Теорема о трех геодезических

В дифференциальной геометрии теорема о трех геодезических , также известная как теорема Люстерника–Шнирельмана , утверждает, что каждое риманово многообразие с топологией сферы имеет по крайней мере три простые замкнутые геодезические (т. е. три вложенные геодезические окружности). ^[1] Результат также может быть распространен на квазигеодезические на выпуклом многограннике и на замкнутые геодезические обратимых финслеровых 2-сфер. Теорема точна: хотя каждая риманова 2-сфера содержит бесконечно много различных замкнутых геодезических, только три из них гарантированно не имеют самопересечений. Например, по результату Морса , если длины трех главных осей эллипсоида различны, но достаточно близки друг к другу, то эллипсоид имеет только три простые замкнутые геодезические. ^[2]

Геодезическая на римановой поверхности — это кривая, которая локально прямая в каждой своей точке. На евклидовой плоскости геодезические — это прямые , а на сфере — это большие окружности . Кратчайший путь на поверхности между двумя точками всегда является геодезической, но могут существовать и другие геодезические. Геодезическая называется замкнутой геодезической , если она возвращается в свою начальную точку и начальное направление; при этом она может пересекать себя несколько раз. Теорема о трех геодезических гласит, что для поверхностей, гомеоморфных сфере, существует по крайней мере три несамопересекающихся замкнутых геодезических. Их может быть больше трех; например, у сферы их бесконечно много.

Этот результат вытекает из математики морской навигации, где поверхность Земли может быть точно смоделирована эллипсоидом , и из изучения геодезических на эллипсоиде , кратчайших путей для движения судов. В частности, почти сферический трехосный эллипсоид имеет только три простые замкнутые геодезические, его экваторы. ^[3] В 1905 году Анри Пуанкаре предположил, что каждая гладкая поверхность, топологически эквивалентная сфере, также содержит по крайней мере три простые замкнутые геодезические, ^[4] а в 1929 году Лазарь Люстерник и Лев Шнирельман опубликовали доказательство гипотезы; хотя общий топологический аргумент доказательства был верным, он использовал результат деформации, который позже был признан ошибочным. ^[5] Несколько авторов предложили неудовлетворительные решения разрыва. Универсальное решение было предложено в 1980-х годах Грейсоном, следуя предложению Карен Уленбек , с помощью кривой сокращения потока . ^[6]

Усиленная версия теоремы утверждает, что на любой римановой поверхности, которая топологически является сферой, обязательно существуют три простые замкнутые геодезические, длина которых не более чем пропорциональна диаметру поверхности. ^[7]

Число замкнутых геодезических длиной не более L на гладкой топологической сфере растет пропорционально L /log  L , но не все такие геодезические могут быть гарантированно простыми. ^[8]

На компактных гиперболических римановых поверхностях существует бесконечно много простых замкнутых геодезических, но только конечное число с заданной границей длины. Они аналитически кодируются дзета-функцией Сельберга . Скорость роста числа простых замкнутых геодезических в зависимости от их длины была исследована Марьям Мирзахани . ^[9]

Существование трех простых замкнутых геодезических также справедливо для любой обратимой финслеровой метрики на 2-сфере. ^[10]

Также возможно определить геодезические на некоторых поверхностях, которые не являются гладкими всюду, таких как выпуклые многогранники . Поверхность выпуклого многогранника имеет метрику, которая локально евклидова, за исключением вершин многогранника, и кривая, которая избегает вершин, является геодезической, если она следует прямым отрезкам внутри каждой грани многогранника и остается прямой через каждое ребро многогранника, которое она пересекает. Хотя некоторые многогранники имеют простые замкнутые геодезические (например, правильный тетраэдр и двуклиноиды имеют бесконечно много замкнутых геодезических, все простые) ^{[11] [12],} другие этого не делают. В частности, простая замкнутая геодезическая выпуклого многогранника обязательно разделит пополам полный угловой дефект вершин, и почти все многогранники не имеют таких биссектрис. ^{[3] [11]}

Тем не менее, теорему о трех геодезических можно распространить на выпуклые многогранники, рассматривая квазигеодезические, кривые, которые являются геодезическими, за исключением вершин многогранников, и которые имеют углы меньше π с обеих сторон в каждой вершине, которую они пересекают. Версия теоремы о трех геодезических для выпуклых многогранников утверждает, что все многогранники имеют по крайней мере три простые замкнутые квазигеодезические; это можно доказать, приблизив многогранник гладкой поверхностью и применив теорему о трех геодезических к этой поверхности. ^[13] Открытой проблемой является то, можно ли построить любую из этих квазигеодезических за полиномиальное время . ^{[14] [15]}