Теорема Фавара

В математике теорема Фавара , также называемая теоремой Шохата–Фавара , утверждает, что последовательность многочленов, удовлетворяющая подходящему трехчленному рекуррентному соотношению, является последовательностью ортогональных многочленов . Теорема была введена в теорию ортогональных многочленов Фаваром  (1935) и Шохатом (1938), хотя по сути та же самая теорема использовалась Стилтьесом в теории цепных дробей за много лет до статьи Фавара и была переоткрыта несколько раз другими авторами до работы Фавара.

Предположим, что y ₀  = 1, y ₁ , ... — последовательность многочленов, где y _n имеет степень n . Если это последовательность ортогональных многочленов для некоторой положительной весовой функции, то она удовлетворяет 3-членному рекуррентному соотношению. Теорема Фавара является примерно обратной к этой и утверждает, что если эти многочлены удовлетворяют 3-членному рекуррентному соотношению вида

${\displaystyle y_ {n+1} = (x-c_ {n}) y_ {n}-d_ {n} y_ {n-1}}$

для некоторых чисел c _n и d _n , то многочлены y _n образуют ортогональную последовательность для некоторого линейного функционала Λ с Λ(1)=1; другими словами, Λ( y _m y _n ) = 0, если m  ≠  n .

Линейный функционал Λ является единственным и определяется соотношением Λ(1) = 1, Λ( y _n ) = 0, если n  > 0.

Функционал Λ удовлетворяет Λ( y²
_н) = d _n Λ( y²
_{н –1}), что означает, что Λ положительно определена тогда (и только тогда), когда числа c _n являются действительными, а числа d _n положительны.

• оператор Якоби
• Джеймс Александр Шохат
• Жан Фавар

• Чихара, Теодор Сейо (1978), Введение в ортогональные многочлены, Математика и ее приложения, т. 13, Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers, ISBN 978-0-677-04150-6, МР  0481884Перепечатано Dover 2011, ISBN 978-0-486-47929-3 
• Фавар, Ж. (1935), "Sur les полиномы Чебичева", CR Acad. наук. Париж (на французском языке), 200 : 2052–2053, JFM  61.0288.01.
• Рахман, К.И.; Шмайссер, Г. (2002), Аналитическая теория многочленов , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, т. 26, Оксфорд: Oxford University Press , стр. 15–16, ISBN 0-19-853493-0, ЗБЛ  1072.30006
• Субботин, Ю. Н. (2001) [1994], "Теорема Фавара", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Шохат, Дж. (1938), "Sur les многочлены, ортогональные обобщения", CR Acad. наук. Париж (на французском языке), 207 : 556–558, Zbl  0019.40503.