Градуированное кольцо

В математике , в частности, в абстрактной алгебре , градуированное кольцо — это кольцо , в котором базовая аддитивная группа является прямой суммой абелевых групп, таких что ⁠ ⁠ . Индексный набор обычно представляет собой набор неотрицательных целых чисел или набор целых чисел, но может быть любым моноидом . Разложение прямой суммы обычно называется градацией или градуировкой .${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$

Градуированный модуль определяется аналогично (точное определение см. ниже). Он обобщает градуированные векторные пространства . Градуированный модуль, который также является градуированным кольцом, называется градуированной алгеброй . Градуированное кольцо также можно рассматривать как градуированную ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -алгебру.

Ассоциативность не важна (фактически вообще не используется) в определении градуированного кольца; следовательно, это понятие применимо и к неассоциативным алгебрам ; например, можно рассмотреть градуированную алгебру Ли .

Обычно предполагается, что набор индексов градуированного кольца — это набор неотрицательных целых чисел, если явно не указано иное. Так обстоит дело в данной статье.

Градуированное кольцо — это кольцо , которое разлагается в прямую сумму

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

аддитивных групп , таких что

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

для всех неотрицательных целых чисел и ⁠ ⁠ .${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

Ненулевой элемент называется однородным степени ⁠ ⁠ . По определению прямой суммы каждый ненулевой элемент может быть однозначно записан в виде суммы , где каждый равен 0 или однороден степени ⁠ ⁠ . Ненулевыми являются однородные компоненты ⁠  ⁠ .${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a}$

Некоторые основные свойства:

• ${\displaystyle R_{0}}$является подкольцом ⁠ ⁠ ;${\displaystyle R}$ в частности, мультипликативная единица является однородным элементом нулевой степени.${\displaystyle 1}$
• Для любого , является двусторонним ⁠ ⁠ - модулем , а разложение в прямую сумму является прямой суммой ⁠ ⁠- модулей.${\displaystyle n}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{0}}$
• ${\displaystyle R}$является ассоциативной ⁠ ⁠${\displaystyle R_{0}}$ -алгеброй .

Идеал является однородным , если для любого ⁠ ⁠ однородные компоненты также принадлежат ⁠ ⁠ . (Эквивалентно, если он является градуированным подмодулем ⁠ ⁠ ; см . § Градуированный модуль.) Пересечение однородного идеала с является ⁠ ⁠ -подмодулем , называемым однородной частью степени ⁠ ⁠ . Однородный идеал является прямой суммой своих однородных частей.${\displaystyle I\subseteq R}$${\displaystyle a\in I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I}$

Если — двусторонний однородный идеал в ⁠ ⁠ , то — также градуированное кольцо, разлагаемое как${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},}$

где — однородная часть степени ⁠ ⁠ .${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I}$

• Любому (неградуированному) кольцу R можно задать градуировку, положив ⁠ ⁠${\displaystyle R_{0}=R}$ , и для i ≠ 0. Это называется тривиальной градуировкой на  R .${\displaystyle R_{i}=0}$
• Кольцо многочленов градуировано по степени : оно представляет собой прямую сумму состоящих из однородных многочленов степени i .${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$${\displaystyle R_{i}}$
• Пусть S — множество всех ненулевых однородных элементов в градуированной области целостности R. Тогда локализация R относительно S является -градуированным кольцом.${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Если I — идеал в коммутативном кольце R , то — градуированное кольцо, называемое ассоциированным градуированным кольцом кольца R вдоль I ; геометрически это координатное кольцо нормального конуса вдоль подмногообразия , определяемого I.${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$
• Пусть X — топологическое пространство , H ⁱ ( X ; R ) — i-я группа когомологий с коэффициентами в кольце R. Тогда H ^* ( X ; R ), кольцо когомологий X с коэффициентами в R , является градуированным кольцом, базовая группа которого имеет мультипликативную структуру, заданную произведением кубков .${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$

Соответствующая идея в теории модулей — это идея градуированного модуля , а именно левого модуля M над градуированным кольцом R, такого что

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

и

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

для каждого i и j .

Примеры:

• Градуированное векторное пространство является примером градуированного модуля над полем (при этом поле имеет тривиальную градуировку).
• Градуированное кольцо — это градуированный модуль над собой. Идеал в градуированном кольце однороден тогда и только тогда, когда он является градуированным подмодулем. Аннулятор градуированного модуля — это однородный идеал.
• Для идеала I в коммутативном кольце R и R -модуля M прямая сумма является градуированным модулем над соответствующим градуированным кольцом .${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

Морфизм градуированных модулей, называемый градуированным морфизмом или градуированным гомоморфизмом , является гомоморфизмом базовых модулей, который уважает градуировку; т. е. ⁠ ⁠ . Градуированный подмодуль — это подмодуль, который является градуированным модулем сам по себе и такой, что теоретико-множественное включение является морфизмом градуированных модулей. Явно, градуированный модуль N является градуированным подмодулем M тогда и только тогда, когда он является подмодулем M и удовлетворяет ⁠ ⁠ . Ядро и образ морфизма градуированных модулей являются градуированными подмодулями.${\displaystyle f:N\to M}$${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$

Замечание: Дать градуированный морфизм из градуированного кольца в другое градуированное кольцо с образом, лежащим в центре, — это то же самое, что дать структуру градуированной алгебры последнему кольцу.

Для градуированного модуля -скручивание является градуированным модулем, определяемым формулой ( ср. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии ).${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$

Пусть M и N — градуированные модули. Если — морфизм модулей, то говорят, что f имеет степень d , если . Внешняя производная дифференциальных форм в дифференциальной геометрии — пример такого морфизма, имеющего степень 1.${\displaystyle f\colon M\to N}$${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$

Для градуированного модуля M над коммутативным градуированным кольцом R можно связать формальный степенной ряд ⁠ ⁠${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$ :

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(предполагая , что конечны.) Он называется рядом Гильберта–Пуанкаре для M.${\displaystyle \ell (M_{n})}$

Говорят, что градуированный модуль конечно порожден, если базовый модуль конечно порожден . Генераторы можно считать однородными (заменив генераторы их однородными частями).

Предположим, что R — кольцо многочленов ⁠ ⁠${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$ , k — поле, а M — конечно порожденный градуированный модуль над ним. Тогда функция называется функцией Гильберта для M . Функция совпадает с целочисленным многочленом для больших n, называемым многочленом Гильберта для M .${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$

Ассоциативная алгебра A над кольцом R является градуированной алгеброй, если она градуирована как кольцо.

В обычном случае, когда кольцо R не градуировано (в частности, если R является полем), ему присваивается тривиальная градуировка (каждый элемент R имеет степень 0). Таким образом, и градуированные части являются R -модулями.${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$${\displaystyle A_{i}}$

В случае, когда кольцо R также является градуированным кольцом, то требуется, чтобы

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

Другими словами, мы требуем, чтобы A был градуированным левым модулем над R.

Примеры градуированных алгебр широко распространены в математике:

• Кольца многочленов . Однородные элементы степени n — это в точности однородные многочлены степени n .
• Тензорная алгебра векторного пространства V. Однородными элементами степени n являются тензоры порядка n , ⁠ ⁠ .${\displaystyle T^{\bullet }V}$ ${\displaystyle T^{n}V}$
• Внешняя алгебра и симметричная алгебра также являются градуированными алгебрами.${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$ ${\displaystyle S^{\bullet }V}$
• Кольцо когомологий в любой теории когомологий также градуировано, являясь прямой суммой групп когомологий ⁠ ⁠ .${\displaystyle H^{\bullet }}$${\displaystyle H^{n}}$

Градуированные алгебры широко используются в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , гомологической алгебре и алгебраической топологии . Одним из примеров является тесная связь между однородными многочленами и проективными многообразиями (ср. Однородное координатное кольцо ).

Приведенные выше определения были обобщены на кольца, градуированные с использованием любого моноида G в качестве множества индексов. G -градуированное кольцо R — это кольцо с разложением в прямую сумму

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

такой что

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Элементы R , лежащие внутри для некоторых , называются однородными степени i .${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle i\in G}$

Определенное ранее понятие "градуированное кольцо" теперь становится тем же самым, что и -градуированное кольцо, где - моноид натуральных чисел по сложению. Определения для градуированных модулей и алгебр также могут быть расширены таким образом, заменив индексирующее множество любым моноидом G .${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Замечания:

• Если не требовать, чтобы кольцо имело единичный элемент, то полугруппы могут заменить моноиды.

Примеры:

• Группа естественным образом градуирует соответствующее групповое кольцо ; аналогично, моноидные кольца градуируются соответствующим моноидом.
• (Ассоциативная) супералгебра — это другой термин для -градуированной алгебры. Примерами являются алгебры Клиффорда . Здесь однородные элементы имеют либо степень 0 (четные), либо 1 (нечетные).${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Некоторые градуированные кольца (или алгебры) наделены антикоммутативной структурой. Это понятие требует гомоморфизма моноида градуировки в аддитивный моноид , поля с двумя элементами. В частности, знаковый моноид состоит из пары , где является моноидом, а является гомоморфизмом аддитивных моноидов. Антикоммутативное -градуированное кольцо - это кольцо A, градуированное относительно , ​​такое, что:${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle (\Gamma ,\varepsilon )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,}$

для всех однородных элементов x и y .

• Внешняя алгебра является примером антикоммутативной алгебры, градуированной относительно структуры, где — фактор-отображение.${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• Суперкоммутативная алгебра (иногда называемая косокоммутативным ассоциативным кольцом ) — это то же самое, что и антикоммутативная -градуированная алгебра, где — тождественное отображение аддитивной структуры ⁠ ⁠ .${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Интуитивно, градуированный моноид — это подмножество градуированного кольца, , порожденное 's, без использования аддитивной части. То есть, множество элементов градуированного моноида равно .${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$

Формально градуированный моноид ^[1] — это моноид с функцией градуировки такой, что . Обратите внимание, что градуировка обязательно равна 0. Некоторые авторы требуют, кроме того, чтобы когда m не является единицей.${\displaystyle (M,\cdot )}$${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$${\displaystyle 1_{M}}$${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$

Предполагая, что градации нетождественных элементов не равны нулю, число элементов градации n не больше, чем где g — мощность порождающего множества G моноида. Следовательно, число элементов градации n или меньше не больше (для ) или иначе. Действительно, каждый такой элемент является произведением не более чем n элементов G , и существуют только такие произведения. Аналогично, единичный элемент не может быть записан как произведение двух нетождественных элементов. То есть в таком градуированном моноиде нет единичного делителя .${\displaystyle g^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle g=1}$${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$

Эти понятия позволяют нам расширить понятие кольца степенных рядов . Вместо индексного семейства, являющегося , индексное семейство может быть любым градуированным моноидом, предполагая, что число элементов степени n конечно, для каждого целого числа n .${\displaystyle \mathbb {N} }$

Более формально, пусть будет произвольным полукольцом и градуированным моноидом. Тогда обозначает полукольцо степенных рядов с коэффициентами в K , индексированное R . Его элементами являются функции из R в K . Сумма двух элементов определяется поточечно, это функция, отправляющая в , а произведение — функция, отправляющая в бесконечную сумму . Эта сумма определена корректно (т.е. конечна), поскольку для каждого m существует только конечное число пар ( p , q ) таких, что pq = m .${\displaystyle (K,+_{K},\times _{K})}$${\displaystyle (R,\cdot ,\phi )}$${\displaystyle K\langle \langle R\rangle \rangle }$${\displaystyle s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle }$${\displaystyle m\in R}$${\displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$${\displaystyle m\in R}$${\displaystyle \sum _{p,q\in R \atop p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)}$

В формальной теории языков , если задан алфавит A , свободный моноид слов над A можно рассматривать как градуированный моноид, где градацией слова является его длина.

• Сопутствующее градуированное кольцо
• Дифференциальная градуированная алгебра
• Фильтрованная алгебра , обобщение
• Оценено (математика)
• Оцениваемая категория
• Градуированное векторное пространство
• Тензорная алгебра
• Дифференцированный оценочный модуль