Распределение Стьюдента

Студенческийт

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle \ \nu >0\ }$ степени свободы ( действительные , почти всегда положительные целые числа )
Поддерживать	${\displaystyle \ x\in (-\infty ,\infty )}$
PDF	${\displaystyle \textstyle \ {\frac {\Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)}}\ \left(\ 1+{\frac {~x^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-{\frac {\ \nu +1\ }{2}}}\ }$
СДФ	$${\displaystyle {\begin{matrix}\ {\frac {\ 1\ }{2}}+x\ \Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\ {{}_{2}F_{1}}\!\left(\ {\frac {\ 1\ }{2}},\ {\frac {\ \nu +1\ }{2}};\ {\frac {3}{\ 2\ }};\ -{\frac {~x^{2}\ }{\nu }}\ \right)\ }{\ {\sqrt {\pi \nu }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\ ,\end{matrix}}}$$ где гипергеометрическая функция${\displaystyle \ {}_{2}F_{1} \!(\ ,\ ;\ ;\ )\ }$
Иметь в виду	${\displaystyle \ 0\ }$для иного неопределенного${\displaystyle \ \nu >1\ ,}$
Медиана	${\displaystyle \ 0\ }$
Режим	${\displaystyle \ 0\ }$
Дисперсия	${\displaystyle \textstyle \ {\frac {\nu }{\ \nu -2\ }}\ }$для ∞ для других неопределенных${\displaystyle \ \nu >2\ ,}$ ${\displaystyle \ 1 <\nu \leq 2\,}$
Асимметрия	${\displaystyle \ 0\ }$для иного неопределенного${\displaystyle \ \nu >3\ ,}$
Избыточный эксцесс	${\displaystyle \textstyle \ {\frac {6}{\ \nu -4\ }}}$для ∞ для других неопределенных${\displaystyle \ \nu >4\ ,}$${\displaystyle \ 2 <\nu \leq 4\,}$
Энтропия	${\displaystyle \ {\begin{matrix}{\frac {\ \nu +1\ }{2}}\left[\ \psi \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ \right]\\[0.5em]+\ln \left[{\sqrt {\nu \ }}\ {\mathrm {B} }\left(\ {\frac {\ \nu \ }{2}},\ {\frac {\ 1\ }{2}}\ \right)\right]\ {\scriptstyle {\text{(nats)}}}\ \end{matrix}}}$ где ${\displaystyle \psi ()\ }$- это дигамма-функция , ${\ displaystyle \ {\ mathrm {B} } (\ , \ ) \ }$это бета-функция .
МГФ	неопределенный
CF	${\displaystyle \textstyle {\frac {\ \left(\ {\sqrt {\nu \ }}\ |t|\ \right)^{\nu /2}\ K_ {\nu /2}\left(\ {\sqrt {\nu \ }}\ |t|\ \right)\ }{\ \Gamma (\nu /2)\ 2^{\nu /2-1}\ }}\ }$для${\displaystyle \ \nu >0\ }$ ${\ displaystyle \ K_ {\ nu } (x) \ }$— модифицированная функция Бесселя второго рода [1]
Ожидаемый дефицит	${\displaystyle \ \mu +s\ \left(\ {\frac {\ \nu +T^{-1}(1-p)^{2}\ \times \ \tau \left(T^{-1}(1-p)^{2}\right)\ }{\ (\nu -1)(1-p)\ }}\ \right)\ }$ Где — обратная стандартизированная функция распределения плотности  распределения Стьюдента t , а — стандартизированная функция распределения плотности распределения Стьюдента t . [2]${\ displaystyle \ T ^ {- 1} (\ ) \ }$ ${\displaystyle \ \тау (\ )\ }$

В теории вероятностей и статистике распределение Стьюдента (или просто  распределение Стьюдента )  — это непрерывное распределение вероятностей , обобщающее стандартное нормальное распределение . Как и последнее, оно симметрично относительно нуля и имеет форму колокола.${\displaystyle \ t_{\nu }\ }$

Однако имеет более тяжелые хвосты , а величина вероятностной массы в хвостах контролируется параметром Для t- распределение Стьюдента становится стандартным распределением Коши , имеющим очень «толстые» хвосты ; тогда как для оно становится стандартным нормальным распределением, имеющим очень «тонкие» хвосты.${\displaystyle \ t_{\nu }\ }$${\displaystyle \ \nu ~~.}$${\displaystyle \ \nu =1\ }$${\displaystyle t_{\nu }}$${\displaystyle \ \nu \rightarrow \infty \ }$${\displaystyle \ {\mathcal {N}}(0,1)\,}$

Распределение Стьюдента  играет роль в ряде широко используемых статистических анализов, включая t-  критерий Стьюдента для оценки статистической значимости разницы между двумя выборочными средними значениями, построения доверительных интервалов для разницы между двумя средними значениями совокупности и линейного регрессионного анализа .

В форме t -  распределения по шкале местоположения оно обобщает нормальное распределение , а также возникает в байесовском анализе данных из нормальной семьи как сложное распределение при маргинализации по параметру дисперсии.${\displaystyle lst(\mu,\tau ^{2},\nu)}$

В статистике распределение t  было впервые получено как апостериорное распределение в 1876 году Гельмертом ^{[3] [4] [5]} и Люротом . ^{[6] [7] [8]} Таким образом, распределение t Стьюдента является примером закона эпонимии Стиглера . Распределение t  также появилось в более общей форме как распределение Пирсона типа IV в статье Карла Пирсона 1895 года. ^[9]

В англоязычной литературе название дистрибуции взято из статьи Уильяма Сили Госсета 1908 года в Biometrika под псевдонимом «Студент». ^[10] Одна из версий происхождения псевдонима заключается в том, что работодатель Госсета предпочитал, чтобы сотрудники использовали псевдонимы при публикации научных работ вместо их настоящих имен, поэтому он использовал имя «Студент», чтобы скрыть свою личность. Другая версия заключается в том, что Guinness не хотел, чтобы их конкуренты знали, что они используют t-  тест для определения качества сырья. ^{[11] [12]}

Госсет работал на пивоварне Guinness Brewery в Дублине, Ирландия , и интересовался проблемами малых выборок – например, химическими свойствами ячменя, где размеры выборки могли быть всего 3. В статье Госсета распределение называется «частотным распределением стандартных отклонений выборок, взятых из нормальной популяции». Оно стало широко известно благодаря работе Рональда Фишера , который назвал распределение «распределением Стьюдента» и обозначил тестовое значение буквой t . ^{[13] [14]}

 Распределение Стьюдента имеет функцию плотности вероятности (PDF), заданную как

${\displaystyle f(t)\ =\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\;\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\;\left(\ 1+{\frac {~t^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ ,}$

где - число степеней свободы , а - гамма-функция . Это также можно записать как${\displaystyle \ \nu \ }$${\displaystyle \ \Gamma \ }$

${\displaystyle f(t)\ =\ {\frac {1}{\ {\sqrt {\nu \ }}\ {\mathrm {B} }\!\left({\frac {\ 1\ }{2}},\ {\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\;\left(\ 1+{\frac {\ t^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ ,}$

где бета- функция . В частности, для целочисленных степеней свободы имеем:${\displaystyle \ {\mathrm {B} }\ }$${\displaystyle \ \nu \ }$

Для и даже,${\displaystyle \ \nu >1\ }$

${\displaystyle \ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\;\Gamma \!\left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\ =\ {\frac {1}{\ 2{\sqrt {\nu \ }}\ }}\ \cdot \ {\frac {\ (\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 5\cdot 3\ }{\ (\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 4\cdot 2\ }}~.}$

Для и нечетных,${\displaystyle \ \nu >1\ }$

${\displaystyle \ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)}}\ =\ {\frac {1}{\ \pi {\sqrt {\nu \ }}\ }}\ \cdot \ {\frac {(\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 4\cdot 2\ }{\ (\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 5\cdot 3\ }}~.}$

Функция плотности вероятности симметрична , и ее общая форма напоминает форму колокола нормально распределенной переменной со средним значением 0 и дисперсией 1, за исключением того, что она немного ниже и шире. По мере увеличения числа степеней свободы распределение t  приближается к нормальному распределению со средним значением 0 и дисперсией 1. По этой причине также известно как параметр нормальности. ^[15]${\displaystyle {\ \nu \ }}$

На следующих изображениях показана плотность распределения t  для возрастающих значений Нормальное распределение показано синей линией для сравнения. Обратите внимание, что распределение t  (красная линия) становится ближе к нормальному распределению по мере увеличения.${\displaystyle \ \nu ~.}$${\displaystyle \ \nu \ }$

Кумулятивную функцию распределения (CDF) можно записать в терминах I , регуляризованной неполной бета-функции . Для t > 0 ,

${\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}\ f(u)\ \operatorname {d} u~=~1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}\!\left({\frac {\ \nu \ }{2}},\ {\frac {\ 1\ }{2}}\right)\ ,}$

где

${\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{\ t^{2}+\nu \ }}~.}$

Другие значения будут получены с помощью симметрии. Альтернативная формула, действительная для${\displaystyle \ t^{2}<\nu \ ,}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\ \operatorname {d} u~=~{\frac {1}{2}}+t\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \!\left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)\ }}\ {}_{2}F_{1}\!\left(\ {\frac {1}{2}},{\frac {\ \nu +1\ }{2}}\ ;{\frac {3}{\ 2\ }}\ ;\ -{\frac {~t^{2}\ }{\nu }}\ \right)\ ,}$

где — частный случай гипергеометрической функции .${\displaystyle \ {}_{2}F_{1}(\ ,\ ;\ ;\ )\ }$

Информацию об обратной кумулятивной функции распределения см. в разделе Функция квантиля § Распределение Стьюдента .

Определенные значения дают простую форму для t-распределения Стьюдента.${\displaystyle \ \nu \ }$

${\displaystyle \ \nu \ }$	PDF	СДФ	примечания
1	${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{\ \pi \ (1+t^{2})\ }}\ }$	${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{2}}+{\frac {\ 1\ }{\pi }}\ \arctan(\ t\ )\ }$	См. распределение Коши
2	${\displaystyle \ {\frac {1}{\ 2\ {\sqrt {2\ }}\ \left(1+{\frac {t^{2}}{2}}\right)^{3/2}}}\ }$	${\displaystyle \ {\frac {1}{\ 2\ }}+{\frac {t}{\ 2{\sqrt {2\ }}\ {\sqrt {1+{\frac {~t^{2}\ }{2}}\ }}\ }}\ }$
3	${\displaystyle \ {\frac {2}{\ \pi \ {\sqrt {3\ }}\ \left(\ 1+{\frac {~t^{2}\ }{3}}\ \right)^{2}\ }}\ }$	${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{2}}+{\frac {\ 1\ }{\pi }}\ \left[{\frac {\left(\ {\frac {t}{\ {\sqrt {3\ }}\ }}\ \right)}{\left(\ 1+{\frac {~t^{2}\ }{3}}\ \right)}}+\arctan \left(\ {\frac {t}{\ {\sqrt {3\ }}\ }}\ \right)\ \right]\ }$
4	${\displaystyle \ {\frac {\ 3\ }{\ 8\ \left(\ 1+{\frac {~t^{2}\ }{4}}\ \right)^{5/2}}}\ }$	${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{2}}+{\frac {\ 3\ }{8}}\left[\ {\frac {t}{\ {\sqrt {1+{\frac {~t^{2}\ }{4}}~}}\ }}\right]\left[\ 1-{\frac {~t^{2}\ }{\ 12\ \left(\ 1+{\frac {~t^{2}\ }{4}}\ \right)\ }}\ \right]\ }$
5	${\displaystyle \ {\frac {8}{\ 3\pi {\sqrt {5\ }}\left(1+{\frac {\ t^{2}\ }{5}}\right)^{3}\ }}\ }$	${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{2}}+{\frac {\ 1\ }{\pi }}{\left[{\frac {t}{\ {\sqrt {5\ }}\left(1+{\frac {\ t^{2}\ }{5}}\right)\ }}\left(1+{\frac {2}{\ 3\left(1+{\frac {\ t^{2}\ }{5}}\right)\ }}\right)+\arctan \left({\frac {t}{\ {\sqrt {\ 5\ }}\ }}\right)\right]}\ }$
${\displaystyle \ \infty \ }$	${\displaystyle \ {\frac {1}{\ {\sqrt {2\pi \ }}\ }}\ e^{-t^{2}/2}}$	${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{2}}\ {\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {t}{\ {\sqrt {2\ }}\ }}\right)\right]}\ }$	См. Нормальное распределение , Функция ошибки

Для сырых моментов распределения t  есть${\displaystyle \nu >1\ ,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ T^{k}\ \right\}={\begin{cases}\quad 0&k{\text{ odd }},\quad 0<k<\nu \ ,\\{}\\{\frac {1}{\ {\sqrt {\pi \ }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)}}\ \left[\ \Gamma \!\left({\frac {\ k+1\ }{2}}\right)\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu -k\ }{2}}\right)\ \nu ^{\frac {\ k\ }{2}}\ \right]&k{\text{ even }},\quad 0<k<\nu ~.\\\end{cases}}}$

Моментов порядка или выше не существует. ^[16]${\displaystyle \ \nu \ }$

Термин для k четный можно упростить, используя свойства гамма-функции :${\displaystyle \ 0<k<\nu \ ,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ T^{k}\ \right\}=\nu ^{\frac {\ k\ }{2}}\ \prod _{j=1}^{k/2}\ {\frac {~2j-1~}{\nu -2j}}\qquad k{\text{ even}},\quad 0<k<\nu ~.}$

Для t -  распределения со степенями свободы ожидаемое значение равно , если , а его дисперсия равна , если Асимметрия равна 0, если , а избыточный эксцесс равен , если${\displaystyle \ \nu \ }$${\displaystyle \ 0\ }$${\displaystyle \ \nu >1\ ,}$${\displaystyle \ {\frac {\nu }{\ \nu -2\ }}\ }$${\displaystyle \ \nu >2~.}$${\displaystyle \ \nu >3\ }$${\displaystyle \ {\frac {6}{\ \nu -4\ }}\ }$${\displaystyle \ \nu >4~.}$

Распределение Стьюдента  обобщается до трехпараметрического  распределения t по местоположению и масштабу путем введения параметра местоположения и параметра масштаба . ${\displaystyle \ {\mathcal {lst}}(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )\ }$ ${\displaystyle \ \mu \ }$ ${\displaystyle \ \tau ~.}$

${\displaystyle \ T\sim t_{\nu }\ }$

и трансформация семьи в масштабе местоположения

${\displaystyle \ X=\mu +\tau \ T\ }$

мы получаем

${\displaystyle \ X\sim {\mathcal {lst}}(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )~.}$

Полученное распределение также называется нестандартизированным  распределением Стьюдента .

Распределение масштаба местоположения t имеет плотность, определяемую следующим образом: ^[17]

${\displaystyle p(x\mid \nu ,\mu ,\tau )={\frac {\ \Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \tau \ }}\ \left(1+{\frac {\ 1\ }{\nu }}\ \left(\ {\frac {\ x-\mu \ }{\tau }}\ \right)^{2}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ }$

Эквивалентно, плотность можно записать в терминах :${\displaystyle \tau ^{2}}$

${\displaystyle \ p(x\ \mid \ \nu ,\ \mu ,\ \tau ^{2})={\frac {\ \Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})\ }{\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ {\sqrt {\pi \ \nu \ \tau ^{2}}}\ }}\ \left(\ 1+{\frac {\ 1\ }{\nu }}\ {\frac {\ (x-\mu )^{2}\ }{\ \tau ^{2}\ }}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ }$

Другие свойства этой версии дистрибутива: ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \{\ X\ \}&=\mu &{\text{ for }}\nu >1\ ,\\\operatorname {var} \{\ X\ \}&=\tau ^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}&{\text{ for }}\nu >2\ ,\\\operatorname {mode} \{\ X\ \}&=\mu ~.\end{aligned}}}$

• Если следует  распределение t по шкале местоположения , то для имеет нормальное распределение со средним значением и дисперсией${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ X\sim {\mathcal {lst}}\left(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu \right)\ }$${\displaystyle \ \nu \rightarrow \infty \ }$ ${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle X\sim \mathrm {N} \left(\mu ,\tau ^{2}\right)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \ \tau ^{2}~.}$
•  Распределение t по шкале местоположения со степенью свободы эквивалентно распределению Коши${\displaystyle \ {\mathcal {lst}}\left(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu =1\right)\ }$${\displaystyle \nu =1}$ ${\displaystyle \mathrm {Cau} \left(\mu ,\tau \right)~.}$
•  Распределение t по шкале местоположения с и сводится к  распределению t Стьюдента${\displaystyle \ {\mathcal {lst}}\left(\mu =0,\ \tau ^{2}=1,\ \nu \right)\ }$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \ \tau ^{2}=1\ }$${\displaystyle \ t_{\nu }~.}$

Распределение Стьюдента со степенями свободы можно определить как распределение случайной величины T с ^{[18] [19]}${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=Z{\sqrt {\frac {\nu }{V}}},}$

где

• Z — стандартное нормальное распределение с ожидаемым значением 0 и дисперсией 1;
• V имеет распределение хи-квадрат ( χ ² -распределение ) со степенями свободы ;${\displaystyle \nu }$
• Z и V независимы ;​

Другое распределение определяется как распределение случайной величины, определяемой для заданной константы  μ следующим образом:

${\displaystyle (Z+\mu ){\sqrt {\frac {\nu }{V}}}.}$

Эта случайная величина имеет нецентральное t -распределение с параметром нецентральности μ . Это распределение важно при изучении мощности t - критерия Стьюдента .

Предположим, что X ₁ , ..., X _n являются независимыми реализациями нормально распределенной случайной величины X , которая имеет ожидаемое значение μ и дисперсию σ ² . Пусть

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}$

быть выборочным средним, и

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}}$

быть несмещенной оценкой дисперсии из выборки. Можно показать, что случайная величина

${\displaystyle V=(n-1){\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы (по теореме Кохрана ). ^[20] Легко показать, что величина${\displaystyle \nu =n-1}$

${\displaystyle Z=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}}$

нормально распределена со средним значением 0 и дисперсией 1, поскольку выборочное среднее значение нормально распределено со средним значением μ и дисперсией σ ² / n . Более того, можно показать, что эти две случайные величины (нормально распределенная Z и распределенная по закону хи-квадрат V ) независимы. Следовательно ^{[ необходимо разъяснение ]} основная величина${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

${\textstyle T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{s}},}$

которая отличается от Z тем, что точное стандартное отклонение σ заменяется случайной величиной S _n , имеет распределение Стьюдента t, как определено выше. Обратите внимание, что неизвестная дисперсия популяции σ ² не появляется в T , поскольку она была и в числителе, и в знаменателе, поэтому она сокращается. Госсет интуитивно получил функцию плотности вероятности, указанную выше, с равным n  − 1, и Фишер доказал ее в 1925 году. ^[13]${\displaystyle \nu }$

Распределение тестовой статистики T зависит от , но не от μ или σ ; отсутствие зависимости от μ и σ делает t -распределение важным как в теории, так и на практике.${\displaystyle \nu }$

Распределение t  возникает как выборочное распределение t -  статистики. Ниже обсуждается одновыборочная t-  статистика, для соответствующей двухвыборочной t-  статистики см. t-критерий Стьюдента .

Пусть — независимые и одинаково распределенные выборки из нормального распределения со средним значением и дисперсией. Выборочное среднее значение и несмещенная выборочная дисперсия определяются по формуле:${\displaystyle \ x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\ }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \ \sigma ^{2}~.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {\ x_{1}+\cdots +x_{n}\ }{n}}\ ,\\[5pt]s^{2}&={\frac {1}{\ n-1\ }}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}~.\end{aligned}}}$

Результирующая (одна выборка) t-  статистика определяется как

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\ {\sqrt {s^{2}/n\ }}\ }}\sim t_{n-1}~.}$

и распределено по закону Стьюдента  со степенями свободы.${\displaystyle \ n-1\ }$

Таким образом, для целей вывода t-  статистика является полезной « основной величиной » в случае, когда среднее значение и дисперсия являются неизвестными параметрами популяции, в том смысле, что t-  статистика имеет тогда распределение вероятностей, которое не зависит ни от${\displaystyle (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \ \sigma ^{2}~.}$

Вместо несмещенной оценки мы также можем использовать оценку максимального правдоподобия.${\displaystyle \ s^{2}\ }$

${\displaystyle \ s_{\mathsf {ML}}^{2}={\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\ }$

что дает статистику

${\displaystyle \ t_{\mathsf {ML}}={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sqrt {s_{\mathsf {ML}}^{2}/n\ }}}={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\ }}\ t~.}$

Это распределено в соответствии с распределением масштаба местоположения  :

${\displaystyle t_{\mathsf {ML}}\sim {\mathcal {lst}}(0,\ \tau ^{2}=n/(n-1),\ n-1)~.}$

Распределение t по шкале местоположения  получается в результате объединения гауссовского распределения (нормального распределения) со средним значением и неизвестной дисперсией , с обратным гамма-распределением, помещенным над дисперсией с параметрами и Другими словами, предполагается, что случайная величина X имеет гауссово распределение с неизвестной дисперсией, распределенной как обратная гамма, а затем дисперсия маргинализируется ( интегрируется).${\displaystyle \ \mu \ }$${\displaystyle \ a={\frac {\ \nu \ }{2}}\ }$${\displaystyle b={\frac {\ \nu \ \tau ^{2}\ }{2}}~.}$

Эквивалентно, это распределение получается в результате соединения гауссовского распределения с масштабированным обратным распределением хи-квадрат с параметрами и Масштабированное обратное распределение хи-квадрат является точно таким же распределением, как и обратное гамма-распределение, но с другой параметризацией, т.е.${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \ \tau ^{2}~.}$${\displaystyle \ \nu =2\ a,\;{\tau }^{2}={\frac {\ b\ }{a}}~.}$

Причина полезности этой характеристики заключается в том, что в байесовской статистике обратное гамма-распределение является сопряженным априорным распределением дисперсии гауссовского распределения. В результате распределение t по шкале местоположения  естественным образом возникает во многих байесовских задачах вывода. ^[21]

Распределение Стьюдента  — это распределение вероятности максимальной энтропии для случайной величины X, для которой фиксировано. ^{[22] [ необходимо разъяснение ] [ необходим лучший источник ]}${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \ln(\nu +X^{2})\ \right\}\ }$

Существуют различные подходы к построению случайных выборок из распределения Стьюдента t  . Вопрос зависит от того, требуются ли выборки на автономной основе или должны быть построены путем применения квантильной функции к однородным выборкам; например, в многомерных приложениях на основе копула-зависимости . ^{[ требуется ссылка ]} В случае автономной выборки расширение метода Бокса-Мюллера и его полярной формы легко развертывается. ^[23] Его достоинство в том, что он одинаково хорошо применим ко всем действительным положительным степеням свободы , ν , в то время как многие другие методы-кандидаты терпят неудачу, если ν близко к нулю. ^[23]

Функция A ( t | ν ) является интегралом функции плотности вероятности Стьюдента, f ( t ) между   -t и t , для t ≥ 0 . Таким образом, она дает вероятность того, что значение t меньше, чем рассчитанное по наблюдаемым данным, возникнет случайно. Следовательно, функцию A ( t | ν ) можно использовать при проверке того, является ли разница между средними значениями двух наборов данных статистически значимой, путем вычисления соответствующего значения t и вероятности его появления, если бы два набора данных были взяты из одной и той же популяции. Это используется в различных ситуациях, особенно в t  -тестах . Для статистики t с ν степенями свободы A ( t | ν ) является вероятностью того, что t будет меньше наблюдаемого значения, если бы два средних значения были одинаковыми (при условии, что меньшее среднее значение вычитается из большего, так что t ≥ 0 ). Его можно легко рассчитать из кумулятивной функции распределения F _ν ( t ) t -распределения  :

${\displaystyle A(t\mid \nu )=F_{\nu }(t)-F_{\nu }(-t)=1-I_{\frac {\nu }{\nu +t^{2}}}\!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$

где I _x ( a , b ) — регуляризованная неполная бета-функция .

Для статистической проверки гипотез эта функция используется для построения p -значения .

• Нецентральное  распределение t обобщает распределение t ,  включая параметр нецентральности. В отличие от нестандартизированных распределений t , нецентральные распределения не являются симметричными  (медиана не совпадает с модой).
• Дискретное  распределение Стьюдента t определяется его функцией массы вероятности при r , пропорциональной: ^[24] Здесь a , b , и k являются параметрами. Это распределение возникает из построения системы дискретных распределений, подобной распределению Пирсона для непрерывных распределений. ^[25]$${\displaystyle \prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}\quad \quad r=\ldots ,-1,0,1,\ldots ~.}$$
• Можно сгенерировать выборки Стьюдента A ( t | ν ), взяв отношение переменных из нормального распределения и квадратный корень из распределения χ² . Если вместо нормального распределения использовать, например, распределение Ирвина–Холла , то в целом получим симметричное распределение с 4 параметрами, которое включает нормальное, равномерное , треугольное , распределение Стьюдента  t и распределение Коши . Это также более гибко, чем некоторые другие симметричные обобщения нормального распределения.
• Распределение t  является примером пропорциональных распределений .
• Квадрат случайной величины, распределенной t(n), распределен F(1,n) .

Распределение Стьюдента t  возникает в различных задачах статистической оценки, где целью является оценка неизвестного параметра, например, среднего значения, в условиях, когда данные наблюдаются с аддитивными ошибками . Если (как почти во всех практических статистических работах) среднеквадратическое отклонение этих ошибок неизвестно и должно быть оценено на основе данных, то распределение t часто используется для учета дополнительной неопределенности, которая возникает в результате этой оценки. В большинстве таких задач, если бы среднеквадратическое отклонение ошибок было известно, вместо распределения t  использовалось бы нормальное распределение  .

Доверительные интервалы и проверки гипотез — это две статистические процедуры, в которых требуются квантили выборочного распределения конкретной статистики (например, стандартной оценки ). В любой ситуации, когда эта статистика является линейной функцией данных , деленной на обычную оценку стандартного отклонения, полученное количество можно масштабировать и центрировать так, чтобы оно соответствовало распределению Стьюдента .  Статистический анализ, включающий средние значения, взвешенные средние значения и коэффициенты регрессии, приводит к статистике, имеющей такую ​​форму.

Довольно часто в задачах учебника среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности рассматривается так, как будто оно известно, и, таким образом, избегается необходимость использования распределения Стьюдента .  Эти задачи обычно бывают двух видов: (1) те, в которых размер выборки настолько велик, что можно рассматривать оценку дисперсии на основе данных так , как будто она определена, и (2) те, которые иллюстрируют математические рассуждения, в которых проблема оценки среднеквадратического отклонения временно игнорируется, поскольку это не то, что автор или преподаватель затем объясняет.

Можно показать, что ряд статистик имеет t-  распределения для выборок среднего размера при нулевых гипотезах , которые представляют интерес, так что t-  распределение формирует основу для тестов значимости. Например, распределение коэффициента ранговой корреляции Спирмена ρ в нулевом случае (нулевая корреляция) хорошо аппроксимируется t- распределением для выборок размером более 20. ^{[ необходима цитата ]}

Предположим, что число A выбрано таким образом, что

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ -A<T<A\ \right\}=0.9\ ,}$

когда T имеет распределение t  с n − 1   степенями свободы. По симметрии это то же самое, что сказать, что A удовлетворяет

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ T<A\ \right\}=0.95\ ,}$

поэтому A — это «95-й процентиль» этого распределения вероятностей, или Тогда${\displaystyle \ A=t_{(0.05,n-1)}~.}$

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ -A<{\frac {\ {\overline {X}}_{n}-\mu \ }{S_{n}/{\sqrt {n\ }}}}<A\ \right\}=0.9\ ,}$

и это эквивалентно

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {\overline {X}}_{n}-A{\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ \right\}=0.9.}$

Следовательно, интервал, конечные точки которого

${\displaystyle \ {\overline {X}}_{n}\ \pm A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ }$

является 90% доверительным интервалом для μ. Таким образом, если мы находим среднее значение набора наблюдений, которое, как мы можем обоснованно ожидать, будет иметь нормальное распределение, мы можем использовать t-  распределение, чтобы проверить, включают ли доверительные пределы этого среднего значения некоторое теоретически предсказанное значение – например, значение, предсказанное на основе нулевой гипотезы .

Именно этот результат используется в t-  критериях Стьюдента : поскольку разница между средними значениями выборок из двух нормальных распределений сама по себе распределена нормально, t-  распределение можно использовать для проверки того, можно ли обоснованно предположить, что эта разница равна нулю.

Если данные распределены нормально, то односторонний (1 − α ) верхний доверительный предел (UCL) среднего значения можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

${\displaystyle {\mathsf {UCL}}_{1-\alpha }={\overline {X}}_{n}+t_{\alpha ,n-1}\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}~.}$

Результирующий UCL будет наибольшим средним значением, которое будет иметь место для заданного доверительного интервала и размера популяции. Другими словами, будучи средним значением набора наблюдений, вероятность того, что среднее значение распределения ниже UCL _{1 − α} , равна уровню достоверности 1 − α .${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

Распределение t  можно использовать для построения интервала прогнозирования для ненаблюдаемой выборки из нормального распределения с неизвестным средним значением и дисперсией.

Распределение Стьюдента  , особенно в его трехпараметрической (масштаб-местоположение) версии, часто возникает в байесовской статистике в результате его связи с нормальным распределением. Всякий раз, когда дисперсия нормально распределенной случайной величины неизвестна и над ней помещается сопряженное априорное распределение, которое следует обратному гамма-распределению , результирующее маргинальное распределение переменной будет следовать распределению Стьюдента .  Эквивалентные конструкции с теми же результатами включают сопряженное масштабированное-обратное-хи-квадрат распределение по дисперсии или сопряженное гамма-распределение по точности . Если неправильное априорное распределение пропорционально ⁠1/ σ ² ⁠ помещается над дисперсией, также возникает распределение t  . Это имеет место независимо от того, известно ли среднее значение нормально распределенной переменной, неизвестно ли оно распределено в соответствии с сопряженным нормально распределенным априором или неизвестно распределено в соответствии с несобственным постоянным априором.

Связанные ситуации, которые также приводят к распределению t  :

• Маргинальное апостериорное распределение неизвестного среднего значения нормально распределенной переменной с неизвестным априорным средним значением и дисперсией в соответствии с вышеприведенной моделью.
• Априорное прогнозируемое распределение и апостериорное прогнозируемое распределение новой нормально распределенной точки данных, когда наблюдаются ряд независимых одинаково распределенных нормально распределенных точек данных с априорным средним значением и дисперсией, как в приведенной выше модели.

Распределение t  часто используется как альтернатива нормальному распределению в качестве модели для данных, которые часто имеют более тяжелые хвосты, чем допускает нормальное распределение; см., например, Lange et al. ^[26] Классический подход заключался в выявлении выбросов (например, с помощью теста Граббса ) и исключении или понижении их веса каким-либо образом. Однако не всегда легко выявить выбросы (особенно в больших размерностях ), и распределение t  является естественным выбором модели для таких данных и обеспечивает параметрический подход к надежной статистике .

Байесовский отчет можно найти в Gelman et al. ^[27] Параметр степеней свободы контролирует эксцесс распределения и коррелирует с параметром масштаба. Правдоподобие может иметь несколько локальных максимумов, и, как таковое, часто необходимо зафиксировать степени свободы на довольно низком значении и оценить другие параметры, принимая это как данность. Некоторые авторы ^{[ требуется цитата ]} сообщают, что значения от 3 до 9 часто являются хорошим выбором. Venables и Ripley ^{[ требуется цитата ]} предполагают, что значение 5 часто является хорошим выбором.

Для практических нужд регрессии и прогнозирования были введены процессы Стьюдента t  , которые являются обобщениями распределений Стьюдента t  для функций. Процесс Стьюдента t  строится из распределений Стьюдента t  , как гауссовский процесс строится из гауссовых распределений . Для гауссовского процесса все наборы значений имеют многомерное гауссовское распределение. Аналогично, является процессом Стьюдента t  на интервале , если соответствующие значения процесса ( ) имеют совместное многомерное  распределение Стьюдента t . ^[28] Эти процессы используются для регрессии, прогнозирования, байесовской оптимизации и связанных с ними задач. Для многомерной регрессии и многовыходного прогнозирования  вводятся и используются многомерные процессы Стьюдента t . ^[29]${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle \ X(t_{1}),\ \ldots \ ,X(t_{n})\ }$${\displaystyle t_{i}\in I}$

В следующей таблице перечислены значения для  распределений t с ν степенями свободы для диапазона односторонних или двусторонних критических областей. Первый столбец — ν , проценты сверху — уровни достоверности , а числа в теле таблицы — факторы, описанные в разделе о доверительных интервалах.${\displaystyle \ \alpha \ ,}$${\displaystyle t_{\alpha ,n-1}}$

Последняя строка с бесконечным ν дает критические точки для нормального распределения, поскольку t-  распределение с бесконечным числом степеней свободы является нормальным распределением. (См. Связанные распределения выше).

Расчет доверительного интервала

Допустим, у нас есть выборка размером 11, выборочное среднее значение 10 и выборочная дисперсия 2. Для 90%-ной достоверности с 10 степенями свободы одностороннее значение t  из таблицы равно 1,372. Тогда с доверительным интервалом, рассчитанным из

${\displaystyle \ {\overline {X}}_{n}\pm t_{\alpha ,\nu }\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ ,}$

мы определяем, что с 90% уверенностью мы имеем истинное среднее значение, лежащее ниже

${\displaystyle \ 10+1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}=10.585~.}$

Другими словами, в 90% случаев, когда верхний порог рассчитывается этим методом на основе конкретных образцов, этот верхний порог превышает истинное среднее значение.

И с 90% уверенностью мы имеем истинное среднее значение, лежащее выше

${\displaystyle \ 10-1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}=9.414~.}$

Другими словами, в 90% случаев, когда нижний порог рассчитывается этим методом на основе конкретных образцов, этот нижний порог лежит ниже истинного среднего значения.

Таким образом, при 80%-ной достоверности (рассчитанной как 100% − 2 × (1 − 90%) = 80%) мы имеем истинное среднее значение, лежащее в интервале

${\displaystyle \left(\ 10-1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }},\ 10+1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}\ \right)=(\ 9.414,\ 10.585\ )~.}$

Утверждение, что в 80% случаев, когда верхний и нижний пороги вычисляются этим методом из заданной выборки, истинное среднее значение оказывается как ниже верхнего порога, так и выше нижнего порога, не то же самое, что утверждение, что существует 80%-ная вероятность того, что истинное среднее значение лежит между конкретной парой верхних и нижних порогов, которые были вычислены этим методом; см. доверительный интервал и ошибка прокурора .

В настоящее время статистическое программное обеспечение, такое как язык программирования R , и функции, доступные во многих программах для работы с электронными таблицами, вычисляют значения t-  распределения и его обратной функции без таблиц.

• Сенн, С.; Ричардсон, В. (1994). «Первый t-  тест». Статистика в медицине . 13 (8): 785–803. doi :10.1002/sim.4780130802. PMID  8047737.
• Хогг Р.В. , Крейг А.Т. (1978). Введение в математическую статистику (4-е изд.). Нью-Йорк: Macmillan. ASIN  B010WFO0SA.
• Венейблс, В. Н.; Рипли, Б. Д. (2002). Современная прикладная статистика с S (четвертое издание). Springer.
• Гельман, Эндрю; Джон Б. Карлин; Хэл С. Стерн; Дональд Б. Рубин (2003). Байесовский анализ данных (второе издание). CRC/Chapman & Hall. ISBN 1-58488-388-X.

• «Распределение студентов», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Самые ранние известные случаи использования некоторых слов из математики (S) (Замечания по истории термина «распределение Стьюдента»)
• Руо, М. (2013), Вероятность, статистика и оценка (PDF) (краткое издание)Первые студенты на странице 112.
• Распределение Стьюдента, архив 2021-04-10 на Wayback Machine