Обсуждение:Бесконечномерная мера Лебега

Эта статья имеет рейтинг Start-class по шкале оценки контента Википедии . Она представляет интерес для следующих WikiProjects :

Математика Средний приоритет Эта статья находится в рамках WikiProject Mathematics , совместных усилий по улучшению освещения математики в Википедии. Если вы хотите принять участие, посетите страницу проекта, где вы можете присоединиться к обсуждению и увидеть список открытых задач.Математика Википедия:WikiProject Mathematics Шаблон:WikiProject Mathematics математика Середина Данная статья имеет средний уровень приоритетности по шкале приоритетов проекта .

Какие именно источники нужны? Приведены доказательства утверждения. 84.108.112.10 12:53, 3 февраля 2007 (UTC) [ ответить ]

Очевидно, что теорема здесь верна, как показывает доказательство. Указание ссылки хотя бы на один учебник, где эта теорема была опубликована, было бы помощью читателю, который хочет увидеть теорему в контексте. Ссылка также продемонстрировала бы более явно, что это не оригинальное исследование . CMummert · talk 13:51, 3 февраля 2007 (UTC) [ ответить ]

Извините, может ли кто-нибудь объяснить мне это доказательство? Почему мы устанавливаем c := B_r0/30(y)? Каково значение 30? Откуда мы знаем, что B_r0/30(ei/2) содержится в B_r0(0) для всех i? Я даже не понимаю, почему ei/2 содержится в B_r0(0) для всех i. Разве это не зависит от того, насколько велико r0? Откуда мы знаем, что шары попарно не пересекаются — опять же, будет ли это зависеть от того, насколько велико r0? Должно ли доказательство заканчиваться тем, что mu, не равное 0, подразумевает mu(B_r0(0)) = бесконечность, но mu(B_r0(0)) < бесконечность из-за локальной конечности, противоречие? Я действительно пытаюсь следовать этому доказательству, потому что нахожу результат интересным, но обнаруживаю, что упираюсь в стену. Спасибо за любые разъяснения! Kier07 06:09, 18 марта 2007 (UTC) [ ответить ]

Хотелось бы, чтобы больше читателей высказывались, когда доказательства слишком запутанны для понимания. Доказательство, которое сейчас на странице, довольно краткое. Была опечатка, которую я исправлю; похоже, ei/2 должно быть ei (r_0/2). Тогда ясно, что B_{r_0/30}(ei(r_0/2)) содержится в B_r0(0). Число 30 выбрано не однозначно; оно просто должно быть достаточно малым, чтобы вычисления прошли. Я посмотрю, как переписать доказательство. CMummert · talk 13:23, 18 марта 2007 (UTC) [ ответить ]

Вы правы насчет опечатки. Это был простой вопрос отсутствия r ₀ . 1/30 — неоптимальный выбор константы. Я частично переписал доказательство, добавив некоторые пояснения и перефразировав противоречие в конце. Может быть, мы сможем отшлифовать это вместе? Sullivan.tj 13:41, 18 марта 2007 (UTC) [ ответить ]

У меня в песочнице есть полностью переписанный текст, который, как мне кажется, лучше организован, чем доказательство, которое сейчас здесь. Что вы об этом думаете? CMummert · talk 13:48, 18 марта 2007 (UTC) [ ответить ]

Мне нравится. Я сделал несколько изменений (надеюсь, вы не против). Жду ваших правок, тогда мы сможем опубликовать обновленную версию. Sullivan.tj 14:12, 18 марта 2007 (UTC) [ ответить ]

Да, пожалуйста, не стесняйтесь редактировать его. Я хочу взглянуть на него свежим взглядом через несколько часов, прежде чем выкладывать его в сеть. CMummert · talk 14:27, 18 марта 2007 (UTC) [ ответить ]

Может ли кто-нибудь, кто знаком с квантовой физикой, добавить параграф, объясняющий, как это связано с трудностью формализации некоторых интегралов в квантовой механике как интегралов Лебега? Я думаю, что это основное реальное следствие представленной здесь теоремы. CMummert · talk 13:59, 18 марта 2007 (UTC) [ ответить ]

Мы могли бы это сделать. Вы имеете в виду тот факт, что наивный способ записи интеграла по траектории как бесконечного итерированного интеграла Лебега не является строгим? В некотором смысле, это то, что мера Винера на пространстве траектории пытается преодолеть. Sullivan.tj 14:14, 18 марта 2007 (UTC) [ ответить ]

Это звучит правильно. Я почти совсем не информирован о квантовой физике, поэтому я говорю здесь только о том, что я слышал на выступлениях. Вот почему я должен попросить кого-то другого написать об этом. CMummert · talk 14:26, 18 марта 2007 (UTC) [ ответить ]

Верна ли эта теорема и для банаховых пространств? Если да, то следует ли нам об этом упомянуть? Temur 20:59, 3 августа 2007 (UTC) [ ответить ]

Хороший вопрос. «Обычная» строго положительная, локально конечная мера на сепарабельном банаховом пространстве E — это абстрактная мера Винера, которая является только квазиинвариантной относительно сдвига (по теореме Камерона-Мартина ), поэтому можно было бы предположить, что теорема верна для банаховых пространств. Рассматривая доказательство, приведенное в статье, и похожее, которое есть у меня в моих заметках по курсу бакалавриата, кажется, что первый шаг (показывающий, что μ ( E ) > 0) выполняется для любого банахова пространства E . В случае, когда E сепарабельно, мы также свободны выбирать счетный базис для E , но не имеем понятия об ортонормальности, поэтому не имеем теоремы Пифагора. Следовательно, доказательство для банаховых пространств потребует некоторых дополнительных уловок, даже если оно верно. Sullivan.tj 22:36, 4 августа 2007 (UTC) [ ответить ]

Я нашел следующее в теореме Камерона-Мартина : "Если E - сепарабельное банахово пространство, а μ - локально конечная борелевская мера на E, эквивалентная своему собственному движку вперед при любом сдвиге, то либо E имеет конечную размерность, либо μ - тривиальная (нулевая) мера". Означает ли этот результат, что теорема верна для банаховых пространств? Temur 19:37, 6 августа 2007 (UTC) [ ответить ]

Неважно. Я не заметил, что вы уже включили случай банахова пространства. Temur 19:39, 6 августа 2007 (UTC) [ ответить ]

Теорема, которую вы упомянули, в некотором смысле «даже хуже», чем та, что в этой статье, поскольку она говорит нам, что не только поиск «приличных» трансляционно-инвариантных мер на бесконечномерных банаховых пространствах безнадежен, но и поиск трансляционно-квадиинвариантных мер тоже безнадежен! Sullivan.tj 09:51, 7 августа 2007 (UTC) [ ответить ]

Я думаю, что доказательство в статье работает и для несепарабельного случая, поскольку оно явно не указывает, как выбирать эти маленькие шарики. Кстати, разве перенос меры Винера не является квазиинвариантным? Temur 16:52, 8 августа 2007 (UTC) [ ответить ]

Новое доказательство (добавленное мной примерно два дня назад) обрабатывает неразделимый случай, показывая, что некоторые открытые множества будут иметь нулевую меру, даже если мера на самом деле не является тривиальной. Таким образом, в неразделимом случае вы теряете строгую положительность; в разделимом случае вы теряете все! Что касается квазиинвариантности меры Винера на абстрактном пространстве Винера , формула Кэмерона-Мартина дает только квазиинвариантность для переноса по так называемым "направлениям Кэмерона-Мартина", т. е. элементам i ( H ), собственному подмножеству E (см. статью AWS для обозначения). Это ограничение имеет смысл, потому что если бы мера Винера была квазиинвариантной относительно всех переносов бесконечномерного пространства E , она должна была бы быть тривиальной мерой. Подводя итог, можно сказать, что абстрактная мера Винера является строго положительной, локально конечной, гауссовской борелевской мерой, которая квазиинвариантна только относительно переносов по направлениям Кэмерона-Мартина. Sullivan.tj 18:16, 8 августа 2007 (UTC) [ ответить ]

Утверждение «аналога меры Лебега на банаховых пространствах не существует» абсолютно ложно, есть простые контрпримеры, такие как мера Хаара на бесконечном произведении группы окружностей, упомянутая *двумя абзацами ниже*. Правильное утверждение заключается в том, что на сепарабельном банаховом пространстве не существует конечной сигма-меры или нетривиальной меры. Эти утверждения верны. Мера Лебега на бесконечном произведении — совершенно нормальная конструкция. — Предыдущий комментарий без знака добавлен 31.168.158.220 ( обсуждение ) 15:35, 9 января 2023 (UTC) [ ответить ]

Утверждение «Нет аналога меры Лебега в банаховых пространствах» не фальсифицируемо; это зависит от того, что вы хотите получить от «аналога». Некоторые могут захотеть трансляционно-инвариантную, сигма-конечную меру, которая дает ненулевую меру открытым шарам. Этого, как вы признаете, не существует, и поэтому в этом смысле нет аналога. Я думаю, что фольклорное утверждение полезно для людей, пытающихся это изучить (меня), поскольку оно быстро сообщает, что нельзя перенести интуицию меры Лебега на большие пространства. Более того, из того, что я могу понять, остаются важные проблемы для применения застенчивых множеств в бесконечномерном банаховом пространстве: для *каждой* вероятностной меры существует застенчивое множество, которое получает полную вероятность (см. аннотацию Stinchcombe, Proc. of AMS 2001, 451-457. Я еще не изучал статью подробно). Таким образом, по крайней мере, если говорить о вероятности, то, похоже, застенчивость не обладает той (прикладной) силой, которую имеет «ноль Лебега» в конечных измерениях, что добавляет достоверности фольклору. 2A02:AB88:5987:A700:B4F3:8B4B:EE22:B38B (обс.) 10:00, 27 марта 2023 (UTC) [ ответить ]

Я читаю комментарий OP так, что они согласны с вами относительно значения слова «аналоговый». Кажется, они спорят об отсутствии «отделяемого» в списке условий. Danielittlewood ( talk ) 18:32, 30 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Существование меры $\lambda$, которую можно рассматривать как бесконечный аналог меры Лебега на бесконечномерном топологическом векторном пространстве $R^{\infty}$, было доказано в [1]. Некоторые обобщения меры Бейкера $\lambda$ были построены в [2]. Пусть $B$ — произвольное бесконечномерное сепарабельное банахово пространство $B$ с абсолютно сходящимся базисом Шаудера ( Заметим здесь, что существование базиса Шаудера в $B$ влечет существование абсолютно сходящегося базиса Шаудера ). Естественное вложение $B$ в $R^{\infty}$ позволяет нам построить меру $\mu$, которую теперь можно рассматривать как бесконечный аналог меры Лебега на $B$. Представляет определенный интерес то, что $\mu$ не является $\sigma$-конечным, но если множество $X \subset B$ имеет $\mu$ -меру ноль, то $X$ является застенчивым в смысле [3]. Такие меры называются генераторами застенчивых множеств (ср. [4]).

Понятие генераторов робких множеств в польских топологических векторных пространствах впервые было введено в [4] и были рассмотрены их различные интересные приложения. В частности, здесь было показано, что этот класс содержит определенные меры, которые естественным образом порождают ранее неявно введенные классы нулевых множеств (ср. [4]). Например, здесь были построены: 1) генератор Манкевича, который порождает в точности класс всех множеств "кубического нуля"; 2) генераторы Прейсса -Тайзера, которые порождают в точности класс всех множеств "Прейсса -Тайзера нулевого" и т. д. Более того, такие меры (в отличие от $\sigma$-конечных борелевских мер) обладают многими интересными, иногда неожиданными, геометрическими свойствами

Мотивация . Можно показать, что мера Лебега $λ^n$ на евклидовом пространстве $R^n$ обладает следующими свойствами:

а) для каждой точки $x$ в $R^n$ существует параллелепипед $P_x$ с центром в точке $x$ такой, что $0< λ^n(P_x) < +\infty$;

б) каждое непустое открытое подмножество $U \subseteq R^n$ имеет положительную меру, т. е. $λ^n(U) > 0$;

в) если $A$ — измеримое по Лебегу подмножество $R^n$ и для $h \in R^n$ оператор сдвига $T_h : R^n → R^n$ определяется соотношением $T_h(x) = x + h (x \in R^n)$ , то $(λ^n)(T_h(A)) = λ^n(A)$.

г) любое множество $λ^n$-меры нуль является застенчивым в смысле [2].

Геометрически говоря, эти свойства делают меру Лебега очень удобной для работы. Если мы рассмотрим произвольное бесконечномерное сепарабельное банахово пространство, то такая мера Бореля всегда существует (см., например, [5]).

19:42, 13 мая 2012 г. 78.139.167.160

Ссылки [1] Бейкер, Ричард Л. «Мера Лебега на $R^[\infty}$». II. Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004), № 9, 2577—2591.

[2] Г.Панцулая, Об обычных и стандартных произведениях бесконечного семейства $\sigma$-конечных мер и некоторых их приложениях, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.) 27 (2011), № 3, 477--496.

[3] Хант, Брайан Р. и Зауэр, Тим и Йорк, Джеймс А. (1992). «Распространенность: инвариантный к трансляции «почти каждый» в бесконечномерных пространствах». Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 27 (2): 217–238. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00328-2. (См. раздел 1: Введение)

[4] Г. Панцулая, О генераторах застенчивых множеств на польских топологических векторных пространствах, New York J. Math., 14 (2008), 235 – 261.

[5] Гилл, Теппер; Киртадзе, Алекс; Панцулая, Гоги; Пличко, Анатолий. Существование и единственность трансляционно-инвариантных мер в сепарабельных банаховых пространствах. Функц. прибл. комментарий. Матем. 50 (2014), № 2, 401--419.

Но мера, построенная Бейкером ([1]), не является σ-конечной, следовательно, она не является 100% аналогом меры Лебега. — Tensorproduct ( обсуждение ) 20:52, 15 марта 2024 (UTC) [ ответ ]

Это во многом соответствует той же мысли, что и заголовок выше "Статья противоречит сама себе". Суть математики - ее точная и строгая логическая структура. Утверждать, что что-то является "фольклором" или что это "ложно" без должного учета логических условий, необходимых для того, чтобы сделать утверждение истинным, совершенно неточно. Действительно, нет контрпримера тройным условиям инвариантности к трансляции, отделимости и сигма-конечности.

Вследствие этого необходимо переписать введение так, чтобы оно правильно и справедливо излагало теорему no-go. Но также оно должно излагать бесчисленные обобщения, которые могут обойтись без одного или нескольких тройных условий (но не всех трех). В настоящее время введение слишком хаотично и не читается в тоне, подходящем для энциклопедии.

Это призыв редактора переработать введение так, чтобы оно использовало классическую теорему точным образом как отправную точку для обсуждения множества интересных обобщений, представленных в этой статье, и тем самым оправдывая название статьи. Статья может затем служить местом, где читатели могут найти множество различных понятий обобщения меры Лебега на бесконечномерных пространствах без ненужного пренебрежения классическими результатами, которые, очевидно, верны. MMmpds ( talk ) 19:33, 8 августа 2023 (UTC) [ ответить ]

Я добавил утверждение реальной теоремы, которая заключается в том, что на «нелокально компактной польской группе» аналога меры Лебега не существует. Надеюсь, это наконец решит все.-- Tensorproduct ( talk ) 20:54, 15 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Привет, Tensorproduct. Мне было сложно разобрать утверждение твоей теоремы в контексте статьи. Это может быть очевидным для экспертов, но мне не ясно, как теорема о нелокально-компактных польских группах связана с теоремой для сепарабельных банаховых пространств, которая доказана в статье. Является ли каждое сепарабельное банахово пространство нелокально-компактной польской группой? Является ли это строгим обобщением или просто другим способом сформулировать то же самое? Есть ли другие интересные примеры, которые отличаются от банаховых пространств со сложением в качестве групповой операции? Danielittlewood ( talk ) 18:07, 30 марта 2024 (UTC) [ ответить ]

Я перефразировал введение. Интересно, оно больше соответствует тому, что вы имеете в виду? Надеюсь, я не допустил никаких ошибок. Мне не показалось, что версия введения имела какие-либо технические ошибки, но я согласен с вашими комментариями по тону. Danielittlewood ( talk ) 15:56, 30 марта 2024 (UTC) [ ответить ]