Троичная система счисления

Троичная / ˈ t ɜːr n ər i / система счисления ( также называемая троичной ^[1] ) имеет в качестве основания три . Аналогично биту троичная цифра — это трит ( tri nary dig it ). Один трит эквивалентен log ₂  3 (около 1,58496) бит информации .

Хотя термин «троичная» чаще всего относится к системе, в которой все три цифры являются неотрицательными числами (в частности, 0 , 1 и 2) , прилагательное также дает свое название сбалансированной троичной системе, включающей цифры −1 , 0 и +1, используемые в сравнительной логике и троичных компьютерах .

Представления целых чисел в троичной системе не становятся неудобно длинными так быстро, как в двоичной . Например, десятичное 365 ₍₁₀₎ или шестеричное 1 405 ₍₆₎ соответствуют двоичному 1 0110 1101 ₍₂₎ (девять бит ) и троичному 111 112 ₍₃₎ (шесть цифр). Однако они все еще гораздо менее компактны, чем соответствующие представления в таких основаниях, как десятичное — см. ниже компактный способ кодирования троичных чисел с использованием девятеричной (основание 9) и семнадцатеричной (основание 27).

Числа от 0 до 3 ³ − 1 в стандартной троичной системе счисления

Тройной	0	1	2	10	11	12	20	21	22
Двоичный	0	1	10	11	100	101	110	111	1 000
Шенерный	0	1	2	3	4	5	10	11	12
Десятичная дробь	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Тройной	100	101	102	110	111	112	120	121	122
Двоичный	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	1 0000	1 0001
Шенерный	13	14	15	20	21	22	23	24	25
Десятичная дробь	9	10	11	12	13	14	15	16	17
Тройной	200	201	202	210	211	212	220	221	222
Двоичный	1 0010	1 0011	1 0100	1 0101	1 0110	1 0111	1 1000	1 1001	1 1010
Шенерный	30	31	32	33	34	35	40	41	42
Десятичная дробь	18	19	20	21	22	23	24	25	26

Степени числа 3 в троичной системе счисления

Тройной	1	10	100	1 000	10 000
Двоичный	1	11	1001	1 1011	101 0001
Шенерный	1	3	13	43	213
Десятичная дробь	1	3	9	27	81
Власть	3 0	3 1	3 2	3 3	3 4
Тройной	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000
Двоичный	1111 0011	10 1101 1001	1000 1000 1011	1 1001 1010 0001	100 1100 1110 0011
Шенерный	1 043	3 213	14 043	50 213	231 043
Десятичная дробь	243	729	2 187	6 561	19 683
Власть	3 5	3 6	3 7	3 8	3 9

Что касается рациональных чисел , троичная система предлагает удобный способ представления ⁠1/3⁠ то же самое, что и шестеричная система (в отличие от ее громоздкого представления в виде бесконечной строки повторяющихся цифр в десятичной системе); но основным недостатком является то, что, в свою очередь, троичная система не предлагает конечного представления для ⁠1/2⁠ (ни для ⁠1/4⁠ , ⁠1/8⁠ и т. д.), поскольку 2 не является простым множителем основания; как и в случае с основанием два, одна десятая (десятичная ⁠1/10⁠ , шестеричный ⁠1/14⁠ ) ​​не может быть представлена ​​точно (для этого потребовалась бы, например, десятичная дробь); также не может быть представлена ​​и одна шестая (шестеричная ⁠1/10⁠ , десятичная ⁠1/6⁠ ).

Дроби в троичной системе

Дробь	⁠1/2⁠	⁠1/3⁠	⁠1/4⁠	⁠1/5⁠	⁠1/6⁠	⁠1/7⁠	⁠1/8⁠	⁠1/9⁠	⁠1/10⁠	⁠1/11⁠	⁠1/12⁠	⁠1/13⁠
Тройной	0. 1	0.1	0. 02	0.0121​	0.0 1	0. 010212	0. 01	0,01	0. 0022	0. 00211	0.0 02	0.002​
Двоичный	0.1	0. 01	0,01	0. 0011	0.0 01	0.001​	0,001	0. 000111	0.0 0011	0. 0001011101	0.00 01	0. 000100111011
Шенерный	0.3	0.2	0,13	0. 1	0.1	0. 05	0,043	0,04	0.0 3	0. 0313452421	0,03	0. 024340531215
Десятичная дробь	0,5	0. 3	0,25	0.2	0,1 6	0. 142857	0,125	0. 1	0.1	0. 09	0,08 3	0.076923​

Значение двоичного числа с n битами, все из которых равны 1, равно 2 ⁿ  − 1 .

Аналогично, для числа N ( b , d ) с основанием b и d цифрами, каждая из которых имеет максимальное цифровое значение b  − 1 , мы можем записать:

N ( b , d ) = ( b  − 1) b ^{d −1} + ( b  − 1) b ^{d −2} + … + ( b  − 1) b ¹ + ( b  − 1) b ⁰ ,

N ( b , d ) = ( b  − 1)( b ^{d −1} + b ^{d −2} + … + b ¹ + 1),

N ( b , d ) = ( b  − 1) M .

bM = b ^d + b ^{d −1} + … + b ² + b ¹ и

− M = − b ^{d −1}  −  b ^{d −2}  − ... − b ¹  − 1 , поэтому

бМ  −  М = бд  − 1 ^, или

М = ⁠б ^д  − 1/б  − 1⁠ .

Затем

N ( б , г ) = ( б  − 1) М ,

N ( б , г ) = ⁠( б  − 1)( б ^д  − 1)/б  − 1⁠ ,

N ( b , d ) = b ^d  − 1.

Для трехзначного троичного числа N (3, 3) = 3 ³  − 1 = 26 = 2 × 3 ² + 2 × 3 ¹ + 2 × 3 ⁰ = 18 + 6 + 2 .

Для компактного представления троичных чисел можно использовать девятеричную (основание 9, каждая цифра представляет собой две троичные цифры) или семнадцатеричную (основание 27, каждая цифра представляет собой три троичные цифры) систему счисления, подобно тому, как восьмеричная и шестнадцатеричная системы используются вместо двоичной .

В определенной аналоговой логике состояние схемы часто выражается троично. Это чаще всего встречается в схемах КМОП , а также в транзисторно-транзисторной логике с выходом тотемного полюса . Говорят, что выход либо низкий ( заземленный ), либо высокий, либо открытый ( высокий- Z ). В этой конфигурации выход схемы фактически вообще не подключен к какому-либо опорному напряжению . Там, где сигнал обычно заземлен на определенную опору или на определенном уровне напряжения, состояние называется высокоимпедансным, поскольку оно открыто и служит своей собственной опорой. Таким образом, фактический уровень напряжения иногда непредсказуем.

Редкая «тернарная точка» в общем использовании используется для оборонительной статистики в американском бейсболе (обычно только для питчеров ), чтобы обозначить дробные части иннинга. Поскольку команде в нападении разрешено три аута , каждый аут считается одной третью оборонительного иннинга и обозначается как .1 . Например, если игрок отыграл все 4-й, 5-й и 6-й иннинги, а также достиг 2 аутов в 7-м иннинге, его колонка отыгранных иннингов для этой игры будет указана как 3.2 , что эквивалентно 3+2 ⁄ 3 (иногда используется как альтернатива некоторыми хранителями записей). При таком использовании только дробная часть числа записывается в троичной форме. ^{[2] [3]}

Троичные числа можно использовать для удобной передачи самоподобных структур, таких как треугольник Серпинского или множество Кантора . Кроме того, оказывается, что троичное представление полезно для определения множества Кантора и связанных с ним множеств точек из-за способа построения множества Кантора. Множество Кантора состоит из точек от 0 до 1, которые имеют троичное выражение, не содержащее ни одного экземпляра цифры 1. ^{[4] [5]} Любое завершающее расширение в троичной системе эквивалентно выражению, которое идентично до члена, предшествующего последнему ненулевому члену, за которым следует член на единицу меньше последнего ненулевого члена первого выражения, за которым следует бесконечный хвост двоек. Например: 0,1020 эквивалентно 0,1012222... потому что расширения одинаковы до «двойки» первого выражения, двойка была уменьшена во втором расширении, а конечные нули были заменены конечными двойками во втором выражении.

Троичная система счисления — это целочисленная система с самой низкой экономичностью , за ней следуют двоичная и четвертичная . Это связано с ее близостью к математической константе e . Благодаря этой эффективности она используется в некоторых вычислительных системах. Она также используется для представления трехвариантных деревьев , таких как системы телефонных меню, которые позволяют получить простой путь к любой ветке.

Форма избыточного двоичного представления , называемая двоичной системой счисления со знаком , иногда используется в низкоуровневом программном обеспечении и оборудовании для выполнения быстрого сложения целых чисел, поскольку она может устранить переносы . ^[6]

Моделирование троичных компьютеров с использованием бинарных компьютеров или взаимодействие между троичными и двоичными компьютерами может включать использование двоично-кодированных троичных чисел (BCT), с двумя или тремя битами, используемыми для кодирования каждого трита. ^{[7] [8]} Кодирование BCT аналогично двоично-кодированному десятичному (BCD) кодированию. Если значения трита 0, 1 и 2 закодированы как 00, 01 и 10, преобразование в любом направлении между двоично-кодированными троичными и двоичными числами может быть выполнено за логарифмическое время . ^[9] Доступна библиотека кода C , поддерживающая арифметику BCT. ^[10]

Некоторые троичные компьютеры, такие как « Сетунь», определяли трит как шесть тритов ^[11] или приблизительно 9,5 бит (что содержит больше информации, чем фактический двоичный байт ). ^[12]

• Кутрит
• Сетунь — троичная вычислительная машина
• Троичная логика
• Тайсюаньцзин

• Хейс, Брайан (ноябрь–декабрь 2001 г.). «Третья база» (PDF) . Американский ученый . 89 (6). Sigma Xi , Научно-исследовательское общество: 490–494. doi :10.1511/2001.40.3268. Архивировано (PDF) из оригинала 2019-10-30 . Получено 2020-04-12 .

• Троичная арифметика Архивировано 2011-05-14 на Wayback Machine
• Троичная счетная машина Томаса Фаулера
• Преобразование троичной системы счисления – включает дробную часть, из Maths Is Fun
• Заменяющая троичная система счисления Гидеона Фридера