаца могут быть оптимизированы. Для этой минимизации необходимо найти минимумы многомерной функции. Для этой цели можно использовать классические оптимизаторы, использующие градиентный спуск . ^[7]

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Variational quantum eigensolver" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2024) (Learn how and when to remove this message)

Для заданного гамильтониана (H) и вектора состояния, если мы можем изменять произвольно, то будет энергией основного состояния и будет основным состоянием (предполагая отсутствие вырождения). Но указанная выше задача минимизации по всем возможным состояниям , где состояние размерно , непрактична. Таким образом, чтобы ограничить пространство поиска до более практичного размера (например, poly(n)), нам нужно ограничить только подмножеством возможных состояний n-кубитов, которое основано на традиционных знаниях физики, химии и квантовой механики.${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \min _{|\psi \rangle }\langle \psi |H|\psi \rangle }$${\displaystyle \operatorname {argmin} _{|\psi \rangle }\langle \psi |H|\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

На соседнем рисунке показаны этапы высокого уровня в алгоритме VQE.

Схема управляет подмножеством возможных состояний, которые могут быть созданы, а параметр содержит вариационные параметры, где количество выбранных параметров достаточно для того, чтобы предоставить алгоритму выразительную мощность для вычисления основного состояния системы, но не слишком велико, чтобы увеличить вычислительную стоимость шага оптимизации.${\displaystyle U({\vec {\theta }})}$${\displaystyle {\vec {\theta }}}$${\displaystyle {\vec {\theta }}={\begin{pmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\\\vdots \\\theta _{p}\end{pmatrix}}}$

Запуская схему много раз и постоянно обновляя параметры для нахождения глобальных минимумов ожидаемого значения желаемой наблюдаемой величины, можно приблизиться к основному состоянию данной системы и сохранить его в квантовом процессоре в виде серии инструкций квантового вентиля .

В случае градиентного спуска требуется минимизировать функцию стоимости , где для случая VQE . Правило обновления: ${\displaystyle f({\vec {\theta }})}$${\displaystyle f({\vec {\theta }})=\langle \psi ({\vec {\theta }})|H|\psi ({\vec {\theta }})\rangle }$

${\displaystyle {\vec {\theta }}^{({\text{new}})}={\vec {\theta }}^{({\text{old}})}-r\nabla f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}$

где r — скорость обучения (размер шага) и

${\displaystyle \nabla f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})=\left({\frac {\partial f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}{\partial \theta _{1}}},{\frac {\partial f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}{\partial \theta _{2}}},\ldots \right)^{\top }}$

Для вычисления градиентов используется правило сдвига параметров. ^{[9] [10]}

Рассмотрим пример одного вентиля Паули:

${\displaystyle U(\theta )=e^{-i{\frac {\theta }{2}}P},}$

где P = X,Y или Z , тогда

${\displaystyle \nabla _{\theta }U={\frac {\partial U}{\partial \theta }}=-{\frac {i}{2}}Pe^{-i{\frac {\theta }{2}}P}=-{\frac {i}{2}}PU=-{\frac {i}{2}}UP}$

Как, . Таким образом,${\displaystyle f(\theta )=\langle \phi |U^{\dagger }AU|\phi \rangle }$

${\displaystyle \nabla _{\theta }f(\theta )={\frac {\partial }{\partial \theta }}\langle \phi |U^{\dagger }AU|\phi \rangle =\langle \phi |\left({\frac {i}{2}}P\right)U^{\dagger }AU|\phi \rangle +\langle \phi |U^{\dagger }A\left(-{\frac {i}{2}}P\right)U|\phi \rangle }$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\langle \phi |U^{\dagger }(\theta +{\frac {\pi }{2}})AU(\theta +{\frac {\pi }{2}})|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\langle \phi |U^{\dagger }(\theta -{\frac {\pi }{2}})AU(\theta -{\frac {\pi }{2}})|\phi \rangle }$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(f(\theta +{\frac {\pi }{2}})-f(\theta -{\frac {\pi }{2}})\right)}$

Приведенный выше результат имеет интересные свойства:

1. Эту же схему можно использовать для оценки и${\displaystyle f(\theta )}$${\displaystyle \nabla _{\theta }f(\theta )}$
2. ${\displaystyle f(\cdot )}$необходимо оценить 2 раза, чтобы получить значение градиента
3. Поскольку точность угла большая, точность ворот может быть низкой.${\displaystyle \pm {\frac {\pi }{2}}}$

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Variational quantum eigensolver" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2024) (Learn how and when to remove this message)

1. Схема VQE не требует большого количества вентилей по сравнению с алгоритмом квантовой оценки фазы (QPE), она более устойчива к ошибкам и хорошо подходит для стратегий смягчения ошибок.
2. Это эвристический метод, поэтому он не гарантирует сходимости к значению основного состояния. Метод сильно зависит от выбора схемы анзаца и методов оптимизации.
3. Число измерений, необходимых для вывода значения основного состояния, больше по сравнению с QPE и приблизительно соответствует числу членов в гамильтониане.
4. VQE может работать на оборудовании NISQ.
5. VQE весьма универсален, поскольку проблемы (кроме химических) можно выразить в виде гамильтонианов.

По состоянию на 2022 год вариационный квантовый собственный решатель может моделировать только небольшие молекулы, такие как ион гидрида гелия ^[1] или молекула гидрида бериллия . ^[11] Более крупные молекулы можно моделировать, принимая во внимание соображения симметрии. В 2020 году была продемонстрирована 12-кубитная симуляция водородной цепи (H ₁₂ ) с использованием квантового процессора Sycamore от Google . ^[12]

• Алгоритмы квантовой оптимизации