Трёхчленное рекуррентное соотношение

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) В статье содержится список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( октябрь 2024 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) В этой статье не представлен достаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом .Пожалуйста, помогите улучшить статью, предоставив читателю больше контекста . ( октябрь 2024 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В математике , и особенно в численном анализе , однородное линейное трехчленное рекуррентное соотношение ( TTRR , квалификаторы «однородное линейное» обычно принимаются как должное) ^[1] — это рекуррентное соотношение вида

${\displaystyle y_ {n+1} = a_ {n} y_ {n} + b_ {n} y_ {n-1}}$для${\displaystyle n=1,2,...,}$

где последовательности и вместе с начальными значениями управляют эволюцией последовательности .${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{b_{n}\}}$${\displaystyle y_{0},y_{1}}$${\displaystyle \{y_{n}\}}$

Если и являются постоянными и не зависят от индекса шага n , то TTRR является линейной рекуррентностью с постоянными коэффициентами порядка 2. Вероятно, самым простым и наиболее ярким примером для этого случая является последовательность Фибоначчи , которая имеет постоянные коэффициенты .${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{b_{n}\}}$${\displaystyle a_{n}=b_{n}=1}$

Ортогональные многочлены P _n все имеют TTRR относительно степени n ,

${\ displaystyle P_ {n} (x) = (A_ {n} x + B_ {n}) P_ {n-1} (x) + C_ {n} P_ {n-2} (x)}$

где A _n не равно 0. Наоборот, теорема Фавара утверждает, что последовательность полиномов, удовлетворяющая TTRR, является последовательностью ортогональных полиномов.

Также многие другие специальные функции имеют TTRR. Например, решение для

${\displaystyle J_{n+1}={\frac {2n}{z}}J_{n}-J_{n-1}}$

задается функцией Бесселя . TTRR являются важным инструментом для численного вычисления специальных функций.${\displaystyle J_{n}=J_{n}(z)}$

TTRR тесно связаны с непрерывными дробями .

Решения TTRR, как и решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения , образуют двумерное векторное пространство: любое решение может быть записано как линейная комбинация любых двух линейно независимых решений. Уникальное решение определяется через начальные значения . ^[2]${\displaystyle y_{0},y_{1}}$

• Алгоритм повторения Миллера

• Вальтер Гаучи . Вычислительные аспекты трехчленных рекуррентных соотношений. SIAM Review, 9:24–80 (1967).
• Вальтер Гаучи. Минимальные решения трехчленного рекуррентного соотношения и ортогональные многочлены. Математика вычислений, 36:547–554 (1981).
• Ампаро Хиль, Хавьер Сегура и Нико М. Темме. Численные методы для специальных функций. Сиам (2007)
• Дж. Вимп, Вычисления с рекуррентными соотношениями, Лондон: Pitman (1984)