Аксиоматизация действительных чисел Тарского

В 1936 году Альфред Тарский дал аксиоматизацию действительных чисел и их арифметики, состоящую всего из восьми аксиом, показанных ниже, и четырех элементарных понятий : ^[1] множество действительных чисел , обозначенное R , бинарное отношение над R , обозначенное инфиксом <, бинарная операция сложения над R , обозначенная инфиксом +, и константа 1.

Аксиоматизацию Тарского, которая является теорией второго порядка , можно рассматривать как версию более обычного определения действительных чисел как уникального Дедекиндово-полного упорядоченного поля ; однако она сделана гораздо более краткой, полностью избегая умножения и используя неортодоксальные варианты стандартных алгебраических аксиом и другие тонкие трюки. Тарский не предоставил доказательства того, что его аксиомы достаточны, или определения для умножения действительных чисел в своей системе.

Тарский также изучал теорию структуры первого порядка ( R , +, ·, <), что привело к набору аксиом для этой теории и к концепции действительных замкнутых полей .

Аксиома 1

Если x < y , то не y < x .

[То есть, "<" является асимметричным отношением . Это подразумевает, что "<" является иррефлексивным , т.е. для всех x , а не x < x .]

Аксиома 2

Если x  <  z , то существует y, такой что x  <  y и y  <  z .

Аксиома 3

Для всех подмножеств X ,  Y  ⊆  R , если для всех x  ∈  X и y  ∈  Y , x  <  y , то существует z, такой что для всех x  ∈  X и y  ∈  Y , если x  ≠  z и y  ≠  z , то x  <  z и z  <  y .

[Другими словами, «<» является полным по Дедекинду , или неформально: «Если набор действительных чисел X предшествует другому набору действительных чисел Y , то существует по крайней мере одно действительное число z, разделяющее два набора».

Это аксиома второго порядка, поскольку она относится к множествам, а не только к элементам.]

Аксиома 4

х  + ( у  +  z ) = ( х  +  z ) +  у .

[Обратите внимание, что это неортодоксальная смесь ассоциативности и коммутативности .]

Аксиома 5

Для всех x , y существует z, такой что x  +  z  =  y .

[Это позволяет выполнять вычитание и также дает 0.]

Аксиома 6

Если x  +  y  <  z  +  w , то x  <  z или y  <  w .

[Это контрапозитив стандартной аксиомы для упорядоченных групп.]

Аксиома 7

1 ∈  R .

Аксиома 8

1 < 1 + 1.

Тарский заявил, без доказательства, что эти аксиомы превращают отношение < в полное упорядочение . Недостающий компонент был предоставлен в 2008 году Стефани Учнай. ^[2]

Из аксиом следует, что R является линейно упорядоченной абелевой группой относительно сложения с выделенным положительным элементом 1 и что эта группа является полной по Дедекинду , делимой и архимедовой .

Тарский никогда не доказывал, что эти аксиомы и примитивы подразумевают существование бинарной операции, называемой умножением, которая имеет ожидаемые свойства, так что R становится полным упорядоченным полем при сложении и умножении. Можно определить эту операцию умножения, рассматривая некоторые сохраняющие порядок гомоморфизмы упорядоченной группы ( R ,+,<). ^[3]