Упаковка тетраэдра
Концепция трехмерной геометрии

В геометрии упаковка тетраэдров — это задача размещения одинаковых правильных тетраэдров в трехмерном пространстве таким образом, чтобы заполнить максимально возможную часть пространства.

Самая плотная известная в настоящее время структура упаковки правильных тетраэдров представляет собой двойную решетку треугольных бипирамид и заполняет 85,63% пространства.

В настоящее время наилучшая нижняя граница, достигнутая для оптимальной доли упаковки правильных тетраэдров, составляет 85,63%. [1] Тетраэдры не заполняют пространство, [2] и сообщалось о верхней границе ниже 100% (а именно, 1 − (2,6...)·10 −25 ). [3]

Исторические результаты

Тетраэдрическая упаковка

Аристотель утверждал, что тетраэдры могут полностью заполнять пространство. [4] [5]

В 2006 году Конвей и Торквато показали, что упаковочная доля около 72% может быть получена путем построения не-Bravais-решетчатой ​​упаковки тетраэдров (с несколькими частицами с, как правило, разными ориентациями на повторяющуюся единицу), и таким образом они показали, что наилучшая упаковка тетраэдров не может быть решетчатой ​​упаковкой (с одной частицей на повторяющуюся единицу, такой, что каждая частица имеет общую ориентацию). [6] Эти упаковочные конструкции почти удвоили оптимальную упаковочную долю решетки Браве 36,73%, полученную Хойлманом. [7] В 2007 и 2010 годах Чайкин и его коллеги экспериментально показали, что тетраэдроподобные игральные кости могут случайным образом упаковываться в конечный контейнер до упаковочной доли между 75% и 76%. [8] В 2008 году Чен был первым, кто предложил упаковку твердых, правильных тетраэдров, которые упакованы более плотно, чем сферы, продемонстрировав численно упаковочную долю 77,86%. [9] [10] Дальнейшее улучшение было сделано в 2009 году Торквато и Цзяо, которые сжали структуру Чена с помощью компьютерного алгоритма до коэффициента упаковки 78,2021%. [11]

В середине 2009 года Хаджи-Акбари и др. показали, используя моделирование МК изначально случайных систем, что при плотности упаковки >50% равновесная жидкость твердых тетраэдров спонтанно трансформируется в додекагональный квазикристалл , который может быть сжат до 83,24%. Они также сообщили о стекловидной, неупорядоченной упаковке при плотностях, превышающих 78%. Для периодического приближения к квазикристаллу с элементарной ячейкой из 82 тетраэдров они получили плотность упаковки до 85,03%. [12]

В конце 2009 года Каллус, Элсер и Гравел открыли новое, гораздо более простое семейство упаковок с упаковочной долей 85,47%. [13] Эти упаковки также легли в основу немного улучшенной упаковки, полученной Торквато и Цзяо в конце 2009 года с упаковочной долей 85,55%, [14] и Ченом, Энгелем и Глотцером в начале 2010 года с упаковочной долей 85,63%. [1] Результат Чена, Энгеля и Глотцера в настоящее время является самой плотной известной упаковкой твердых правильных тетраэдров. Удивительно, но квадратно-треугольная мозаика [12] упаковывает плотнее, чем эта двойная решетка треугольных бипирамид , когда тетраэдры слегка закруглены ( сумма Минковского тетраэдра и сферы), что делает кристалл из 82 тетраэдров самой большой элементарной ячейкой для самой плотной упаковки идентичных частиц на сегодняшний день. [15]

Связь с другими проблемами упаковки

Поскольку самая ранняя нижняя граница, известная для упаковок тетраэдров, была меньше, чем у сфер , было высказано предположение, что правильные тетраэдры могут быть контрпримером к гипотезе Улама о том, что оптимальная плотность для упаковки конгруэнтных сфер меньше, чем для любого другого выпуклого тела. Однако более поздние результаты показали, что это не так.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Chen, Elizabeth R.; Engel, Michael; Glotzer, Sharon C. (2010). «Плотные кристаллические димерные упаковки правильных тетраэдров». Дискретная и вычислительная геометрия . 44 (2): 253– 280. arXiv : 1001.0586 . doi :10.1007/s00454-010-9273-0. S2CID  18523116.
  2. ^ Струик, ди-джей (1925). «Есть проблема «De Impletione Loci»". Nieuw Archief voor Wiskunde . 2-я сер. 15 : 121–134 . JFM  52.0002.04.
  3. ^ Саймон Грэвел; Вайт Элсер; Йоав Каллус (2010). «Верхняя граница плотности упаковки правильных тетраэдров и октаэдров». Дискретная и вычислительная геометрия . 46 (4): 799– 818. arXiv : 1008.2830 . doi : 10.1007/s00454-010-9304-x. S2CID  18908213.
  4. ^ Джеффри Лагариас и Чуанмин Цзун (2012-12-04). «Загадки упаковки правильных тетраэдров» (PDF) .
  5. ↑ Пресс-релиз (2014-12-03). «Джеффри Лагариас и Чуанмин Цзун получат премию Конанта 2015 года».
  6. ^ Conway, JH (2006). «Упаковка, мозаика и покрытие тетраэдрами». Труды Национальной академии наук . 103 (28): 10612– 10617. Bibcode : 2006PNAS..10310612C. doi : 10.1073/pnas.0601389103 . PMC 1502280. PMID  16818891 . 
  7. ^ Хойлман, Дуглас Дж. (1970). «Самая плотная решетчатая упаковка тетраэдров». Бюллетень Американского математического общества . 76 : 135– 138. doi : 10.1090/S0002-9904-1970-12400-4 . hdl : 10150/288016 .
  8. ^ Jaoshvili, Alexander; Esakia, Andria; Porrati, Massimo; Chaikin, Paul M. (2010). "Эксперименты по случайной упаковке тетраэдральных игральных костей". Physical Review Letters . 104 (18): 185501. Bibcode : 2010PhRvL.104r5501J. doi : 10.1103/PhysRevLett.104.185501. hdl : 10919/24495 . PMID  20482187.
  9. ^ Чен, Элизабет Р. (2008). «Плотная упаковка правильных тетраэдров». Дискретная и вычислительная геометрия . 40 (2): 214– 240. arXiv : 0908.1884 . doi :10.1007/s00454-008-9101-y. S2CID  32166668.
  10. ^ Кон, Генри (2009). «Математическая физика: тесное сжатие». Nature . 460 (7257): 801– 802. Bibcode : 2009Natur.460..801C. doi : 10.1038/460801a. PMID  19675632. S2CID  5157975.
  11. ^ Torquato, S.; Jiao, Y. (2009). «Плотные упаковки платоновых и архимедовых тел». Nature . 460 (7257): 876– 879. arXiv : 0908.4107 . Bibcode :2009Natur.460..876T. doi :10.1038/nature08239. PMID  19675649. S2CID  52819935.
  12. ^ ab Haji-Akbari, Amir; Engel, Michael; Keys, Aaron S.; Zheng, Xiaoyu; Petschek, Rolfe G.; Palffy-Muhoray, Peter; Glotzer, Sharon C. (2009). "Неупорядоченные, квазикристаллические и кристаллические фазы плотно упакованных тетраэдров". Nature . 462 (7274): 773– 777. arXiv : 1012.5138 . Bibcode :2009Natur.462..773H. doi :10.1038/nature08641. PMID  20010683. S2CID  4412674.
  13. ^ Каллус, Йоав; Элсер, Вайт; Гравел, Саймон (2010). «Плотные периодические упаковки тетраэдров с малыми повторяющимися единицами». Дискретная и вычислительная геометрия . 44 (2): 245–252 . arXiv : 0910.5226 . doi :10.1007/s00454-010-9254-3. S2CID  13385357.
  14. ^ Torquato, S.; Jiao, Y. (2009). «Аналитические конструкции семейства плотных упаковок тетраэдров и роль симметрии». arXiv : 0912.4210 [cond-mat.stat-mech].
  15. ^ Jin, Weiwei; Lu, Peng; Li, Shuixiang (декабрь 2015 г.). "Эволюция плотных упаковок сферотетраэдрических частиц: от идеальных тетраэдров к сферам". Scientific Reports . 5 (1): 15640. Bibcode :2015NatSR...515640J. doi : 10.1038/srep15640 . PMC 4614866 . PMID  26490670. 
  • Упаковка тетраэдров и приближение к идеальной упаковке, NYTimes
  • Эффективные формы, The Economist
  • Пирамиды — лучшая форма для упаковки, New Scientist
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Упаковка_тетраэдра&oldid=1240304380"