Нормальный комплект

В дифференциальной геометрии , области математики , нормальное расслоение — это особый вид векторного расслоения , дополнительного к касательному расслоению и полученного в результате вложения (или погружения ).

Пусть будет римановым многообразием , и римановым подмногообразием . Определим для заданного вектор , который будет нормален к всякий раз, когда для всех (так что ортогонален к ). Множество всех таких тогда называется нормальным пространством к при .${\displaystyle (М,г)}$${\displaystyle S\подмножество M}$${\displaystyle p\in S}$${\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle g(n,v)=0}$${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}$${\displaystyle \mathrm {N} _{p}S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$

Так же, как полное пространство касательного расслоения к многообразию строится из всех касательных пространств к многообразию, полное пространство нормального расслоения ^[1] к определяется как${\displaystyle \mathrm {N} S}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S} \ mathrm {N} _{p}S}$.

Конормальное расслоение определяется как двойственное расслоение к нормальному расслоению. Оно может быть естественным образом реализовано как подрасслоение кокасательного расслоения .

Более абстрактно, учитывая погружение (например, вложение), можно определить нормальное расслоение в , с помощью в каждой точке , взяв факторпространство касательного пространства по касательному пространству по . Для риманова многообразия можно отождествить этот фактор с ортогональным дополнением, но в общем случае это невозможно (такой выбор эквивалентен сечению проекции ) .${\displaystyle i:N\to M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle М}$${\displaystyle N}$${\displaystyle М}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p:V\to V/W}$

Таким образом, нормальное расслоение в общем случае является фактором касательного расслоения объемлющего пространства, ограниченного подпространством .${\displaystyle М}$${\displaystyle N}$

Формально нормальное расслоение ^[2] к в является фактор-расслоением касательного расслоения на : имеется короткая точная последовательность векторных расслоений на :${\displaystyle N}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle 0\to \mathrm {T} N\to \mathrm {T} M\vert _{i(N)}\to \mathrm {T} _{M/N}:=\mathrm {T} M\vert _{i(N)}/\mathrm {T} N\to 0}$

где — ограничение касательного расслоения на на (точнее, обратный прообраз касательного расслоения на на векторное расслоение на посредством отображения ). Слой нормального расслоения в называется нормальным пространством в ( в ).${\displaystyle \mathrm {T} M\vert _{i(N)}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i^{*}\mathrm {T} M}$${\displaystyle М}$${\displaystyle N}$${\displaystyle я}$${\displaystyle \mathrm {T} _{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N}$${\displaystyle p\in N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N}$${\displaystyle М}$

Если является гладким подмногообразием многообразия , мы можем выбрать локальные координаты вокруг так, что локально определяется как ; тогда при таком выборе координат${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{1},\точки,x_{n})}$${\displaystyle p\in Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x_{k+1}=\dots =x_{n}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} _{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\\mathrm {T} _{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\{\mathrm {T} _{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}}$

и идеальный пучок локально порождается . Поэтому мы можем определить невырожденное спаривание${\displaystyle x_{k+1},\точки ,x_{n}}$

${\displaystyle (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})_{p}\times {\mathrm {T} _{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R} }$

что индуцирует изоморфизм пучков . Мы можем перефразировать этот факт, введя конормальное расслоение, определяемое через конормальную точную последовательность${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y} \simeq (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})^{\vee }}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}^{*}}$

${\displaystyle 0\to \mathrm {T} _{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0}$,

тогда , а именно, сечения конормального расслоения являются кокасательными векторами к , исчезающими на . ${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {T} Y}$

Когда — точка, то идеальный пучок — это пучок гладких ростков, исчезающих в точке , и изоморфизм сводится к определению касательного пространства через ростки гладких функций на${\displaystyle Y=\lbrace p\rbrace}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {T} _{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (\mathrm {T} _{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{\ 2}}}}$.

Абстрактные многообразия имеют каноническое касательное расслоение, но не имеют нормального расслоения: только вложение (или погружение) многообразия в другое дает нормальное расслоение. Однако, поскольку каждое многообразие может быть вложено в , по теореме Уитни о вложении , каждое многообразие допускает нормальное расслоение при таком вложении.${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

В общем случае нет естественного выбора вложения, но для заданного многообразия любые два вложения в для достаточно больших являются регулярными гомотопными и, следовательно, индуцируют одно и то же нормальное расслоение. Результирующий класс нормальных расслоений (это класс расслоений, а не конкретное расслоение, поскольку целое число может меняться) называется стабильным нормальным расслоением .${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {N}}$

Нормальное расслоение двойственно касательному расслоению в смысле К-теории : согласно приведенной выше короткой точной последовательности,

${\displaystyle [\mathrm {T} N]+[\mathrm {T} _{M/N}]=[\mathrm {T} M]}$

в группе Гротендика . В случае погружения в касательное расслоение объемлющего пространства тривиально (так как стягиваемо, следовательно, параллелизуемо ), поэтому , и, таким образом , .${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$${\displaystyle [\mathrm {T} N]+[\mathrm {T} _{M/N}]=0}$${\displaystyle [\mathrm {T} _{M/N}]=-[\mathrm {T} N]}$

Это полезно при вычислении характеристических классов и позволяет доказать нижние границы погружаемости и вложимости многообразий в евклидово пространство .

Предположим, что многообразие вложено в симплектическое многообразие , так что обратный образ симплектической формы имеет постоянный ранг на . Тогда можно определить симплектическое нормальное расслоение как векторное расслоение над со слоями${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle (\mathrm {T} _{i(x)}X)^{\omega }/(\mathrm {T} _{i(x)}X\cap (\mathrm {T} _{i(x)}X)^{\omega }),\quad x\in X,}$

где обозначает вложение и является симплектическим ортогоналом в . Обратите внимание, что условие постоянного ранга гарантирует, что эти нормальные пространства подходят друг другу, образуя расслоение. Более того, любое волокно наследует структуру симплектического векторного пространства. ^[3]${\displaystyle i:X\rightarrow M}$${\displaystyle (\mathrm {T} X)^{\omega }}$${\displaystyle \mathrm {T} X}$${\displaystyle \mathrm {T} M}$

По теореме Дарбу вложение постоянного ранга локально определяется . Изоморфизм${\displaystyle i^{*}(\mathrm {T} M)}$

${\displaystyle i^{*}(\mathrm {T} M)\cong \mathrm {T} X/\nu \oplus (\mathrm {T} X)^{\omega }/\nu \oplus (\nu \oplus \nu ^{*})}$

(где и является двойственным по ,) симплектических векторных расслоений над подразумевает, что симплектическое нормальное расслоение уже определяет вложение постоянного ранга локально. Эта особенность аналогична риманову случаю.${\displaystyle \nu =\mathrm {T} X\cap (\mathrm {T} X)^{\omega }}$${\displaystyle \nu ^{*}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle X}$