Децимация блоков с течением времени

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Time-evolving block decimation" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Алгоритм децимации блоков во времени ( TEBD ) — это численная схема, используемая для моделирования одномерных квантовых систем многих тел, характеризующихся взаимодействием не более чем ближайших соседей. Он называется децимацией блоков во времени, поскольку динамически идентифицирует соответствующие низкоразмерные гильбертовы подпространства экспоненциально большего исходного гильбертова пространства . Алгоритм, основанный на формализме состояний матричного произведения, является высокоэффективным, когда количество запутанности в системе ограничено, что является требованием, которое выполняется большим классом квантовых систем многих тел в одном измерении.

Децимация блоков во времени (TEBD) — это численный алгоритм, который может эффективно моделировать временную эволюцию одномерных квантовых систем с ограниченной энтропией запутанности. Наивно, чтобы во времени эволюционировать систему, характеризующуюся гамильтонианом, можно было бы напрямую возвести гамильтониан в степень, чтобы получить оператор временной эволюции , и применить его к начальному состоянию: Однако по мере роста числа степеней свободы системы быстро становится вычислительно невыполнимым выполнение связанного возведения матрицы в степень и умножения матрицы на вектор. Например, если представляет собой систему кубитов, то гильбертово пространство, в котором находится, имеет размерность , что означает, что матричные операции фактически неразрешимы для всех значений, кроме наименьших . TEBD представляет собой эффективную схему для выполнения временной эволюции, ограничиваясь гораздо меньшим подпространством конфигурационного пространства. Есть несколько других заслуживающих внимания примеров способов обойти это экспоненциальное масштабирование, включая квантовый Монте-Карло и группу перенормировки матрицы плотности .${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$$${\displaystyle \psi (t)={\hat {U}}(t)\psi (t=0)}$$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$

Гифре Видал предложил схему, когда работал в Институте квантовой информации Калтеха . ^[1] Он утверждает, что «любое квантовое вычисление с чистыми состояниями может быть эффективно смоделировано с помощью классического компьютера при условии, что величина вовлеченной запутанности достаточно ограничена» . Это происходит для широкого набора гамильтонианов, характеризующихся локальными взаимодействиями, например, гамильтонианов типа Хаббарда . Метод демонстрирует полиномиальное поведение низкой степени при увеличении времени вычислений по отношению к величине запутанности, присутствующей в системе. Алгоритм основан на схеме, которая использует тот факт, что в этих одномерных системах собственные значения приведенной матрицы плотности на двудольном разбиении системы экспоненциально затухают, что позволяет работать в пространстве измененного размера, охватываемом собственными векторами, соответствующими выбранным собственным значениям .

Численный метод эффективен при моделировании динамики в реальном времени или расчетах основных состояний с использованием эволюции во мнимом времени или изэнтропических интерполяций между целевым гамильтонианом и гамильтонианом с уже известным основным состоянием. Вычислительное время масштабируется линейно с размером системы, поэтому можно исследовать многочастичные системы в 1D.

Полезной особенностью алгоритма TEBD является то, что его можно надежно использовать для моделирования временной эволюции зависящих от времени гамильтонианов, описывая системы, которые могут быть реализованы с холодными атомами в оптических решетках или в системах, далеких от равновесия в квантовом транспорте. С этой точки зрения TEBD имел определенное превосходство над DMRG, очень мощной техникой, но до недавнего времени не очень подходящей для моделирования временной эволюции. Поскольку формализм состояний матричного продукта был математическим ядром DMRG, схема TEBD была принята сообществом DMRG, тем самым дав рождение зависящему от времени DMRG [2] ^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]} , сокращенно t-DMRG.

Другие группы разработали схожие подходы, в которых квантовая информация играет доминирующую роль: например, в реализациях DMRG для периодических граничных условий [3] и для изучения динамики смешанных состояний в одномерных квантовых решетчатых системах. ^{[2] [3]} Эти последние подходы фактически обеспечивают формализм, который является более общим, чем исходный подход TEBD, поскольку он также позволяет иметь дело с эволюциями с операторами матричного произведения; это позволяет моделировать нетривиальные небесконечно малые эволюции в отличие от случая TEBD и является важнейшим компонентом для работы с многомерными аналогами состояний матричного произведения.

Рассмотрим цепочку из N кубитов , описываемую функцией . Наиболее естественным способом описания было бы использование локального -мерного базиса : где M - локальное измерение.${\displaystyle |\Psi \rangle \in H^{{\otimes }N}}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle M^{N}}$${\displaystyle |i_{1},i_{2},..,i_{N-1},i_{N}\rangle }$$${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum \limits _{i=1}^{M}c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}|{i_{1},i_{2},..,i_{N-1},i_{N}}\rangle }$$

Хитрость TEBD заключается в переписывании коэффициентов :${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}}$$${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}=\sum \limits _{\alpha _{1},..,\alpha _{N-1}=0}^{\chi }\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{\alpha _{2}}^{[2]}\Gamma _{\alpha _{2}\alpha _{3}}^{[3]i_{3}}\lambda _{\alpha _{3}}^{[3]}\cdot ..\cdot \Gamma _{\alpha _{N-2}\alpha _{N-1}}^{[{N-1}]i_{N-1}}\lambda _{\alpha _{N-1}}^{[N-1]}\Gamma _{\alpha _{N-1}}^{[N]i_{N}}}$$

Эта форма, известная как состояние произведения матрицы , значительно упрощает вычисления.

Чтобы понять, почему, можно рассмотреть разложение состояния по Шмидту , которое использует сингулярное разложение для более простого выражения состояния с ограниченной запутанностью.

Рассмотрим состояние двудольной системы . Каждое такое состояние может быть представлено в соответствующим образом выбранном базисе как: где образованы векторами, которые образуют ортонормированный базис в и, соответственно, векторами , которые образуют ортонормированный базис в , с действительными и положительными коэффициентами , . Это называется разложением Шмидта (РШ) состояния. В общем случае суммирование идет до . Ранг Шмидта двудольного разбиения задается числом ненулевых коэффициентов Шмидта. Если ранг Шмидта равен единице, разбиение характеризуется состоянием-произведением. Векторы РШ определены с точностью до фазы, а собственные значения и ранг Шмидта уникальны.${\displaystyle \vert \Psi \rangle \in {H_{A}\otimes H_{B}}}$${\displaystyle |{\Psi }\rangle }$$${\displaystyle \left\vert \Psi \right\rangle =\sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}\left\vert {\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\right\rangle }$$${\displaystyle |{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle }$${\displaystyle |{\Phi _{i}^{A}}\rangle }$${\displaystyle H_{A}}$${\displaystyle |{\Phi _{i}^{B}}\rangle }$${\displaystyle {H_{B}}}$${\displaystyle a_{i}}$${\textstyle \sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}^{2}=1}$${\displaystyle M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))}$

Например, двухкубитное состояние: имеет следующее SD: с$${\displaystyle |{\Psi }\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(|{00}\rangle +{\sqrt {3}}|{01}\rangle +{\sqrt {3}}|{10}\rangle +|{11}\rangle \right)}$$$${\displaystyle \left|{\Psi }\right\rangle ={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}\left|{\phi _{1}^{A}\phi _{1}^{B}}\right\rangle +{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\left|{\phi _{2}^{A}\phi _{2}^{B}}\right\rangle }$$$${\displaystyle |{\phi _{1}^{A}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{0_{A}}\rangle +|{1_{A}}\rangle ),\ \ |{\phi _{1}^{B}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{0_{B}}\rangle +|{1_{B}}\rangle ),\ \ |{\phi _{2}^{A}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{0_{A}}\rangle -|{1_{A}}\rangle ),\ \ |{\phi _{2}^{B}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{1_{B}}\rangle -|{0_{B}}\rangle )}$$

С другой стороны, состояние: является продуктом состояния:$${\displaystyle |{\Phi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|{00}\rangle +{\frac {1}{\sqrt {6}}}|{01}\rangle -{\frac {i}{\sqrt {3}}}|{10}\rangle -{\frac {i}{\sqrt {6}}}|{11}\rangle }$$$${\displaystyle \left|\Phi \right\rangle =\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\left|0_{A}\right\rangle -{\frac {i}{\sqrt {3}}}\left|1_{A}\right\rangle \right)\otimes \left(\left|0_{B}\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|1_{B}\right\rangle \right)}$$

На этом этапе мы знаем достаточно, чтобы попытаться увидеть, как мы явно строим разложение (назовем его D ).

Рассмотрим двудольное расщепление . SD имеет коэффициенты и собственные векторы . Разлагая 's ​​в локальном базисе, можно записать:${\displaystyle [1]:[2..N]}$${\displaystyle \lambda _{{\alpha }_{1}}^{[1]}}$${\displaystyle \left|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\right\rangle \left|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\right\rangle }$${\displaystyle \left|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\right\rangle }$

$${\displaystyle |{\Psi }\rangle =\sum \limits _{i_{1},{\alpha _{1}=1}}^{M,\chi }\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}|{i_{1}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle }$$

Процесс можно разложить на три шага, повторяемых для каждой связи (и, соответственно, SD) в цепочке: Шаг 1 : выразить ' в локальном базисе для кубита 2:${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle }$$${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle =\sum _{i_{2}}|{i_{2}}\rangle |{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle }$$

Векторы не обязательно нормализованы .${\displaystyle |{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle }$

Шаг 2 : запишите каждый векторчерез максимум ( выделено Видалем)векторы Шмидтаи, соответственно, коэффициенты:${\displaystyle |{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle }$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle }$${\displaystyle \lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}}$$${\displaystyle |\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}\rangle =\sum _{\alpha _{2}}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}|{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle }$$

Шаг 3 : делаем замены и получаем:$${\displaystyle |{\Psi }\rangle =\sum _{i_{1},i_{2},\alpha _{1},\alpha _{2}}\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}|{i_{1}i_{2}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle }$$

Повторяя шаги 1–3, можно построить полное разложение состояния D . Последние являются частным случаем, как и первые, выражающим правые векторы Шмидта на связи через локальный базис на месте решетки. Как показано в ^[1] , легко получить разложение Шмидта на связи, т. е . , из D .${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle (N-1)^{th}}$${\displaystyle N^{th}}$${\displaystyle k^{th}}$${\displaystyle [1..k]:[k+1..N]}$

Собственные значения Шмидта явно заданы в D :

$${\displaystyle |{\Psi }\rangle =\sum _{\alpha _{k}}\lambda _{{\alpha }_{k}}^{[k]}|{\Phi _{\alpha _{k}}^{[1..k]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{k}}^{[k+1..N]}}\rangle }$$

Собственные векторы Шмидта просто:

$${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{k}}^{[1..k]}}\rangle =\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2}..\alpha _{k-1}}\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\cdot \cdot \Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{[k]i_{k}}|{i_{1}i_{2}..i_{k}}\rangle }$$и

$${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{k}}^{[k+1..N]}}\rangle =\sum _{\alpha _{k+1},\alpha _{k+2}..\alpha _{N}}\Gamma _{\alpha _{k}\alpha _{k+1}}^{[k+1]i_{k+1}}\lambda _{\alpha _{k+1}}^{[k+1]}\cdot \cdot \lambda _{\alpha _{N-1}}^{N-1}\Gamma _{\alpha _{N-1}}^{[N]i_{N}}|{i_{k+1}i_{k+2}..i_{N}}\rangle }$$

Теперь, глядя на D , вместо начальных членов, есть . По-видимому, это просто причудливый способ переписать коэффициенты , но на самом деле это больше, чем это. Предполагая, что N четно, ранг Шмидта для двудольного разреза в середине цепи может иметь максимальное значение ; в этом случае мы получаем по крайней мере коэффициенты, учитывая только единицы, немного больше, чем начальные ! Правда в том, что разложение D полезно при работе с системами, которые демонстрируют низкую степень запутанности, что, к счастью, имеет место во многих одномерных системах, где коэффициенты Шмидта основного состояния убывают экспоненциально с :${\displaystyle M^{N}}$${\displaystyle {\chi }^{2}{\cdot }M(N-2)+2{\chi }M+(N-1)\chi }$${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle M^{N/2}}$${\displaystyle M^{N+1}{\cdot }(N-2)}$${\displaystyle {\chi }^{2}}$${\displaystyle M^{N}}$${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}{\sim }e^{-K\alpha _{l}},\ K>0.}$$

Поэтому можно учесть только некоторые коэффициенты Шмидта (а именно самые большие), отбросив остальные и, следовательно, снова нормализуя состояние:

$${\displaystyle |{\Psi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\sum \limits _{{\alpha _{l}}=1}^{{\chi }_{c}}{|\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|}^{2}}}}\cdot \sum \limits _{{{\alpha }_{l}}=1}^{{\chi }_{c}}\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|{\Phi _{\alpha _{l}}^{[1..l]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{l}}^{[l+1..N]}}\rangle ,}$$

где — количество сохраненных коэффициентов Шмидта.${\displaystyle \chi _{c}}$

Давайте отвлечемся от этой абстрактной картины и освежим себя конкретным примером, чтобы подчеркнуть преимущество такого разложения. Рассмотрим, например, случай 50 фермионов в ферромагнитной цепочке, для простоты. Размерность 12, скажем, для была бы разумным выбором, сохраняя отброшенные собственные значения в % от общего числа, как показывают численные исследования ^[4] , что означает примерно коэффициенты по сравнению с первоначальными .${\displaystyle \chi _{c}}$${\displaystyle 0.0001}$${\displaystyle 2^{14}}$${\displaystyle 2^{50}}$

Даже если собственные значения Шмидта не имеют этого экспоненциального распада, но показывают алгебраическое уменьшение, мы все равно можем использовать D для описания нашего состояния . Количество коэффициентов для учета точного описания может быть разумно больше, но все еще в пределах досягаемости окончательного численного моделирования.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$

Теперь можно перейти к исследованию поведения разложения D при воздействии на него однокубитных вентилей (OQG) и двухкубитных вентилей (TQG), действующих на соседние кубиты. Вместо обновления всех коэффициентов мы ограничимся рядом операций, которые увеличиваются как полином низкой степени, тем самым экономя вычислительное время .${\displaystyle M^{N}}$${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}}$${\displaystyle \chi }$

OQG влияют только на кубит, на который они воздействуют, обновление состояния после унитарного оператора в кубите k не изменяет собственные значения Шмидта или векторы слева, следовательно, 's, или справа, следовательно, 's. Единственными 's, которые будут обновлены, являются 's (требуется только в большинстве операций), как${\displaystyle |{\psi }\rangle }$${\displaystyle \Gamma ^{[k-1]}}$${\displaystyle \Gamma ^{[k+1]}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma ^{[k]}}$${\displaystyle {O}(M^{2}\cdot \chi ^{2})}$

$${\displaystyle \Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{'[k]i_{k}}=\sum _{j}U_{j_{k}}^{i_{k}}\Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{[k]j_{k}}.}$$

Изменения, необходимые для обновления ' и ' после унитарной операции V над кубитами k , k +1, касаются только , и . Они состоят из ряда базовых операций.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Gamma ^{[k]}}$${\displaystyle \Gamma ^{[k+1]}}$${\displaystyle {O}({M\cdot \chi }^{3})}$

Следуя оригинальному подходу Видаля, можно рассматривать как принадлежащую только к четырем подсистемам:${\displaystyle |{\psi }\rangle }$

$${\displaystyle {{H}=J{\otimes }H_{C}{\otimes }H_{D}{\otimes }K}.\,}$$

Подпространство J охватывается собственными векторами приведенной матрицы плотности :${\displaystyle \rho ^{J}=Tr_{CDK}|\psi \rangle \langle \psi |}$

$${\displaystyle \rho ^{[1..{k-1}]}=\sum _{\alpha }{(\lambda _{\alpha }^{[k-1]})}^{2}|{\Phi _{\alpha }^{[1..{k-1}]}}\rangle \langle {\Phi _{\alpha }^{[1..{k-1}]}}|=\sum _{\alpha }{(\lambda _{\alpha }^{[k-1]})^{2}}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|.}$$

Аналогичным образом подпространство K охватывается собственными векторами приведенной матрицы плотности:

$${\displaystyle \rho ^{[{k+2}..{N}]}=\sum _{\gamma }{(\lambda _{\gamma }^{[k+1]})^{2}}|{\Phi _{\gamma }^{[{k+2}..N]}}\rangle \langle {\Phi _{\gamma }^{[{k+2}..N]}}|=\sum _{\gamma }{(\lambda _{\gamma }^{[k+1]})^{2}}|{\gamma }\rangle \langle {\gamma }|.}$$

Подпространства и принадлежат кубитам k и k + 1. Используя этот базис и разложение D , можно записать как:${\displaystyle H_{C}}$${\displaystyle H_{D}}$${\displaystyle |{\psi }\rangle }$

$${\displaystyle |{\psi }\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\beta ,\gamma =1}^{\chi }\sum \limits _{i,j=1}^{M}\lambda _{\alpha }^{[C-1]}\Gamma _{\alpha \beta }^{[C]i}\lambda _{\beta }^{[C]}\Gamma _{\beta \gamma }^{[D]j}\lambda _{\gamma }^{[D]}|{{\alpha }ij{\gamma }}\rangle }$$

Используя те же рассуждения, что и для OQG, применяя TQG V к кубитам k , k + 1, нужно только обновить , и${\displaystyle \Gamma ^{[C]}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Gamma ^{[D]}.}$

Мы можем записать так: где${\displaystyle |{\psi '}\rangle =V|{\psi }\rangle }$$${\displaystyle |{\psi '}\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\gamma =1}^{\chi }\sum \limits _{i,j=1}^{M}\lambda _{\alpha }\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}\lambda _{\gamma }|{{\alpha }ij\gamma }\rangle }$$$${\displaystyle \Theta _{\alpha \gamma }^{ij}=\sum \limits _{\beta =1}^{\chi }\sum \limits _{m,n=1}^{M}V_{mn}^{ij}\Gamma _{\alpha \beta }^{[C]m}\lambda _{\beta }\Gamma _{\beta \gamma }^{[D]n}.}$$

Чтобы найти новое разложение, необходимо вычислить новые 's на связи k и соответствующие им собственные векторы Шмидта и выразить их через 's разложения D. Таким образом, приведенная матрица плотности диагонализируется :${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\Gamma }}$${\displaystyle \rho ^{'[DK]}}$$${\displaystyle \rho ^{'[DK]}=Tr_{JC}|{\psi '}\rangle \langle {\psi '}|=\sum _{j,j',\gamma ,\gamma '}\rho _{\gamma \gamma '}^{jj'}|{j\gamma }\rangle \langle {j'\gamma '}|.}$$

Квадратные корни ее собственных значений являются новыми '. Выражая собственные векторы диагонализованной матрицы в базисе: ' также получаются:${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \{|{j\gamma }\rangle \}}$${\displaystyle \Gamma ^{[{D]}}}$$${\displaystyle |{\Phi ^{'[{DK}]}}\rangle =\sum _{j,\gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{'[{D}]j}\lambda _{\gamma }|{j\gamma }\rangle .}$$

Из левых собственных векторов, после выражения их в базисе , получаются:$${\displaystyle \lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{JC}]}}\rangle =\langle {\Phi _{\beta }^{'[{DK}]}}|{\psi '}\rangle =\sum _{i,j,\alpha ,\gamma }(\Gamma _{\beta \gamma }^{'[{D}]j})^{*}\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}(\lambda _{\gamma })^{2}\lambda _{\alpha }|{{\alpha }i}\rangle }$$${\displaystyle \{|{i\alpha }\rangle \}}$${\displaystyle \Gamma ^{[{C}]}}$$${\displaystyle |{\Phi ^{'[{JC}]}}\rangle =\sum _{i,\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{'[{C}]i}\lambda _{\alpha }|{{\alpha }i}\rangle .}$$

Размерность наибольших тензоров в D имеет порядок ; при построении производится суммирование по , и для каждого , что в сумме дает общее количество операций. То же самое справедливо для формирования элементов , или для вычисления левых собственных векторов , максимум , соответственно базовых операций. В случае кубитов , поэтому его роль не очень существенна для порядка величины числа базовых операций, но в случае, когда размерность на месте больше двух, он имеет довольно решающий вклад.${\displaystyle {O}(M{\cdot }{\chi }^{2})}$${\displaystyle \Theta _{\alpha \gamma }^{ij}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\it {m}}}$${\displaystyle {\it {n}}}$${\displaystyle \gamma ,\alpha ,{\it {i,j}}}$${\displaystyle {O}(M^{4}{\cdot }{\chi }^{3})}$${\displaystyle \rho _{\gamma \gamma '}^{jj'}}$${\displaystyle \lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{\it {JC}}]}}\rangle }$${\displaystyle {\it {O}}(M^{3}{\cdot }{\chi }^{3})}$${\displaystyle {\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})}$${\displaystyle M=2}$

Численное моделирование нацелено на гамильтонианы (возможно, зависящие от времени) системы частиц, расположенных в линию, которые состоят из произвольных OQG и TQG:${\displaystyle N}$

$${\displaystyle H_{N}=\sum \limits _{l=1}^{N}K_{1}^{[l]}+\sum \limits _{l=1}^{N}K_{2}^{[l,l+1]}.}$$

Полезно разложить в сумму двух, возможно, некоммутирующих членов, , где${\displaystyle H_{N}}$${\displaystyle H_{N}=F+G}$

$${\displaystyle F\equiv \sum _{{\text{even }}l}(K_{1}^{l}+K_{2}^{l,l+1})=\sum _{{\text{even }}l}F^{[l]},}$$$${\displaystyle G\equiv \sum _{{\text{odd }}l}(K_{1}^{l}+K_{2}^{l,l+1})=\sum _{{\text{odd }}l}G^{[l]}.}$$

Любые двухчастичные члены коммутируют: , Это делается для того, чтобы получить разложение Сузуки–Троттера (ST) ^[5] экспоненциального оператора, названного в честь Масуо Судзуки и Хейла Троттера .${\displaystyle [F^{[l]},F^{[l']}]=0}$${\displaystyle [G^{[l]},G^{[l']}]=0}$

Разложение Сузуки–Троттера первого порядка (ST1) представляет собой общий способ записи экспоненциальных операторов: или, что эквивалентно$${\displaystyle e^{A+B}=\lim _{n\to \infty }\left(e^{\frac {A}{n}}e^{\frac {B}{n}}\right)^{n}}$$$${\displaystyle e^{{\delta }(A+B)}=e^{{\delta }A}e^{{\delta }B}+{\it {O}}(\delta ^{2}).}$$

Поправочный член исчезает в пределе${\displaystyle \delta \to 0}$

Для моделирования квантовой динамики полезно использовать операторы, которые являются унитарными , сохраняющими норму (в отличие от разложений в степенные ряды), и вот тут-то и вступает в дело разложение Троттера-Сузуки. В задачах квантовой динамики унитарность операторов в разложении ST оказывается весьма практичной, поскольку ошибка имеет тенденцию концентрироваться в общей фазе , что позволяет нам точно вычислять ожидаемые значения и сохраняющиеся величины. Поскольку ST сохраняет объем фазового пространства, его также называют симплектическим интегратором.

Хитрость ST2 заключается в том, чтобы записать унитарные операторы как: где . Число называется числом Троттера.${\displaystyle e^{-iHt}}$$${\displaystyle e^{-iH_{N}T}=[e^{-iH_{N}\delta }]^{T/{\delta }}=[e^{{\frac {\delta }{2}}F}e^{{\delta }G}e^{{\frac {\delta }{2}}F}]^{n}}$$${\displaystyle n={\frac {T}{\delta }}}$${\displaystyle n}$

Операторы легко выразить следующим образом :${\displaystyle e^{{\frac {\delta }{2}}F}}$${\displaystyle e^{{\delta }G}}$

$${\displaystyle e^{{\frac {\delta }{2}}F}=\prod _{{\text{even }}l}e^{{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}}$$$${\displaystyle e^{{\delta }G}=\prod _{{\text{odd }}l}e^{{\delta }G^{[l]}}}$$

поскольку любые два оператора , (соответственно, , ) коммутируют для и разложение ST первого порядка сохраняет только произведение экспонент, приближение становится, в этом случае, точным.${\displaystyle F^{[l]}}$${\displaystyle F^{[l']}}$${\displaystyle G^{[l]}}$${\displaystyle G^{[l']}}$${\displaystyle l{\neq }l'}$

Эволюция во времени может быть сделана согласно

$${\displaystyle |{{\tilde {\psi }}_{t+\delta }}\rangle =e^{-i{\frac {\delta }{2}}F}e^{{-i\delta }G}e^{{\frac {-i\delta }{2}}F}|{{\tilde {\psi }}_{t}}\rangle .}$$

Для каждого «временного шага» они последовательно применяются ко всем нечетным участкам, затем к четным и снова к нечетным; по сути, это последовательность TQG, и выше было объяснено, как обновить разложение при их применении.${\displaystyle \delta }$${\displaystyle e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}}$${\displaystyle e^{{-i\delta }G^{[l]}}}$${\displaystyle e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}}$${\displaystyle {\it {D}}}$

Наша цель — осуществить временную эволюцию состояния за время T, по направлению к состоянию, используя n-частичный гамильтониан .${\displaystyle |{\psi _{0}}\rangle }$${\displaystyle |{\psi _{T}}\rangle }$${\displaystyle H_{n}}$

Довольно хлопотно, если вообще возможно, построить разложение для произвольного n-частичного состояния, поскольку это означало бы, что нужно вычислить разложение Шмидта для каждой связи, расположить собственные значения Шмидта в порядке убывания и выбрать первые и соответствующие собственные векторы Шмидта. Имейте в виду, что это означало бы диагонализацию несколько щедрых матриц приведенной плотности, что, в зависимости от системы, которую нужно смоделировать, может оказаться задачей, выходящей за рамки наших возможностей и терпения. Вместо этого можно попробовать сделать следующее:${\displaystyle {\it {D}}}$${\displaystyle \chi _{c}}$

Ошибки в моделировании являются результатом приближения Сузуки–Троттера и связанного с этим усечения гильбертова пространства.

В случае приближения Троттера порядка ошибка имеет порядок . С учетом шагов ошибка после времени T составит:${\displaystyle {\it {p^{th}}}}$${\displaystyle {\delta }^{p+1}}$${\displaystyle n={\frac {T}{\delta }}}$$${\displaystyle \epsilon ={\frac {T}{\delta }}\delta ^{p+1}=T\delta ^{p}}$$

Неаппроксимированное состояние :${\displaystyle |{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle }$

$${\displaystyle |{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle ={\sqrt {1-{\epsilon }^{2}}}|{\psi _{Tr}}\rangle +{\epsilon }|{\psi _{Tr}^{\bot }}\rangle }$$

где — состояние, сохраняющееся после расширения Троттера, и учитывает часть, которая игнорируется при выполнении расширения.${\displaystyle |{\psi _{Tr}}\rangle }$${\displaystyle |{\psi _{Tr}^{\bot }}\rangle }$

Общая ошибка масштабируется со временем следующим образом:${\displaystyle T}$$${\displaystyle \epsilon (T)=1-|\langle {\tilde {\psi _{Tr}}}|{\psi _{Tr}}\rangle |^{2}=1-1+\epsilon ^{2}=\epsilon ^{2}}$$

Ошибка Троттера не зависит от размерности цепи.

Рассматривая ошибки, возникающие из-за усечения гильбертова пространства, содержащегося в разложении D , можно сказать, что они двояки.

Во-первых, как мы видели выше, наименьшие вклады в спектр Шмидта опускаются, состояние верно представлено с точностью до: где — сумма всех отброшенных собственных значений приведенной матрицы плотности на связи . Состояние на данной связи описывается разложением Шмидта: где — состояние, сохраняющееся после усечения, а — состояние, образованное собственными функциями, соответствующими наименьшим, несущественным коэффициентам Шмидта, которые игнорируются. Теперь, поскольку они охватываются векторами, соответствующими ортогональным пространствам. Используя тот же аргумент, что и для разложения Троттера, ошибка после усечения равна:$${\displaystyle \epsilon ({\it {D}})=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-\epsilon _{n})}$$${\displaystyle \epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}}$${\displaystyle {\it {n}}}$${\displaystyle |{\psi }\rangle }$${\displaystyle {\it {n}}}$$${\displaystyle |{\psi }\rangle ={\sqrt {1-\epsilon _{n}}}|{\psi _{D}}\rangle +{\sqrt {\epsilon _{n}}}|{\psi _{D}^{\bot }}\rangle }$$$${\displaystyle |{\psi _{D}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {1-\epsilon _{n}}}}\sum \limits _{{{\alpha }_{n}}=1}^{{\chi }_{c}}\lambda _{{\alpha }_{n}}^{[n]}|{\Phi _{\alpha _{n}}^{[1..n]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{n}}^{[n+1..N]}}\rangle }$$$${\displaystyle |{\psi _{D}^{\bot }}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{n}}}}\sum \limits _{{{\alpha }_{n}}={\chi }_{c}}^{\chi }\lambda _{{\alpha }_{n}}^{[n]}|{\Phi _{\alpha _{n}}^{[1..n]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{n}}^{[n+1..N]}}\rangle }$$${\displaystyle \langle \psi _{D}^{\bot }|\psi _{D}\rangle =0}$$${\displaystyle \epsilon _{n}=1-|\langle {\psi }|\psi _{D}\rangle |^{2}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}}$$

После перехода к следующей связи состояние аналогично: Ошибка после второго усечения: и так далее, по мере перехода от связи к связи.$${\displaystyle |{\psi _{D}}\rangle ={\sqrt {1-\epsilon _{n+1}}}|{{{\psi }'}_{D}}\rangle +{\sqrt {\epsilon _{n+1}}}|{{\psi '}_{D}^{\bot }}\rangle }$$$${\displaystyle \epsilon =1-|\langle {\psi }|\psi '_{D}\rangle |^{2}=1-(1-\epsilon _{n+1})|\langle {\psi }|\psi _{D}\rangle |^{2}=1-(1-\epsilon _{n+1})(1-\epsilon _{n})}$$

Второй источник ошибок, заложенный в разложении, более тонкий и требует небольших вычислений.${\displaystyle D}$

Как мы рассчитали ранее, константа нормализации после усечения по связи равна:${\displaystyle l}$ ${\displaystyle ([1..l]:[l+1..N])}$$${\displaystyle R={\sum \limits _{{\alpha _{l}}=1}^{{\chi }_{c}}{|\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|}^{2}}={1-\epsilon _{l}}}$$

Теперь перейдем к связи и вычислим норму правых векторов Шмидта ; с учетом полной размерности Шмидта норма равна:${\displaystyle {\it {l}}-1}$${\displaystyle \|{\Phi _{\alpha _{l-1}}^{[l-1..N]}}\|}$$${\displaystyle n_{1}=1=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}+\sum \limits _{\alpha _{l}=\chi _{c}}^{\chi }(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}=S_{1}+S_{2},}$$

где .${\displaystyle (c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}=\sum \limits _{i_{l}=1}^{d}(\Gamma _{\alpha _{l-1}\alpha _{l}}^{[l]i_{l}})^{*}\Gamma _{\alpha _{l-1}\alpha _{l}}^{[l]i_{l}}}$

С учетом усеченного пространства норма составляет:$${\displaystyle n_{2}=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}\cdot ({\lambda '}_{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}{\frac {(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}}{R}}={\frac {S_{1}}{R}}}$$

Взяв разницу , получаем:${\displaystyle \epsilon =n_{2}-n_{1}=n_{2}-1}$$${\displaystyle \epsilon ={\frac {S_{1}}{R}}-1\leq {\frac {1-R}{R}}={\frac {\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}{\to }0\ \ as\ \ {\epsilon _{l}{\to }{0}}}$$

Следовательно, при построении приведенной матрицы плотности след матрицы умножается на коэффициент:$${\displaystyle |\langle {\psi _{D}}|\psi _{D}\rangle |^{2}=1-{\frac {\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}={\frac {1-2\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}}$$

Общая ошибка усечения, учитывающая оба источника, ограничена сверху:$${\displaystyle \epsilon ({D})=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-\epsilon _{n})\prod \limits _{n=1}^{N-1}{\frac {1-2\epsilon _{n}}{1-\epsilon _{n}}}=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-2\epsilon _{n})}$$

При использовании расширения Троттера мы перемещаемся не от связи к связи, а между связями одинаковой четности; более того, для ST2 мы делаем развертку четных и две для нечетных. Но тем не менее, расчет, представленный выше, все еще остается в силе. Ошибка оценивается путем последовательного умножения на константу нормализации, каждый раз, когда мы строим приведенную матрицу плотности и выбираем ее соответствующие собственные значения.

Одна вещь, которая может сэкономить много вычислительного времени без потери точности, — это использовать другую размерность Шмидта для каждой связи вместо фиксированной для всех связей, сохраняя только необходимое количество соответствующих коэффициентов, как обычно. Например, если взять первую связь, в случае кубитов размерность Шмидта равна всего двум. Следовательно, на первой связи, вместо бесполезной диагонализации, скажем, матриц 10 на 10 или 20 на 20, мы можем просто ограничиться обычными матрицами 2 на 2, тем самым сделав алгоритм в целом быстрее. Вместо этого мы можем установить порог для собственных значений SD, сохраняя только те, которые выше порога.

TEBD также предлагает возможность прямой параллелизации благодаря факторизации оператора экспоненциальной эволюции во времени с использованием расширения Сузуки–Троттера. Параллельная TEBD имеет ту же математику, что и ее непараллельный аналог, единственное отличие заключается в численной реализации.