Матрица передаточной функции

В теории систем управления и различных отраслях техники матрица передаточной функции или просто передаточная матрица является обобщением передаточных функций систем с одним входом и одним выходом (SISO) на системы с несколькими входами и несколькими выходами (MIMO). ^[1] Матрица связывает выходы системы с ее входами. Это особенно полезная конструкция для линейных систем, инвариантных во времени ( LTI), поскольку ее можно выразить в терминах s-плоскости .

В некоторых системах, особенно состоящих полностью из пассивных компонентов, может быть неоднозначно, какие переменные являются входами, а какие выходами. В электротехнике распространенной схемой является сбор всех переменных напряжения на одной стороне и всех переменных тока на другой, независимо от того, какие из них являются входами или выходами. Это приводит к тому, что все элементы матрицы передачи находятся в единицах импеданса . Концепция импеданса (и, следовательно, матрицы импеданса) была заимствована в другие энергетические области по аналогии, особенно в механику и акустику.

Многие системы управления охватывают несколько различных энергетических доменов. Для этого требуются матрицы передачи с элементами в смешанных единицах. Это необходимо как для описания преобразователей , которые устанавливают связи между доменами, так и для описания системы в целом. Если матрица должна правильно моделировать потоки энергии в системе, необходимо выбрать совместимые переменные, чтобы это обеспечить.

Система MIMO с m выходами и n входами представлена ​​матрицей m × n . Каждая запись в матрице имеет вид передаточной функции, связывающей выход с входом. Например, для системы с тремя входами и двумя выходами можно написать:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}}$

где u _n — входы, y _m — выходы, а g _mn — передаточные функции. Это можно записать более кратко в нотации матричного оператора как,

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {G} \mathbf {U} }$

где Y — вектор-столбец выходных данных, G — матрица передаточных функций, а U — вектор-столбец входных данных.

Во многих случаях рассматриваемая система является линейной стационарной (LTI) системой. В таких случаях удобно выразить матрицу переноса через преобразование Лапласа (в случае непрерывных временных переменных) или z-преобразование (в случае дискретных временных переменных) переменных. Это можно обозначить, записав, например,

${\ displaystyle \ mathbf {Y} (s) = \ mathbf {G} (s) \ mathbf {U} (s)}$

что указывает на то, что переменные и матрица находятся в терминах s , комплексной частотной переменной s-плоскости, возникающей из преобразований Лапласа, а не времени. Все примеры в этой статье предполагаются в этой форме, хотя это явно не указано для краткости. Для систем с дискретным временем s заменяется на z из z-преобразования, но это не имеет значения для последующего анализа. Матрица особенно полезна, когда она является правильной рациональной матрицей , то есть все ее элементы являются правильными рациональными функциями . В этом случае может быть применено представление в пространстве состояний . ^[2]

В системной инженерии общая матрица передачи системы G ( s ) разлагается на две части: H ( s ), представляющая управляемую систему, и C ( s ), представляющая систему управления. C ( s ) принимает в качестве входов входы G ( s ) и выходы H ( s ) . Выходы C ( s ) формируют входы для H ( s ) . ^[3]

В электрических системах часто бывает так, что различие между входными и выходными переменными неоднозначно. Они могут быть любыми, в зависимости от обстоятельств и точки зрения. В таких случаях концепция порта (места, где энергия передается из одной системы в другую) может быть более полезной, чем вход и выход. Обычно для каждого порта (p) определяют две переменные _{: напряжение на нем (Vp) и ток, входящий в него (Ip} ) . Например , матрицу _{передачи} двухпортовой сети можно определить следующим образом :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

где z _mn называются параметрами импеданса , или z -параметрами. Они так называются, потому что они находятся в единицах импеданса и связывают токи портов с напряжением порта. Z-параметры - это не единственный способ определения матриц передачи для двухпортовых сетей. Существует шесть основных матриц, связывающих напряжения и токи, каждая из которых имеет преимущества для конкретных топологий системных сетей. ^[4] Однако только две из них могут быть расширены за пределы двух портов до произвольного числа портов. Этими двумя являются z -параметры и их обратные, параметры проводимости или y -параметры. ^[5]

Чтобы понять связь между напряжениями портов и токами, а также входами и выходами, рассмотрим простую схему делителя напряжения. Если мы хотим рассмотреть только выходное напряжение ( V ₂ ), возникающее в результате приложения входного напряжения ( V ₁ ), то передаточную функцию можно выразить как,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\end{bmatrix}}}$

что можно считать тривиальным случаем матрицы переноса 1×1. Выражение правильно предсказывает выходное напряжение, если нет тока, выходящего из порта 2, но становится все более неточным по мере увеличения нагрузки. Однако, если мы попытаемся использовать схему в обратном порядке, управляя ею с напряжением на порте 2 и вычисляя результирующее напряжение на порте 1, выражение даст совершенно неверный результат даже без нагрузки на порте 1. Оно предсказывает большее напряжение на порте 1, чем было приложено к порту 2, что невозможно с чисто резистивной схемой, такой как эта. Чтобы правильно предсказать поведение схемы, токи, входящие или выходящие из портов, также должны быть приняты во внимание, что и делает матрица переноса. ^[6] Матрица импеданса для схемы делителя напряжения имеет вид:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&R_{2}\\R_{2}&R_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

который полностью описывает его поведение при всех входных и выходных условиях. ^[7]

На микроволновых частотах ни одна из матриц передачи, основанных на напряжениях и токах портов, не удобна для практического использования. Напряжение трудно измерить напрямую, ток почти невозможно, а разомкнутые цепи и короткие замыкания, требуемые техникой измерения, не могут быть достигнуты с какой-либо точностью. Для реализаций волноводов напряжение и ток цепи совершенно бессмысленны. Вместо этого используются матрицы передачи, использующие различные виды переменных. Это мощности , передаваемые в порт и отражаемые от него, которые легко измеряются в технологии линии передачи , используемой в схемах с распределенными элементами в микроволновом диапазоне. Наиболее известными и широко используемыми из этих видов параметров являются параметры рассеяния , или s-параметры. ^[8]

Концепция импеданса может быть расширена в механическую и другие области посредством механико-электрической аналогии , следовательно, параметры импеданса и другие формы параметров двухпортовой сети могут быть расширены также в механическую область. Для этого переменная усилия и переменная потока делаются аналогами напряжения и тока соответственно. Для механических систем при трансляции этими переменными являются сила и скорость соответственно. ^[9]

Выражение поведения механического компонента как двухпортового или многопортового с матрицей передачи является полезным, поскольку, как и электрические цепи, компонент часто может работать в обратном направлении, и его поведение зависит от нагрузок на входах и выходах. Например, зубчатая передача часто характеризуется просто ее передаточным отношением, функцией передачи SISO. Однако выходной вал коробки передач может вращаться, чтобы вращать входной вал, требуя анализа MIMO. В этом примере переменными усилия и потока являются крутящий момент T и угловая скорость ω соответственно. Матрица передачи в терминах z-параметров будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}}$

Однако z-параметры не обязательно являются наиболее удобными для характеристики зубчатых передач. Зубчатая передача является аналогом электрического трансформатора , а h-параметры ( гибридные параметры) лучше описывают трансформаторы, поскольку они напрямую включают в себя передаточные числа (аналог передаточных чисел). ^[10] Матрица передачи коробки передач в формате h-параметров выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}}$

где

h ₂₁ — передаточное отношение зубчатой ​​передачи без нагрузки на выходе,

h ₁₂ — передаточное отношение крутящего момента в обратном направлении зубчатой ​​передачи при зажатом входном валу, равное передаточному отношению прямой скорости для идеальной коробки передач,

h ₁₁ — входное вращательное механическое сопротивление без нагрузки на выходном валу, равное нулю для идеального редуктора, и,

h ₂₂ — выходной вращательный механический допуск при зажатом входном валу.

Для идеальной зубчатой ​​передачи без потерь (трение, искажения и т.д.) это упрощается до:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&N\\N&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}}$

где N — передаточное отношение. ^[11]

В системе, состоящей из нескольких энергетических доменов, требуются матрицы переноса, которые могут обрабатывать компоненты с портами в разных доменах. В робототехнике и мехатронике требуются приводы. Они обычно состоят из преобразователя , преобразующего, например, сигналы от системы управления в электрическом домене в движение в механическом домене. Система управления также требует датчиков , которые обнаруживают движение и преобразуют его обратно в электрический домен через другой преобразователь, чтобы движением можно было должным образом управлять через контур обратной связи. Другие датчики в системе могут быть преобразователями, преобразующими еще другие энергетические домены в электрические сигналы, такие как оптические, аудио, тепловые, поток жидкости и химические. Другое применение — область механических фильтров , для которых требуются преобразователи между электрическими и механическими доменами в обоих направлениях.

Простым примером является электромагнитный электромеханический привод, управляемый электронным контроллером. Для этого требуется преобразователь с входным портом в электрическом домене и выходным портом в механическом домене. Это можно было бы упрощенно представить с помощью функции передачи SISO, но по причинам, аналогичным тем, которые уже были указаны, более точное представление достигается с помощью матрицы передачи MIMO с двумя входами и двумя выходами. В z-параметрах это принимает вид,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I\\v\end{bmatrix}}}$

где F — сила, приложенная к приводу, а v — результирующая скорость привода. Параметры импеданса здесь представляют собой смесь единиц; z ₁₁ — электрический импеданс, z ₂₂ — механический импеданс, а два других — трансимпедансы в гибридной смеси единиц. ^[12]

Акустические системы являются подмножеством динамики жидкости , и в обеих областях основными входными и выходными переменными являются давление , P , и объемный расход , Q , за исключением случая звука, проходящего через твердые компоненты. В последнем случае основные переменные механики, сила и скорость, являются более подходящими. Примером двухпортового акустического компонента является фильтр, такой как глушитель в выхлопной системе . Его представление в виде матрицы переноса может выглядеть следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}P_{2}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\Q_{1}\end{bmatrix}}}$

Здесь T _mn — параметры передачи, также известные как ABCD-параметры . Компонент может быть так же легко описан z-параметрами, но параметры передачи имеют математическое преимущество при работе с системой из двух портов, которые соединены каскадом выхода одного во входной порт другого. В таких случаях общие параметры передачи находятся просто путем матричного умножения матриц параметров передачи составляющих компонентов. ^[13]

При работе со смешанными переменными из разных энергетических доменов необходимо учитывать, какие переменные следует считать аналогичными. Выбор зависит от того, чего предполагается достичь с помощью анализа. Если требуется правильно смоделировать потоки энергии во всей системе, то пара переменных, произведение которых является мощностью (мощностно-сопряженные переменные) в одном энергетическом домене, должна соответствовать мощностно-сопряженным переменным в других доменах. Мощностно-сопряженные переменные не являются уникальными, поэтому необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать одинаковое отображение переменных во всей системе. ^[14]

Общее отображение (используемое в некоторых примерах в этой статье) отображает переменные усилия (те, которые инициируют действие) из каждого домена вместе и отображает переменные потока (те, которые являются свойством действия) из каждого домена вместе. Каждая пара переменных усилия и потока является сопряженной по мощности. Эта система известна как аналогия импеданса , потому что отношение усилия к переменной потока в каждом домене аналогично электрическому импедансу. ^[15]

Существуют две другие системы сопряжения мощности на тех же переменных, которые используются. Аналогия мобильности отображает механическую силу в электрический ток вместо напряжения. Эта аналогия широко используется разработчиками механических фильтров и часто также в аудиоэлектронике. Преимущество отображения заключается в сохранении топологии сети по доменам, но не поддерживает отображение импедансов. Аналогия Трента классифицирует сопряженные мощности переменные как через переменные или через переменные в зависимости от того, действуют ли они через элемент системы или через него. Это в значительной степени заканчивается тем же, что и аналогия мобильности, за исключением случая области потока жидкости (включая область акустики). Здесь давление делается аналогичным напряжению (как в аналогии импеданса) вместо тока (как в аналогии мобильности). Однако сила в механической области аналогична току, потому что сила действует через объект. ^[16]

Существуют некоторые часто используемые аналогии, которые не используют пары сопряженных мощностей. Для датчиков правильное моделирование потоков энергии может быть не так важно. Датчики часто извлекают только крошечные количества энергии в систему. Выбор переменных, которые удобно измерять, особенно тех, которые воспринимает датчик, может быть более полезным. Например, в аналогии с тепловым сопротивлением тепловое сопротивление считается аналогом электрического сопротивления, что приводит к разнице температур и отображению тепловой мощности в напряжение и ток соответственно. Сопряженная мощность разности температур — это не тепловая мощность, а скорее скорость потока энтропии , то, что нельзя измерить напрямую. Другая аналогия того же рода происходит в магнитной области. Она отображает магнитное сопротивление в электрическое сопротивление, что приводит к отображению магнитного потока в ток вместо скорости изменения магнитного потока, как требуется для совместимых переменных. ^[17]

Матричное представление линейных алгебраических уравнений известно уже давно. Пуанкаре в 1907 году был первым, кто описал преобразователь как пару таких уравнений, связывающих электрические переменные (напряжение и ток) с механическими переменными (сила и скорость). Вегель в 1921 году был первым, кто выразил эти уравнения в терминах механического импеданса, а также электрического импеданса. ^[18]

Первое использование матриц передачи для представления системы управления MIMO было сделано Боксенбомом и Худом в 1950 году, но только для частного случая газотурбинных двигателей, которые они изучали для Национального консультативного комитета по аэронавтике . ^[19] Круикшенк предоставил более прочную основу в 1955 году, но без полной общности. Каванаг в 1956 году дал первую полностью общую трактовку, установив матричную связь между системой и управлением и предоставив критерии реализуемости системы управления, которая могла бы обеспечить предписанное поведение системы под управлением. ^[20]

• Метод трансфер-матрицы (оптика)

• Бессай, Хорст, Сигналы и системы MIMO , Springer, 2006 ISBN  038727457X .
• Бакши, А.В.; Бакши, У.А., Теория сетей , Технические публикации, 2008 ISBN 8184314027 . 
• Боксенбом, Аарон С.; Худ, Ричард, «Общий алгебраический метод, применяемый для анализа управления сложными типами двигателей», Отчет NACA 980, 1950.
• Буш-Вишняк, Илен Дж., Электромеханические датчики и приводы , Springer, 1999 ISBN 038798495X . 
• Чэнь, Вай Кай, Справочник по электротехнике , Academic Press, 2004 ISBN 0080477488 . 
• Чома, Джон, Электрические сети: теория и анализ , Wiley, 1985 ISBN 0471085286 . 
• Круикшенк, А. Дж. О., «Матричная формулировка уравнений системы управления», The Matrix and Tensor Quarterly , т. 5, № 3, стр. 76, 1955.
• Айер, TSKV, Теория цепей , Tata McGraw-Hill Education, 1985 ISBN 0074516817 . 
• Каванах, Р. Дж., «Применение матричных методов к многомерным системам управления», Журнал Института Франклина , т. 262, вып. 5, стр. 349–367, ноябрь 1956 г.
• Кениг, Герман Эдвард; Блэквелл, Уильям А., Теория электромеханических систем , McGraw-Hill, 1961 OCLC  564134
• Левин, Уильям С., Справочник по контролю , CRC Press, 1996 ISBN 0849385709 . 
• Нгуен, Кэм, Радиочастотная интегральная микросхемотехника , Wiley, 2015 ISBN 1118936485 . 
• Олсен А., «Характеристика трансформаторов по h-параметрам», Труды IEEE по теории цепей , т. 13, вып. 2, стр. 239–240, июнь 1966 г.
• Пирс, Аллан Д. Акустика: введение в физические принципы и приложения , Акустическое общество Америки, 1989 ISBN 0883186128 . 
• Пуанкаре, Х., «Этюд телефонного приемника», Eclairage Electrique , vol. 50, стр. 221–372, 1907.
• Вегель, Р. Л., «Теория магнитомеханических систем применительно к телефонным приемникам и аналогичным конструкциям», Журнал Американского института инженеров-электриков , т. 40, стр. 791–802, 1921.
• Янг, Вон Й.; Ли, Сын Ч., Системы схем с MATLAB и PSpice , Wiley 2008, ISBN 0470822406 .