набор Бэра

В математике , а точнее в теории меры , множества Бэра образуют σ-алгебру топологического пространства , которая избегает некоторых патологических свойств множеств Бореля .

Существует несколько неэквивалентных определений множеств Бэра, но в наиболее широко используемом множестве Бэра локально компактного хаусдорфова пространства образуется наименьшая σ-алгебра, такая что все непрерывные функции с компактным носителем измеримы . Таким образом, меры, определенные на этой σ-алгебре, называемые мерами Бэра , являются удобной основой для интегрирования на локально компактных хаусдорфовых пространствах. В частности, любая непрерывная функция с компактным носителем на таком пространстве интегрируема относительно любой конечной меры Бэра.

Каждое множество Бэра является множеством Бореля . Обратное справедливо во многих, но не во всех топологических пространствах. Множества Бэра избегают некоторых патологических свойств множеств Бореля в пространствах без счетной базы топологии. На практике использование мер Бэра на множествах Бэра часто можно заменить использованием регулярных мер Бореля на множествах Бореля.

Множества Бэра были введены Кунихико Кодайрой (1941, Определение 4), Шизуо Какутани и Кунихико Кодайрой (1944) и Халмосом (1950, стр. 220), которые назвали их в честь функций Бэра , которые, в свою очередь, названы в честь Рене-Луи Бэра .

Существует по крайней мере три неэквивалентных определения множеств Бэра на локально компактных хаусдорфовых пространствах и еще больше определений для общих топологических пространств, хотя все эти определения эквивалентны для локально компактных σ-компактных хаусдорфовых пространств. Более того, некоторые авторы добавляют ограничения на топологическое пространство, на котором определены множества Бэра, и определяют множества Бэра только на пространствах, которые являются компактными хаусдорфовыми, или локально компактными хаусдорфовыми, или σ-компактными.

Кунихико Кодаира определил ^[1] то, что мы называем множествами Бэра (хотя он путано называет их «множествами Бореля») некоторых топологических пространств как множества, характеристическая функция которых является функцией Бэра (наименьший класс функций, содержащий все непрерывные действительные функции и замкнутый относительно поточечных пределов последовательностей). Дадли (1989, Sect. 7.1) дает эквивалентное определение и определяет множества Бэра топологического пространства как элементы наименьшей σ-алгебры, такие, что все непрерывные действительные функции измеримы. Для локально компактных σ-компактных хаусдорфовых пространств это эквивалентно следующим определениям, но в общем случае определения не эквивалентны.

Наоборот, функции Бэра — это в точности действительнозначные функции, которые измеримы по Бэру. Для метрических пространств множества Бэра совпадают с множествами Бореля. ^[2]

Халмош (1950, стр. 220) определил множества Бэра локально компактного хаусдорфова пространства как элементы σ-кольца, порожденного компактными множествами G _δ . Это определение больше не используется, поскольку σ-кольца несколько вышли из моды. Когда пространство σ-компактно, это определение эквивалентно следующему определению.

Одной из причин работы с компактными множествами G _δ вместо замкнутых множеств G _δ является то, что меры Бэра в этом случае автоматически являются регулярными (Halmos 1950, теорема G, стр. 228).

Третье и наиболее широко используемое определение похоже на определение Халмоша, измененное таким образом, что множества Бэра образуют σ-алгебру, а не просто σ-кольцо.

Подмножество локально компактного хаусдорфова топологического пространства называется множеством Бэра , если оно является членом наименьшей σ–алгебры , содержащей все компактные множества G _δ . Другими словами, σ–алгебра множеств Бэра — это σ–алгебра, порожденная всеми теми пересечениями счетного числа открытых множеств, которые дают компактное множество. Альтернативно, множества Бэра образуют наименьшую σ-алгебру, такую, что все непрерывные функции компактного носителя измеримы (по крайней мере, на локально компактных хаусдорфовых пространствах; на общих топологических пространствах эти два условия не обязаны быть эквивалентными).

Для σ-компактных пространств это эквивалентно определению Халмоша. Для пространств, которые не являются σ-компактными, множества Бэра в этом определении являются множествами в определении Халмоша вместе с их дополнениями. Однако в этом случае уже не верно, что конечная мера Бэра обязательно регулярна: например, вероятностная мера Бэра , которая назначает меру 0 каждому счетному подмножеству несчетного дискретного пространства и меру 1 каждому сосчетному подмножеству, является вероятностной мерой Бэра, которая не является регулярной.

Для локально компактных хаусдорфовых топологических пространств, не являющихся σ-компактными, три приведенных выше определения не обязательно должны быть эквивалентны.

Дискретное топологическое пространство локально компактно и хаусдорфово. Любая функция, определенная на дискретном пространстве, непрерывна, и поэтому, согласно первому определению, все подмножества дискретного пространства являются бэровскими. Однако, поскольку компактные подпространства дискретного пространства являются в точности конечными подпространствами, множества Бэра, согласно второму определению, являются в точности не более чем счетными множествами, в то время как согласно третьему определению множества Бэра являются не более чем счетными множествами и их дополнениями. Таким образом, три определения неэквивалентны на несчетном дискретном пространстве.

Для нехаусдорфовых пространств определения множеств Бэра в терминах непрерывных функций не обязательно должны быть эквивалентны определениям, включающим компактные множества G _δ . Например, если X — бесконечное счетное множество, замкнутыми множествами которого являются конечные множества и все пространство, то единственные непрерывные действительные функции на X являются постоянными, но все подмножества X находятся в σ-алгебре, порожденной компактными замкнутыми множествами G _{δ .}

В декартовом произведении несчетного числа компактных хаусдорфовых пространств с более чем одной точкой точка никогда не является множеством Бэра, несмотря на то, что она замкнута, и, следовательно, является множеством Бореля. ^[3]

Множества Бэра совпадают с множествами Бореля в евклидовых пространствах .

Для каждого компактного хаусдорфова пространства каждая конечная мера Бэра (то есть мера на σ-алгебре всех множеств Бэра) является регулярной . ^[4]

Для каждого компактного хаусдорфова пространства каждая конечная мера Бэра имеет единственное расширение до регулярной меры Бореля. ^[5]

Теорема Колмогорова о расширении утверждает, что каждый последовательный набор конечномерных распределений вероятностей приводит к мере Бэра на пространстве функций. ^[6] Предполагая компактность (данного пространства, а следовательно, и пространства функций ), можно расширить его до регулярной меры Бореля. После завершения получается вероятностное пространство, которое не обязательно является стандартным . ^[7]

• Халмош, П. Р. (1950). Теория меры . против Ностранда.См. особенно раздел 51 «Множества Бореля и множества Бэра».
• Дадли, Р. М. (1989). Действительный анализ и вероятность . Chapman & Hall. ISBN 0521007542.. См. особенно раздел 7.1 «σ–алгебры Бэра и Бореля и регулярность мер» и раздел 7.3 «Расширение регулярности».
• Какутани, Шизуо; Кодайра, Кунихико (1944), «Über das Haarsche Mass in der local bikompakten Gruppe», Proc. Имп. акад. Токио , 20 (7): 444–450, doi : 10.3792/pia/1195572875 , MR  0014401.
• Кодайра, Кунихико (1941), «Über die Gruppe dermessbaren Abbildungen», Proc. Имп. акад. Токио , 17 : 18–23, doi : 10.3792/pia/1195578914 , MR  0004089
• «Набор Бэра», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]