частное Ферма

В теории чисел частное Ферма целого числа a по отношению к нечетному простому числу p определяется как [1] ​​[2] [3] [4]

д п ( а ) = а п − 1 − 1 п , {\displaystyle q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p}},}

или

δ п ( а ) = а − а п п {\displaystyle \delta _{p}(a)={\frac {aa^{p}}{p}}} .

Эта статья о первом; для второго см. p -derivation . Частное названо в честь Пьера де Ферма .

Если основание a взаимно просто с показателем p, то малая теорема Ферма гласит, что q p ( a ) будет целым числом. Если основание a также является генератором мультипликативной группы целых чисел по модулю p , то q p ( a ) будет циклическим числом , а p будет полным повторным простым числом .

Характеристики

Из определения очевидно, что

д п ( 1 ) ≡ 0 ( мод п ) д п ( − а ) ≡ д п ( а ) ( мод п ) ( с  2 ∣ п − 1 ) {\displaystyle {\begin{align}q_{p}(1)&\equiv 0&&{\pmod {p}}\\q_{p}(-a)&\equiv q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\quad ({\text{since}}2\mid p-1)\end{align}}}

В 1850 году Готтхольд Эйзенштейн доказал , что если a и b взаимно просты с p , то: [5]

д п ( а б ) ≡ д п ( а ) + д п ( б ) ( мод п ) д п ( а г ) ≡ г д п ( а ) ( мод п ) д п ( п ∓ а ) ≡ д п ( а ) ± 1 а ( мод п ) д п ( п ∓ 1 ) ≡ ± 1 ( мод п ) {\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(ab)&\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(a^{r})&\equiv rq_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp a)&\equiv q_{p}(a)\pm {\tfrac {1}{a}}&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp 1)&\equiv \pm 1&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}

Эйзенштейн сравнил первые два из этих сравнений со свойствами логарифмов . Эти свойства подразумевают

q p ( 1 a ) ≡ − q p ( a ) ( mod p ) q p ( a b ) ≡ q p ( a ) − q p ( b ) ( mod p ) {\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}\!\left({\tfrac {1}{a}}\right)&\equiv -q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}\!\left({\tfrac {a}{b}}\right)&\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}

В 1895 году Дмитрий Мириманов указал, что повторение правил Эйзенштейна дает следствие : [6]

q p ( a + n p ) ≡ q p ( a ) − n ⋅ 1 a ( mod p ) . {\displaystyle q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\tfrac {1}{a}}{\pmod {p}}.}

Из этого следует, что: [7]

q p ( a + n p 2 ) ≡ q p ( a ) ( mod p ) . {\displaystyle q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p}}.}

Формула Лерха

М. Лерх доказал в 1905 году, что [8] [9] [10]

∑ j = 1 p − 1 q p ( j ) ≡ W p ( mod p ) . {\displaystyle \sum _{j=1}^{p-1}q_{p}(j)\equiv W_{p}{\pmod {p}}.}

Вот коэффициент Уилсона . W p {\displaystyle W_{p}}

Особые ценности

Эйзенштейн обнаружил, что частное Ферма с основанием 2 можно выразить через сумму обратных величин по модулю p чисел, лежащих в первой половине диапазона {1, ..., p  − 1}:

− 2 q p ( 2 ) ≡ ∑ k = 1 p − 1 2 1 k ( mod p ) . {\displaystyle -2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}

Более поздние авторы показали, что количество членов, требуемых в таком представлении, можно сократить с 1/2 до 1/4, 1/5 или даже 1/6:

− 3 q p ( 2 ) ≡ ∑ k = 1 ⌊ p 4 ⌋ 1 k ( mod p ) . {\displaystyle -3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.} [11]
4 q p ( 2 ) ≡ ∑ k = ⌊ p 10 ⌋ + 1 ⌊ 2 p 10 ⌋ 1 k + ∑ k = ⌊ 3 p 10 ⌋ + 1 ⌊ 4 p 10 ⌋ 1 k ( mod p ) . {\displaystyle 4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lfloor {\frac {3p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {4p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.} [12]
2 q p ( 2 ) ≡ ∑ k = ⌊ p 6 ⌋ + 1 ⌊ p 3 ⌋ 1 k ( mod p ) . {\displaystyle 2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{6}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.} [13] [14]

Ряд Эйзенштейна также имеет все более сложную связь с частными Ферма с другими основаниями, первые несколько примеров:

− 3 q p ( 3 ) ≡ 2 ∑ k = 1 ⌊ p 3 ⌋ 1 k ( mod p ) . {\displaystyle -3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.} [15]
− 5 q p ( 5 ) ≡ 4 ∑ k = 1 ⌊ p 5 ⌋ 1 k + 2 ∑ k = ⌊ p 5 ⌋ + 1 ⌊ 2 p 5 ⌋ 1 k ( mod p ) . {\displaystyle -5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+2\sum _{k=\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.} [16]

Обобщенные простые числа Вифериха

Если q p ( a ) ≡ 0 (mod p ), то a p −1 ≡ 1 (mod p 2 ). Простые числа, для которых это верно при a = 2, называются простыми числами Вифериха . В общем случае они называются простыми числами Вифериха по основанию a. Известные решения q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) для малых значений a следующие: [2]

аp (проверено до 5 × 10 13 )последовательность OEIS
12, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (Все простые числа)А000040
21093, 3511А001220
311, 1006003А014127
41093, 3511
52, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801А123692
666161, 534851, 3152573А212583
75, 491531А123693
83, 1093, 3511
92, 11, 1006003
103, 487, 56598313А045616
1171
122693, 123653А111027
132, 863, 1747591А128667
1429, 353, 7596952219А234810
1529131, 119327070011А242741
161093, 3511
172, 3, 46021, 48947, 478225523351А128668
185, 7, 37, 331, 33923, 1284043А244260
193, 7, 13, 43, 137, 63061489А090968
20281, 46457, 9377747, 122959073А242982
212
2213, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159А298951
2313, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329А128669
245, 25633
252, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801
263, 5, 71, 486999673, 6695256707
2711, 1006003
283, 19, 23
292
307, 160541, 94727075783

Для получения дополнительной информации см. [17] [18] [19] и. [20]

Наименьшие решения q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) при a = n равны:

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (последовательность A039951 в OEIS )

Пара ( p ,  r ) простых чисел, такая что q p ( r ) ≡ 0 (mod p ) и q r ( p ) ≡ 0 (mod r ), называется парой Вифериха .

Ссылки

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Коэффициент Ферма». Математический мир .
  2. ^ ab "The Prime Glossary: ​​Fermat factorient". t5k.org . Получено 2024-03-16 .
  3. ↑ Пауло Рибенбойм , 13 лекций по Великой теореме Ферма (1979), особенно стр. 152, 159-161.
  4. ^ Пауло Рибенбойм , Мои числа, мои друзья: Популярные лекции по теории чисел (2000), стр. 216.
  5. ^ Готхольд Эйзенштейн , «Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse Linee Funktional-Gleichungen Definirt Werden», Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Пройсс. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36–42
  6. ^ Дмитрий Мириманов , "Sur la congruence ( r p - 1 - 1): p = q r (mod p )", Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300
  7. ^ Пол Бахманн , Niedere Zahlentheorie , 2 тома. (Лейпциг, 1902), 1:159.
  8. ^ Лерх, Матиас (1905). «Zur Theorie des Fermatschen Quotienten ». Математические Аннален . 60 : 471–490. дои : 10.1007/bf01561092. hdl : 10338.dmlcz/120531 . S2CID  123353041. a p − 1 − 1 p = q ( a ) {\displaystyle {\frac {a^{p-1}-1}{p}}=q(a)}
  9. ^ Сондоу, Джонатан (2014). «Факторы Лерха, простые числа Лерха, коэффициенты Ферма-Вильсона и простые числа Вифериха-не-Вильсона 2, 3, 14771». arXiv : 1110.3113 [math.NT].
  10. ^ Сондов, Джонатан; Макмиллан, Кирен (2011). «Сокращение уравнения Эрдёша-Мозера по модулю и ». arXiv : 1011.2154 [math.NT]. 1 n + 2 n + ⋯ + k n = ( k + 1 ) n {\displaystyle 1^{n}+2^{n}+\cdots +k^{n}=(k+1)^{n}} k {\displaystyle k} k 2 {\displaystyle k^{2}}
  11. ↑ Джеймс Уитбред Ли Глейшер , «О вычетах r p − 1 по модулю p 2 , p 3 и т. д.», Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (1901): 1-27.
  12. ^ Ладислав Скула , «Заметка о некоторых соотношениях между специальными суммами обратных величин по модулю p », Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.
  13. ↑ Эмма Лемер, «О сравнениях, включающих числа Бернулли и частные Ферма и Вильсона», Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, стр. 356 и далее.
  14. ^ Карл Дильчер и Ладислав Скула , «Новый критерий для первого случая Великой теоремы Ферма», Математика вычислений 64 (1995): 363-392.
  15. ^ Джеймс Уитбред Ли Глейшер , «Общая теорема сравнения, касающаяся функции Бернулли», Труды Лондонского математического общества 33 (1900-1901): 27-56, на стр. 49-50.
  16. ^ Матиас Лерх , «Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…», Mathematische Annalen 60 (1905): 471-490.
  17. ^ Простые числа Вифериха с основаниями до 1052
  18. ^ "Wieferich.txt простые числа с основаниями до 10125". Архивировано из оригинала 29-07-2014 . Получено 22-07-2014 .
  19. ^ Wieferich prime в простых базах до 1000 Архивировано 2014-08-09 на Wayback Machine
  20. ^ Простые числа Вифериха с уровнем >= 3
  • Готфрид Хелмс. Частные Ферма/Эйлера (ap-1 – 1)/pk с произвольным k.
  • Ричард Фишер. Частные Ферма B^(P-1) == 1 (mod P^2).
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fermat_quotient&oldid=1217777604"