Скрученный кубический

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Февраль 2022 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике скрученная кубика — это гладкая рациональная кривая C степени три в проективном 3-пространстве P ³ . Это фундаментальный пример косой кривой . Она по существу уникальна, с точностью до проективного преобразования ( следовательно, скрученная кубика). В алгебраической геометрии скрученная кубика — это простой пример проективного многообразия , которое не является линейным или гиперповерхностью , фактически не полным пересечением . Это трехмерный случай рациональной нормальной кривой , и является образом карты Веронезе степени три на проективной прямой .

Скрученную кубическую матрицу проще всего задать параметрически как изображение карты

${\displaystyle \nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{3}}$

который присваивает однородной координате значение${\displaystyle [С:Т]}$

${\displaystyle \nu :[S:T]\mapsto [S^{3}:S^{2}T:ST^{2}:T^{3}].}$

В одном координатном участке проективного пространства карта представляет собой просто кривую моментов

${\displaystyle \nu :x\mapsto (x,x^{2},x^{3})}$

То есть это замыкание одной точкой на бесконечности аффинной кривой .${\displaystyle (x,x^{2},x^{3})}$

Скрученная кубика — это проективное многообразие , определяемое как пересечение трех квадрик . В однородных координатах на P ³ скрученная кубика — это замкнутая подсхема, определяемая обращением в нуль трех однородных многочленов${\displaystyle [X:Y:Z:W]}$

${\displaystyle F_{0}=XZ-Y^{2}}$

${\displaystyle F_{1}=YW-Z^{2}}$

${\displaystyle F_{2}=XW-YZ.}$

Можно проверить, что эти три квадратичные формы исчезают тождественно при использовании явной параметризации выше; то есть, подставляя x ³ вместо X и так далее.

Более того, однородный идеал скрученной кубики C порождается этими тремя однородными многочленами степени 2.

Скрученная кубика имеет следующие свойства:

• Это теоретико-множественное полное пересечение и , но не схемно-теоретическое или идеально-теоретическое полное пересечение; это означает, что идеал многообразия не может быть порожден только двумя многочленами; требуется минимум 3. (Попытка использовать только два многочлена делает полученный идеал не радикальным , поскольку входит в него, но не входит в него).${\displaystyle XZ-Y^{2}}$${\displaystyle Z(YW-Z^{2})-W(XW-YZ)}$${\displaystyle (YW-Z^{2})^{2}}$${\displaystyle YW-Z^{2}}$
• Любые четыре точки на C охватывают P ³ .
• Если даны шесть точек в P3 ^, из которых ни четыре не лежат в одной плоскости, то через них проходит единственная скрученная кубическая многогранник.
• Объединение касательных и секущих линий ( секущее многообразие ) скрученной кубики C заполняет P ³ , и эти линии попарно не пересекаются, за исключением точек самой кривой. Фактически, объединение касательных и секущих линий любой неплоской гладкой алгебраической кривой является трехмерным. Кроме того, любое гладкое алгебраическое многообразие со свойством, что каждая длина четырех подсхем охватывает P ^{3 , обладает свойством} , что касательные и секущие линии попарно не пересекаются, за исключением точек самого многообразия.
• Проекция C на плоскость из точки на касательной к C дает каспидальну кубическую матрицу .
• Проекция из точки на секущую C дает узловую кубическую матрицу.
• Проекция из точки на C дает коническое сечение .

• Харрис, Джо (1992), Алгебраическая геометрия, Первый курс , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3.