пространство Тома

В математике пространство Тома, комплекс Тома или конструкция Понтрягина–Тома (названная в честь Рене Тома и Льва Понтрягина ) алгебраической топологии и дифференциальной топологии — это топологическое пространство , связанное с векторным расслоением над любым паракомпактным пространством.

Один из способов построения этого пространства следующий. Пусть

${\displaystyle p\двоеточие E\до B}$

быть действительным векторным расслоением ранга n над паракомпактным пространством B . Тогда для каждой точки b в B волокно является действительным векторным пространством n -мерного типа . Мы можем образовать расслоение n - сфер , взяв одноточечную компактификацию каждого волокна и склеив их вместе, чтобы получить общее пространство. [ ^{необходимо дальнейшее объяснение ]} Наконец, из общего пространства мы получаем пространство Тома как фактор по B ; то есть, отождествляя все новые точки с одной точкой , которую мы берем в качестве базовой точки . Если B компактно, то является одноточечной компактификацией E . ${\displaystyle E_{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\to B}$${\displaystyle \operatorname {Сф} (E)}$ ${\displaystyle Т(Е)}$${\displaystyle \operatorname {Сф} (E)}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle Т(Е)}$${\displaystyle Т(Е)}$

Например, если E — тривиальное расслоение , то есть и , записывая для B с непересекающейся базовой точкой, есть дробное произведение и ; то есть n -я редуцированная подвеска .${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {Сф} (E)}$${\displaystyle B\times S^{n}}$${\displaystyle B_{+}}$${\displaystyle Т(Е)}$${\displaystyle B_{+}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle B_{+}}$

В качестве альтернативы ^{[ требуется ссылка ]} поскольку B является паракомпактным, E можно задать евклидову метрику, а затем определить как частное расслоения единичного диска E по расслоению единичной сферы E.${\displaystyle Т(Е)}$${\displaystyle (n-1)}$

Значимость этой конструкции начинается со следующего результата, который относится к предмету когомологий расслоений . (Мы сформулировали результат в терминах коэффициентов , чтобы избежать осложнений, возникающих из-за ориентируемости ; см . также Ориентация векторного расслоения#Пространство Тома .)${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Пусть — вещественное векторное расслоение ранга n . Тогда существует изоморфизм, называемый изоморфизмом Тома${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle \Phi :H^{k}(B;\mathbb {Z} _{2})\to {\widetilde {H}}^{k+n}(T(E);\mathbb {Z} _{2}),}$

для всех k, больших или равных 0, где правая часть — редуцированные когомологии .

Эту теорему сформулировал и доказал Рене Том в своей знаменитой диссертации 1952 года.

Мы можем интерпретировать теорему как глобальное обобщение изоморфизма надстроек на локальные тривиализации, поскольку пространство Тома тривиального расслоения на B ранга k изоморфно k -й надстройке B с добавленной непересекающейся точкой (ср. #Построение пространства Тома . ) Это легче увидеть в формулировке теоремы, которая не ссылается на пространство Тома:${\displaystyle B_{+}}$

В сжатых терминах последняя часть теоремы гласит, что u свободно порождает как правый -модуль. Класс u обычно называется классом Тома E . Поскольку пулбэк является кольцевым изоморфизмом , задается уравнением:${\displaystyle H^{*}(E,E\setminus B;\Lambda)}$${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$${\displaystyle p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (b)=p^{*}(b)\smile u.}$

В частности, изоморфизм Тома переводит единичный элемент в u . Примечание: чтобы эта формула имела смысл, u рассматривается как элемент (мы опускаем кольцо )${\displaystyle H^{*}(B)}$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\tilde {H}}^{n}(T(E))=H^{n}(\operatorname {Sph} (E),B)\simeq H^{n}(E,E\setminus B).}$^[1]

Стандартным источником информации об изоморфизме Тома является книга Ботта и Ту.

В своей статье 1952 года Том показал, что класс Тома, классы Штифеля–Уитни и операции Стинрода связаны. Он использовал эти идеи, чтобы доказать в статье 1954 года Quelques propriétés globales des variétés Differentiables , что группы кобордизмов могут быть вычислены как гомотопические группы некоторых пространств Тома MG ( n ). Доказательство зависит от свойств трансверсальности гладких многообразий и тесно связано с ними — см. теорему трансверсальности Тома . Обратив эту конструкцию, Джон Милнор и Сергей Новиков (среди многих других) смогли ответить на вопросы о существовании и единственности многообразий высокой размерности: теперь это известно как теория хирургии . Кроме того, пространства MG(n) объединяются, образуя спектры MG, теперь известные как спектры Тома , и группы кобордизмов на самом деле стабильны . Таким образом, конструкция Тома также объединяет дифференциальную топологию и теорию стабильной гомотопии и, в частности, является неотъемлемой частью наших знаний о стабильных гомотопических группах сфер .

Если операции Стинрода доступны, мы можем использовать их и изоморфизм теоремы для построения классов Штифеля–Уитни. Напомним, что операции Стинрода (mod 2) являются естественными преобразованиями

${\displaystyle Sq^{i}:H^{m}(-;\mathbb {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbb {Z} _{2}),}$

Определено для всех неотрицательных целых чисел m . Если , то совпадает с квадратом чашки. Мы можем определить i- й класс Штифеля–Уитни векторного расслоения следующим образом:${\displaystyle i=m}$${\displaystyle Sq^{i}}$${\displaystyle w_{i}(p)}$${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(u)).}$

Если мы возьмем расслоение в вышеприведенном случае как касательное расслоение гладкого многообразия, то вывод из вышеприведенного называется формулой Ву и имеет следующее сильное следствие: поскольку операции Стинрода инвариантны относительно гомотопической эквивалентности, мы заключаем, что классы Штифеля–Уитни многообразия также инвариантны. Это необычный результат, который не обобщается на другие характеристические классы. Существует похожий известный и сложный результат, устанавливающий топологическую инвариантность для рациональных классов Понтрягина , принадлежащий Сергею Новикову .

Существует два способа рассматривать бордизм: один из них предполагает, что два -многообразия кобордантны, если существует -многообразие с границей, такое что${\displaystyle n}$${\displaystyle M,M'}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \partial W=M\coprod M'}$

Другой метод кодирования такого рода информации заключается в том, чтобы взять вложение и рассмотреть нормальный пакет.${\displaystyle M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}}$

${\displaystyle \nu :N_{\mathbb {R} ^{N+n}/M}\to M}$

Вложенное многообразие вместе с классом изоморфизма нормального расслоения фактически кодирует ту же информацию, что и класс кобордизма . Это можно показать ^[2], используя кобордизм и найдя вложение в некоторое , которое дает гомотопический класс отображений в пространство Тома, определенное ниже. Демонстрация изоморфизма${\displaystyle [M]}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N_{W}+n}\times [0,1]}$${\displaystyle MO(n)}$

${\displaystyle \pi _{n}MO\cong \Omega _{n}^{O}}$

требуется немного больше работы. ^[3]

По определению спектр Тома ^[4] представляет собой последовательность пространств Тома

${\displaystyle MO(n)=T(\gamma ^{n})}$

где мы записали для универсального векторного расслоения ранга n . Последовательность образует спектр . ^[5] Теорема Тома утверждает, что есть неориентированное кольцо кобордизмов ; ^[6] доказательство этой теоремы в решающей степени опирается на теорему Тома о трансверсальности . ^[7] Отсутствие трансверсальности не позволяет вычислять кольца кобордизмов, скажем, топологических многообразий из спектров Тома.${\displaystyle \gamma ^{n}\to BO(n)}$${\displaystyle \pi _{*}(MO)}$

• Кобордизм
• Операция когомологии
• проблема Стинрода
• Теорема Хаттори–Стонга

• Салливан, Деннис (2004). «Работа Рене Тома по геометрической гомологии и бордизмам». Бюллетень Американского математического общества . 41 (3): 341–350. doi : 10.1090/S0273-0979-04-01026-2 .
• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-90613-4.Классический справочник по дифференциальной топологии , рассматривающий связь с двойственностью Пуанкаре , классом Эйлера сферических расслоений , классами Тома и изоморфизмом Тома и многим другим.
• Милнор, Джон . Характерные классы .— еще один стандартный справочник по классу Тома и изоморфизму Тома. Особенно см. параграф 18.
• Мэй, Дж. Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии . Издательство Чикагского университета . С. 183–198. ISBN 0-226-51182-0.В этом учебнике дается подробное построение класса Тома для тривиальных векторных расслоений, а также формулируется теорема в случае произвольных векторных расслоений.
• Стонг, Роберт Э. (1968). Заметки о теории кобордизма . Princeton University Press .
• Том, Рене (1954). « Какие глобальные свойства дифференцируемых разновидностей ». Комментарии по математике Helvetici . 28 : 17–86. дои : 10.1007/BF02566923. S2CID  120243638.
• Андо, Мэтью; Блумберг, Эндрю Дж.; Гепнер, Дэвид Дж.; Хопкинс, Майкл Дж .; Резк, Чарльз (2014). «Единицы кольцевых спектров и спектры Тома». Журнал топологии . 7 (4): 1077–1117. arXiv : 0810.4535 . doi :10.1112/jtopol/jtu009. MR  0286898. S2CID  119613530.

• http://ncatlab.org/nlab/show/Thom+spectrum
• «Пространство Тома», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]