Основное количество

В статистике опорная величина или стержень — это функция наблюдений и ненаблюдаемых параметров, такая, что распределение вероятностей функции не зависит от неизвестных параметров (включая мешающие параметры ). ^[1] Опорный элемент не обязательно должен быть статистикой — функция и ее «значение» могут зависеть от параметров модели, но ее «распределение» не должно. Если это статистика, то она известна как « вспомогательная статистика ».

Более формально, ^[2] пусть будет случайной выборкой из распределения, которое зависит от параметра (или вектора параметров) . Пусть будет случайной величиной, распределение которой одинаково для всех . Тогда называется «основной величиной» (или просто «основой»).${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$${\displaystyle \тета}$${\displaystyle g(X,\theta)}$${\displaystyle \тета}$${\displaystyle г}$

Сводные величины обычно используются для нормализации, чтобы можно было сравнивать данные из разных наборов данных. Относительно легко построить сводные величины для параметров местоположения и масштаба: для первых мы формируем различия, чтобы местоположение отменялось, для вторых — отношения, чтобы масштаб отменялся.

Основные величины имеют основополагающее значение для построения тестовых статистик , поскольку они позволяют статистике не зависеть от параметров — например, t-статистика Стьюдента предназначена для нормального распределения с неизвестной дисперсией (и средним значением). Они также предоставляют один из методов построения доверительных интервалов , а использование основных величин улучшает производительность бутстрапа . В форме вспомогательных статистик их можно использовать для построения частотных интервалов прогнозирования (прогностических доверительных интервалов).

Одной из самых простых основных величин является z-оценка . При наличии нормального распределения со средним значением и дисперсией и наблюдения 'x', z-оценка:${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }},}$

имеет распределение – нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией 1. Аналогично, поскольку среднее значение выборки n имеет выборочное распределение , z-оценка среднего значения ${\displaystyle N(0,1)}$${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2}/n)}$

${\displaystyle z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

также имеет распределение. Обратите внимание, что хотя эти функции зависят от параметров (и, следовательно, их можно вычислить, только если параметры известны (они не являются статистикой)), распределение не зависит от параметров.${\displaystyle N(0,1).}$

Учитывая независимые, одинаково распределенные (iid) наблюдения из нормального распределения с неизвестным средним значением и дисперсией , из функции можно получить основную величину:${\displaystyle n}$${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle g(x,X)={\frac {x-{\overline {X}}}{s/{\sqrt {n}}}}}$

где

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}}$

и

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}$

являются несмещенными оценками и , соответственно. Функция представляет собой t-статистику Стьюдента для нового значения , которое должно быть взято из той же совокупности, что и уже наблюдаемый набор значений .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle g(x,X)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

Использование функции становится стержневой величиной, которая также распределена по распределению Стьюдента со степенями свободы. Как и требуется, хотя и выступает в качестве аргумента функции , распределение не зависит от параметров или нормального распределения вероятностей, которое управляет наблюдениями .${\displaystyle x=\mu }$${\displaystyle g(\mu ,X)}$${\displaystyle \nu =n-1}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(\mu ,X)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$

Это можно использовать для вычисления интервала прогнозирования для следующего наблюдения ( см. Интервал прогнозирования: Нормальное распределение ).${\displaystyle X_{n+1};}$

В более сложных случаях невозможно построить точные опорные точки. Однако наличие приближенных опорных точек улучшает сходимость к асимптотической нормальности .

Предположим, что выборка размера векторов взята из двумерного нормального распределения с неизвестной корреляцией . ${\displaystyle n}$${\displaystyle (X_{i},Y_{i})'}$ ${\displaystyle \rho }$

Оценкой является выборочная (Пирсоновская, моментная) корреляция${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle r={\frac {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{s_{X}s_{Y}}}}$

где — выборочные дисперсии и . Выборочная статистика имеет асимптотически нормальное распределение:${\displaystyle s_{X}^{2},s_{Y}^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\sqrt {n}}{\frac {r-\rho }{1-\rho ^{2}}}\Rightarrow N(0,1)}$.

Однако, дисперсионно-стабилизирующее преобразование

${\displaystyle z={\rm {{tanh}^{-1}r={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}}}}$

Известное как z-преобразование Фишера коэффициента корреляции позволяет создать распределение, асимптотически независимое от неизвестных параметров:${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\sqrt {n}}(z-\zeta )\Rightarrow N(0,1)}$

где — соответствующий параметр распределения. Для конечных размеров выборки случайная величина будет иметь распределение, более близкое к нормальному, чем у . Еще более близкое приближение к стандартному нормальному распределению получается при использовании лучшего приближения для точной дисперсии: обычная форма —${\displaystyle \zeta ={\rm {tanh}}^{-1}\rho }$${\displaystyle n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (z)\approx {\frac {1}{n-3}}}$.

С точки зрения надежной статистики , основные величины надежны к изменениям параметров — действительно, независимо от параметров — но в целом не надежны к изменениям в модели, таким как нарушения предположения о нормальности. Это имеет основополагающее значение для надежной критики ненадежной статистики, часто выведенной из основных величин: такая статистика может быть надежной внутри семейства, но не надежной вне его.

• Нормализация (статистика)