Топология струны

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить ее, чтобы сделать ее понятной для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Март 2022 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Топология струн , раздел математики , является изучением алгебраических структур на гомологии свободных пространств петель . Область была основана Мойрой Час и Деннисом Салливаном  (1999).

В то время как сингулярные когомологии пространства всегда имеют структуру произведения, это неверно для сингулярных гомологий пространства. Тем не менее, можно построить такую ​​структуру для ориентированного многообразия размерности . Это так называемое произведение пересечений . Интуитивно его можно описать следующим образом: заданы классы и , берем их произведение и делаем его трансверсальным диагонали . Тогда пересечение является классом в , произведением пересечений и . Один из способов сделать эту конструкцию строгой — использовать стратифолды .${\displaystyle М}$${\displaystyle д}$${\displaystyle x\in H_{p}(M)}$${\displaystyle y\in H_{q}(M)}$${\displaystyle x\times y\in H_{p+q}(M\times M)}$${\displaystyle M\hookrightarrow M\times M}$${\displaystyle H_{p+qd}(M)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

Другой случай, когда гомология пространства имеет произведение, — это (базированное) пространство петель пространства . Здесь само пространство имеет произведение ${\displaystyle \Омега X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle m\colon \Omega X\times \Omega X\to \Omega X}$

пройдя сначала через первый цикл, а затем через второй. Аналогичной структуры произведения для свободного пространства циклов всех отображений от до не существует , поскольку два цикла не обязательно должны иметь общую точку. Заменой отображения является отображение ${\displaystyle LX}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle м}$

${\displaystyle \gamma \colon {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)\to LM}$

где — подпространство , где значение двух циклов совпадает в 0 и определяется снова путем композиции циклов.${\displaystyle {\rm {Карта}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$${\displaystyle LM\times LM}$${\displaystyle \гамма}$

Идея продукта Часа–Салливана заключается в том, чтобы теперь объединить структуры продукта, указанные выше. Рассмотрим два класса и . Их продукт находится в . Нам нужна карта${\displaystyle x\in H_{p}(LM)}$${\displaystyle y\in H_{q}(LM)}$${\displaystyle x\times y}$${\displaystyle H_{p+q}(LM\times LM)}$

${\displaystyle i^{!}\colon H_{p+q}(LM\times LM)\to H_{p+qd}({\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)).}$

Один из способов построить это — использовать стратифолды (или другое геометрическое определение гомологии) для выполнения трансверсального пересечения (после интерпретации как включения многообразий Гильберта ). Другой подход начинается с отображения коллапса из в пространство Тома нормального расслоения . Составляя индуцированное отображение в гомологии с изоморфизмом Тома , мы получаем желаемое отображение.${\displaystyle {\rm {Карта}}(S^{1}\lor S^{1},M)\subset LM\times LM}$${\displaystyle LM\times LM}$${\displaystyle {\rm {Карта}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$

Теперь мы можем составить композицию с индуцированным отображением , чтобы получить класс в , произведение Часа–Салливана и (см., например, Cohen & Jones (2002)).${\displaystyle я^{!}}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle H_{p+qd}(LM)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

• Как и в случае с произведением пересечений, существуют различные соглашения о знаках относительно произведения Часа–Салливана. В некоторых соглашениях оно градуировано коммутативно, в некоторых — нет.
• Та же конструкция работает, если мы заменим ее другой мультипликативной теорией гомологии, если она ориентирована относительно .${\displaystyle H}$ ${\displaystyle ч}$${\displaystyle М}$${\displaystyle ч}$
• Более того, мы можем заменить на . Простым изменением вышеприведенной конструкции получаем, что является модулем над , если является многообразием размерностей .${\displaystyle ЛМ}$${\displaystyle L^{n}M={\rm {Карта}}(S^{n},M)}$${\displaystyle {\mathcal {}}h_{*}({\rm {Карта}}(Н,М))}$${\displaystyle {\mathcal {}}h_{*}L^{n}M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$
• Спектральная последовательность Серра совместима с указанными выше алгебраическими структурами как для расслоения волокон с волокном, так и для расслоения волокон для расслоения волокон , что важно для вычислений (см. Cohen, Jones & Yan (2004) и Meier (2010) ).${\displaystyle {\rm {ev}}\colon LM\to M}$${\displaystyle \Omega M}$${\displaystyle LE\to LB}$${\displaystyle E\to B}$ harvtxt error: no target: CITEREFMeier2010 (help)

Есть действие вращения, которое индуцирует отображение ${\displaystyle S^{1}\times LM\to LM}$

${\displaystyle H_{*}(S^{1})\otimes H_{*}(LM)\to H_{*}(LM)}$.

Подключение фундаментального класса дает оператор ${\displaystyle [S^{1}]\in H_{1}(S^{1})}$

${\displaystyle \Delta \colon H_{*}(LM)\to H_{*+1}(LM)}$

степени 1. Можно показать, что этот оператор хорошо взаимодействует с произведением Часа–Салливана в том смысле, что они вместе образуют структуру алгебры Баталина–Вилковыского на . Этот оператор, как правило, трудно вычислить в общем случае. Определяющие тождества алгебры Баталина–Вилковыского были проверены в оригинальной статье «по картинкам». Менее прямой, но, возможно, более концептуальный способ сделать это — использовать действие операды кактуса на свободном пространстве петель . ^[1] Операда кактуса слабо эквивалентна операде обрамленных маленьких дисков ^[2] , и ее действие на топологическом пространстве подразумевает структуру Баталина–Вилковыского на гомологии. ^[3]${\displaystyle {\mathcal {}}H_{*}(LM)}$${\displaystyle LM}$

Существует несколько попыток построить (топологические) теории поля через топологию струн. Основная идея заключается в том, чтобы зафиксировать ориентированное многообразие и связать с каждой поверхностью с входящими и выходящими компонентами границы (с ) операцию${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{*}(LM)^{\otimes p}\to H_{*}(LM)^{\otimes q}}$

что удовлетворяет обычным аксиомам для топологической теории поля . Произведение Часа–Салливана связано с парой брюк . Можно показать, что эти операции равны 0, если род поверхности больше 0 (Tamanoi (2010)).

• Час, Мойра; Салливан, Деннис (1999). «Топология струн». arXiv : math/9911159v1 .
• Коэн, Ральф Л.; Джонс, Джон Д.С. (2002). «Теоретическая гомотопическая реализация топологии струн». Mathematische Annalen . 324 (4): 773–798. arXiv : math/0107187 . doi :10.1007/s00208-002-0362-0. MR  1942249. S2CID  16916132.
• Cohen, Ralph Louis ; Jones, John DS; Yan, Jun (2004). «Алгебра гомологии петель сфер и проективных пространств». В Arone, Gregory; Hubbuck, John; Levi, Ran; Weiss, Michael (ред.). Методы категориального разложения в алгебраической топологии: Международная конференция по алгебраической топологии, остров Скай, Шотландия, июнь 2001 г. Birkhäuser . стр. 77–92.
• Мейер, Леннарт (2011). «Спектральные последовательности в топологии струн». Алгебраическая и геометрическая топология . 11 (5): 2829–2860. arXiv : 1001.4906 . doi :10.2140/agt.2011.11.2829. MR  2846913. S2CID  58893087.
• Таманой, Хиротака (2010). «Петлевые копроизведения в топологии строк и тривиальность операций TQFT высшего рода». Журнал чистой и прикладной алгебры . 214 (5): 605–615. arXiv : 0706.1276 . doi : 10.1016/j.jpaa.2009.07.011. MR  2577666. S2CID  2147096.