Обратные величины простых чисел

Последовательность чисел

Обратные величины простых чисел интересовали математиков по разным причинам. Они не имеют конечной суммы , как доказал Леонард Эйлер в 1737 году.

Подобно рациональным числам , обратные простым числам имеют повторяющиеся десятичные представления. В последние годы своей жизни Джордж Салмон (1819–1904) интересовался повторяющимися периодами этих десятичных представлений обратных простым числам. ^[1]

В то же время Уильям Шэнкс (1812–1882) вычислил многочисленные обратные величины простых чисел и их повторяющиеся периоды и опубликовал две статьи «О периодах обратных величин простых чисел» в 1873 ^[2] и 1874 годах. ^[3] В 1874 году он также опубликовал таблицу простых чисел и периодов их обратных величин до 20 000 (с помощью и «сообщением преподобного Джорджа Салмона») и указал на ошибки в предыдущих таблицах трех других авторов. ^[4]

Последняя часть таблицы простых чисел и их повторяющихся периодов Шэнкса 1874 года. В верхней строке 6952 должно быть 6592 (ошибку легко найти, так как период для простого числа

p

должен делить

p - 1

). В своем отчете о расширении таблицы до 30 000 в том же году Шэнкс не сообщил об этой ошибке, но сообщил, что в том же столбце, напротив 19841, 1984 должно быть 64. *Еще одна ошибка, которая могла быть исправлена после публикации его работы, находится напротив 19423, обратная величина повторяется каждые 6474 цифры, а не каждые 3237.

Правила вычисления периодов повторяющихся десятичных дробей из рациональных дробей были даны Джеймсом Уитбредом Ли Глейшером в 1878 году. ^[5] Для простого числа $p$ период его обратной дроби делит $p - 1.$ [ ^6]

Последовательность периодов повторения обратных простых чисел (последовательность A002371 в OEIS ) представлена в «Справочнике по целочисленным последовательностям» 1973 года.

Список обратных величин простых чисел

Простое число ( p )	Продолжительность периода	Взаимный (1/ p )
2	0	0,5
3	† 1	0. 3
5	0	0.2
7	* 6	0. 142857
11	† 2	0. 09
13	6	0.076923
17	* 16	0. 0588235294117647
19	* 18	0. 052631578947368421
23	* 22	0. 0434782608695652173913
29	* 28	0. 0344827586206896551724137931
31	15	0. 032258064516129
37	† 3	0.027
41	5	0.02439
43	21	0. 023255813953488372093
47	* 46	0. 0212765957446808510638297872340425531914893617
53	13	0. 0188679245283
59	* 58	0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661
61	* 60	0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459
67	33	0. 014925373134328358208955223880597
71	35	0. 01408450704225352112676056338028169
73	8	0. 01369863
79	13	0. 0126582278481
83	41	0. 01204819277108433734939759036144578313253
89	44	0. 01123595505617977528089887640449438202247191
97	* 96	0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567
101	† 4	0.0099
103	34	0. 0097087378640776699029126213592233
107	53	0. 00934579439252336448598130841121495327102803738317757
109	* 108	0. 009174311926605504587155963302752293577981651376146788990825688073394495412844036697247706422018348623853211
113	* 112	0. 0088495575221238938053097345132743362831858407079646017699115044247787610619469026548672566371681415929203539823
127	42	0. 007874015748031496062992125984251968503937

* Полные повторяющиеся простые числа выделены курсивом.
† Уникальные простые числа выделены.

Полные повторные простые числа

Полное повторное простое число , полное повторное простое число , собственное простое число ^[7]^{: 166} или длинное простое число в системе счисления с основанием b — это нечетное простое число p, такое что частное Ферма

q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}

(где p не делит b ) дает циклическое число с p − 1 цифрами. Следовательно, расширение основания b повторяет цифры соответствующего циклического числа бесконечно. $1/п$

Уникальные простые числа

Простое число p (где p ≠ 2, 5 при работе в десятичной системе счисления) называется уникальным, если не существует другого простого числа q такого, что длина периода десятичного разложения его обратной величины , 1/ p , равна длине периода обратной величины q , 1/ q . ^[8] Например, 3 — единственное простое число с периодом 1, 11 — единственное простое число с периодом 2, 37 — единственное простое число с периодом 3, 101 — единственное простое число с периодом 4, поэтому они являются уникальными простыми числами. Следующее по величине уникальное простое число — 9091 с периодом 10, хотя следующим по величине периодом является 9 (его простое число равно 333667). Уникальные простые числа были описаны Сэмюэлем Йейтсом в 1980 году. ^[9] Простое число p уникально тогда и только тогда, когда существует n такое, что

{\frac {\Phi _{n}(10)}{\gcd(\Phi _{n}(10),n)}}

является степенью p , где обозначает циклотомический полином th , оцененный в . Значение n тогда является периодом десятичного разложения 1/ p . ^[10] $\Фи _{n}(б)$ $n$ $б$

В настоящее время известно более пятидесяти уникальных простых чисел или вероятных простых чисел . Однако существует только двадцать три уникальных простых числа ниже 10 ¹⁰⁰ .

Десятичные уникальные простые числа:

3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, ... (последовательность A040017 в OEIS ).

Ссылки

^ "Некрологи – Джордж Салмон". Труды Лондонского математического общества . Вторая серия. 1 : xxii–xxviii. 1904. Получено 27 марта 2022 г. ... была одна отрасль вычислений, которая его очень увлекала. Это было определение количества цифр в повторяющихся периодах в числах, обратных простым числам.
^ Шэнкс, Уильям (1873). «О периодах обратных чисел простых чисел». Вестник математики . II : 41–43 . Получено 27 марта 2022 г.
^ Шэнкс, Уильям (1874). «О периодах обратных чисел простых чисел». Вестник математики . III : 52–55 . Получено 27 марта 2022 г.
^ Шэнкс, Уильям (1874). «О числе фигур в периоде обратного числа каждого простого числа ниже 20 000». Труды Лондонского королевского общества . 22 : 200–210 . Получено 27 марта 2022 г.
^ Глейшер, Дж. У. Л. (1878). «О циркулирующих десятичных дробях с особой ссылкой на «Таблицу окружностей» Генри Гудвина и «Табличную серию десятичных частных». Труды Кембриджского философского общества: Математические и физические науки . 3 (V): 185–206 . Получено 27 марта 2022 г.
^ Кук, Джон Д. «Числа, обратные простым». johndcook.com . Получено 6 апреля 2022 г. .
↑ Диксон, Леонард Э., 1952, История теории чисел, том 1 , Chelsea Public. Co.
^ Колдуэлл, Крис. "Уникальное простое число". The Prime Pages . Получено 11 апреля 2014 г.
^ Йейтс, Сэмюэл (1980). «Периоды уникальных простых чисел». Math. Mag . 53 : 314. Zbl 0445.10009.
^ "Обобщенный уникальный". Prime Pages . Получено 9 декабря 2023 г.

Внешние ссылки

Паркер, Мэтт (14 марта 2022 г.). «Величины, обратные простым — Numberphile». YouTube .

[proc-1] "Некрологи – Джордж Салмон". Труды Лондонского математического общества . Вторая серия. 1 : xxii–xxviii. 1904. Получено 27 марта 2022 г. ... была одна отрасль вычислений, которая его очень увлекала. Это было определение количества цифр в повторяющихся периодах в числах, обратных простым числам.

[2] Шэнкс, Уильям (1873). «О периодах обратных чисел простых чисел». Вестник математики . II : 41–43 . Получено 27 марта 2022 г.

[3] Шэнкс, Уильям (1874). «О периодах обратных чисел простых чисел». Вестник математики . III : 52–55 . Получено 27 марта 2022 г.

[shanks20000-4] Шэнкс, Уильям (1874). «О числе фигур в периоде обратного числа каждого простого числа ниже 20 000». Труды Лондонского королевского общества . 22 : 200–210 . Получено 27 марта 2022 г.

[glaisher-5] Глейшер, Дж. У. Л. (1878). «О циркулирующих десятичных дробях с особой ссылкой на «Таблицу окружностей» Генри Гудвина и «Табличную серию десятичных частных». Труды Кембриджского философского общества: Математические и физические науки . 3 (V): 185–206 . Получено 27 марта 2022 г.

[cook-6] Кук, Джон Д. «Числа, обратные простым». johndcook.com . Получено 6 апреля 2022 г. .

[Dickson-7] Диксон, Леонард Э., 1952, История теории чисел, том 1 , Chelsea Public. Co.

[8] Колдуэлл, Крис. "Уникальное простое число". The Prime Pages . Получено 11 апреля 2014 г.

[9] Йейтс, Сэмюэл (1980). «Периоды уникальных простых чисел». Math. Mag . 53 : 314. Zbl 0445.10009.

[top20gen-10] "Обобщенный уникальный". Prime Pages . Получено 9 декабря 2023 г.