Параметрическая поверхность

Параметрическая поверхность — это поверхность в евклидовом пространстве , которая определяется параметрическим уравнением с двумя параметрами . Параметрическое представление — это очень общий способ задания поверхности, а также неявное представление . Поверхности, которые встречаются в двух основных теоремах векторного исчисления , теореме Стокса и теореме о расходимости , часто задаются в параметрической форме. Кривизна и длина дуги кривых на поверхности, площадь поверхности , дифференциальные геометрические инварианты, такие как первая и вторая фундаментальные формы, гауссова , средняя и главная кривизны, могут быть вычислены из заданной параметризации.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

• Простейший тип параметрических поверхностей задается графиками функций двух переменных:$${\displaystyle z=f(x,y),\quad \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)).}$$
• Рациональная поверхность — это поверхность, допускающая параметризацию рациональной функцией . Рациональная поверхность — это алгебраическая поверхность . Если задана алгебраическая поверхность, обычно проще решить, рациональна ли она, чем вычислить ее рациональную параметризацию, если она существует.
• Поверхности вращения дают другой важный класс поверхностей, которые можно легко параметризовать. Если график z = f ( x ) , a ≤ x ≤ b вращается вокруг оси z , то полученная поверхность имеет параметризацию Она также может быть параметризована , показывая, что если функция f рациональна, то поверхность рациональна.$${\displaystyle \mathbf {r} (u,\phi)=(u\cos \phi,u\sin \phi,f (u)),\quad a\leq u\leq b,0\leq \phi < 2\пи .}$$$${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=\left(u{\frac {1-v^{2}}{1+v^{2}}},u{\frac {2v}{1+v^{2}}},f(u)\right),\quad a\leq u\leq b,}$$
• Прямой круговой цилиндр радиуса R относительно оси x имеет следующее параметрическое представление:$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (х, \ фи) = (х, R \ соз \ фи, R \ грех \ фи).}$$
• Используя сферические координаты , единичную сферу можно параметризовать следующим образом: Эта параметризация нарушается на северном и южном полюсах, где азимутальный угол θ не определяется однозначно. Сфера является рациональной поверхностью.$${\displaystyle \mathbf {r} (\theta,\phi)=(\cos \theta \sin \phi,\sin \theta \sin \phi,\cos \phi),\quad 0\leq \theta <2 \pi ,0\leq \phi \leq \pi .}$$

Одна и та же поверхность допускает множество различных параметризаций. Например, координатная плоскость z может быть параметризована как для любых констант a , b , c , d таких, что ad − bc ≠ 0 , т.е. матрица обратима .$${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(au+bv,cu+dv,0)}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

Локальную форму параметрической поверхности можно проанализировать, рассмотрев разложение Тейлора функции, которая ее параметризует. Длину дуги кривой на поверхности и площадь поверхности можно найти с помощью интегрирования .

Пусть параметрическая поверхность задана уравнением , где - векторная функция параметров ( u , v ) и параметры изменяются в пределах некоторой области D в параметрической плоскости uv . Первые частные производные по параметрам обычно обозначаются и и аналогично для старших производных,$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\textstyle \mathbf {r} _{u}:={\frac {\partial \mathbf {r} {\partial u}}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{v},}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {uu}, \ mathbf {r} _ {uv}, \ mathbf {r} _ {vv}.}$

В векторном исчислении параметры часто обозначаются ( s , t ), а частные производные записываются с использованием ∂ -обозначения:$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial t^{2}}}.}$$

Параметризация регулярна для заданных значений параметров, если векторы линейно независимы. Касательная плоскость в регулярной точке — это аффинная плоскость в R ^{3 ,} натянутая на эти векторы и проходящая через точку r ( u , v ) на поверхности, определяемой параметрами. Любой касательный вектор можно однозначно разложить в линейную комбинацию и Векторным произведением этих векторов является вектор нормали к касательной плоскости . Деление этого вектора на его длину дает единичный вектор нормали к параметризованной поверхности в регулярной точке:$${\displaystyle \mathbf {r} _{u},\mathbf {r} _{v}}$$${\displaystyle \mathbf {r} _{u}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{v}.}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }} = {\frac {\mathbf {r} _ {u} \times \mathbf {r} _ {v}}{\left|\mathbf {r} _ {u}\times \mathbf {r} _{v}\right|}}.}$$

В общем случае существует два варианта выбора единичного вектора нормали к поверхности в заданной точке, но для регулярной параметризованной поверхности предыдущая формула последовательно выбирает один из них и, таким образом, определяет ориентацию поверхности. Некоторые из дифференциально-геометрических инвариантов поверхности в R ³ определяются самой поверхностью и не зависят от ориентации, в то время как другие меняют знак, если ориентация меняется на обратную.

Площадь поверхности можно вычислить путем интегрирования длины вектора нормали к поверхности по соответствующей области D в параметрической плоскости UV :${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}$$${\displaystyle A(D)=\iint _{D}\left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|du\,dv.}$$

Хотя эта формула дает замкнутое выражение для площади поверхности, для всех, кроме очень специальных поверхностей, это приводит к сложному двойному интегралу , который обычно оценивается с помощью системы компьютерной алгебры или аппроксимируется численно. К счастью, многие общие поверхности образуют исключения, и их площади явно известны. Это верно для кругового цилиндра , сферы , конуса , тора и нескольких других поверхностей вращения .

Это также можно выразить как поверхностный интеграл по скалярному полю 1:$${\displaystyle \int _{S}1\,dS.}$$

Первая фундаментальная форма — это квадратичная форма на касательной плоскости к поверхности, которая используется для вычисления расстояний и углов. Для параметризованной поверхности ее коэффициенты можно вычислить следующим образом:$${\displaystyle \mathrm {I} =E\,du^{2}+2\,F\,du\,dv+G\,dv^{2}}$$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$$${\displaystyle E=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{u}, \quad F=\mathbf {r} _{u} \cdot \mathbf {r} _{v} ,\quad G=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {r} _{v}.}$$

Длина дуги параметризованных кривых на поверхности S , угол между кривыми на S и площадь поверхности допускают выражения в терминах первой фундаментальной формы.

Если ( u ( t ), v ( t )) , a ≤ t ≤ b представляет собой параметризованную кривую на этой поверхности, то ее длину дуги можно вычислить как интеграл:$${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {E\,u'(t)^{2}+2F\,u'(t)v'(t)+G\,v'(t)^{2}}}\,dt.}$$

Первая фундаментальная форма может рассматриваться как семейство положительно определенных симметричных билинейных форм на касательной плоскости в каждой точке поверхности, плавно зависящих от точки. Эта перспектива помогает вычислить угол между двумя кривыми на S, пересекающимися в данной точке. Этот угол равен углу между касательными векторами к кривым. Первая фундаментальная форма, вычисленная на этой паре векторов, является их скалярным произведением , а угол можно найти из стандартной формулы, выражающей косинус угла через скалярное произведение.$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}}$$

Площадь поверхности можно выразить через первую фундаментальную форму следующим образом:$${\displaystyle A(D)=\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$$

По тождеству Лагранжа выражение под квадратным корнем равно в точности , и поэтому оно строго положительно в регулярных точках.${\displaystyle \left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|^{2}}$

Вторая фундаментальная форма — это квадратичная форма на касательной плоскости к поверхности, которая вместе с первой фундаментальной формой определяет кривизны кривых на поверхности. В частном случае, когда ( u , v ) = ( x , y ) и касательная плоскость к поверхности в данной точке горизонтальна, вторая фундаментальная форма по сути является квадратичной частью разложения Тейлора z как функции x и y .$${\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}}$$

Для общей параметрической поверхности определение более сложное, но вторая фундаментальная форма зависит только от частных производных первого и второго порядка. Ее коэффициенты определяются как проекции вторых частных производных на единичный нормальный вектор, определяемый параметризацией:${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$$${\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}.}$$

Как и первую фундаментальную форму, вторую фундаментальную форму можно рассматривать как семейство симметричных билинейных форм на касательной плоскости в каждой точке поверхности, гладко зависящих от точки.

Первая и вторая фундаментальные формы поверхности определяют ее важные дифференциально-геометрические инварианты : гауссову кривизну , среднюю кривизну и главные кривизны .

Главные кривизны являются инвариантами пары, состоящей из второй и первой фундаментальных форм. Они являются корнями κ ₁ , κ ₂ квадратного уравнения$${\displaystyle \det(\mathrm {I\!I} -\kappa \mathrm {I} )=0,\quad \det {\begin{bmatrix}L-\kappa E&M-\kappa F\\M-\kappa F&N-\kappa G\end{bmatrix}}=0.}$$

Гауссову кривизну K = κ ₁ κ ₂ и среднюю кривизну H = ( κ ₁ + κ ₂ )/2 можно вычислить следующим образом:$${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},\quad H={\frac {EN-2FM+GL}{2(EG-F^{2})}}.}$$

С точностью до знака эти величины не зависят от используемой параметризации и, следовательно, являются важными инструментами для анализа геометрии поверхности. Точнее, главные кривизны и средняя кривизна меняют знак, если ориентация поверхности меняется на противоположную, а гауссова кривизна полностью независима от параметризации.

Знак гауссовой кривизны в точке определяет форму поверхности вблизи этой точки: при K > 0 поверхность локально выпукла и точка называется эллиптической , в то время как при K < 0 поверхность имеет форму седла и точка называется гиперболической . Точки, в которых гауссова кривизна равна нулю, называются параболическими . В общем случае параболические точки образуют на поверхности кривую, называемую параболической прямой . Первая фундаментальная форма положительно определена , следовательно, ее определитель EG − F ² всюду положителен. Следовательно, знак K совпадает со знаком LN − M ² , определителя второй фундаментальной формы.

Коэффициенты первой фундаментальной формы, представленные выше, можно организовать в симметричную матрицу: И то же самое для коэффициентов второй фундаментальной формы, также представленной выше:$${\displaystyle F_{1}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle F_{2}={\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}$$

Определяя теперь матрицу , главные кривизны κ ₁ и κ ₂ являются собственными значениями A . ^[1]${\displaystyle A=F_{1}^{-1}F_{2}}$

Теперь, если v ₁ = ( v ₁₁ , v ₁₂ ) — собственный вектор A, соответствующий главной кривизне κ ₁ , то единичный вектор в направлении называется главным вектором, соответствующим главной кривизне κ ₁ .${\displaystyle \mathbf {t} _{1}=v_{11}\mathbf {r} _{u}+v_{12}\mathbf {r} _{v}}$

Соответственно, если v ₂ = ( v ₂₁ , v ₂₂ ) — собственный вектор A, соответствующий главной кривизне κ ₂ , то единичный вектор в направлении называется главным вектором, соответствующим главной кривизне κ ₂ .${\displaystyle \mathbf {t} _{2}=v_{21}\mathbf {r} _{u}+v_{22}\mathbf {r} _{v}}$

• Сплайн (математика)
• Нормаль к поверхности

• Java-апплеты демонстрируют параметризацию винтовой поверхности
• m-ART(3d) — приложение для iPad/iPhone для создания и визуализации параметрических поверхностей.