Параметры Стокса

Параметры Стокса представляют собой набор значений, описывающих состояние поляризации электромагнитного излучения . Они были определены Джорджем Габриэлем Стоксом в 1852 году ^{[1] [2]} как математически удобная альтернатива более распространенному описанию некогерентного или частично поляризованного излучения в терминах его полной интенсивности ( I ), (дробной) степени поляризации ( p ) и параметров формы эллипса поляризации . Влияние оптической системы на поляризацию света можно определить, построив вектор Стокса для входящего света и применив исчисление Мюллера , чтобы получить вектор Стокса света, выходящего из системы. Их можно определить из непосредственно наблюдаемых явлений. Оригинальная статья Стокса была открыта независимо Фрэнсисом Перреном в 1942 году ^[3] и Субрахаманьяном Чандрасекаром в 1947 году ^{[4] [5],} которые назвали ее параметрами Стокса.

Связь параметров Стокса S ₀ , S ₁ , S ₂ , S ₃ с параметрами эллипса интенсивности и поляризации показана в уравнениях ниже и на рисунке справа.

${\displaystyle {\begin{align}S_{0}&=I\\S_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=Ip\sin 2\chi \end{align}}}$

Здесь , и - сферические координаты трехмерного вектора декартовых координат . - полная интенсивность пучка, а - степень поляризации, ограниченная . Множитель два перед представляет тот факт, что любой эллипс поляризации неотличим от повернутого на 180°, в то время как множитель два перед указывает на то, что эллипс неотличим от эллипса с переставленными длинами полуосей, сопровождаемыми поворотом на 90°. Фазовая информация поляризованного света не записывается в параметрах Стокса. Четыре параметра Стокса иногда обозначаются как I , Q , U и V , соответственно.${\displaystyle IP}$${\displaystyle 2\пси}$${\displaystyle 2\чи}$ ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3})}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$${\displaystyle \пси}$${\displaystyle \чи}$

Учитывая параметры Стокса, можно решить сферические координаты с помощью следующих уравнений:

${\displaystyle {\begin{align}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{align}}}$

Параметры Стокса часто объединяются в вектор, известный как вектор Стокса :

${\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}$

Вектор Стокса охватывает пространство неполяризованного, частично поляризованного и полностью поляризованного света. Для сравнения, вектор Джонса охватывает только пространство полностью поляризованного света, но более полезен для задач, связанных с когерентным светом. Четыре параметра Стокса не являются предпочтительной системой координат пространства, а были выбраны потому, что их можно легко измерить или рассчитать.

Обратите внимание, что существует неоднозначный знак для компонента в зависимости от используемого физического соглашения. На практике используются два отдельных соглашения: либо определение параметров Стокса при взгляде вниз по лучу к источнику (противоположно направлению распространения света), либо при взгляде вниз по лучу от источника (совпадает с направлением распространения света). Эти два соглашения приводят к разным знакам для , и необходимо выбрать и придерживаться соглашения.${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Ниже показаны некоторые векторы Стокса для общих состояний поляризации света.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (горизонтальный)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (вертикальный)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (+45°)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (−45°)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$	Правосторонний круговой поляризованный
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}}$	Левосторонний круговой поляризованный
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Неполяризованный

Монохроматическая плоская волна задается ее вектором распространения , , и комплексными амплитудами электрического поля , и , в базисе . Пара называется вектором Джонса . В качестве альтернативы можно задать вектор распространения, фазу , , и состояние поляризации , , где — кривая , вычерченная электрическим полем как функция времени в фиксированной плоскости. Наиболее известными состояниями поляризации являются линейная и круговая, которые являются вырожденными случаями наиболее общего состояния — эллипса .${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1}, {\hat {\epsilon }}_{2})}$${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$${\displaystyle \фи}$${\displaystyle \Пси}$${\displaystyle \Пси}$

Один из способов описания поляризации — задать большую и малую полуоси эллипса поляризации, его ориентацию и направление вращения (см. рисунок выше). Параметры Стокса , , , и , предоставляют альтернативное описание состояния поляризации, которое удобно экспериментально, поскольку каждый параметр соответствует сумме или разности измеряемых интенсивностей. На следующем рисунке показаны примеры параметров Стокса в вырожденных состояниях.${\displaystyle Я}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

Параметры Стокса определяются ^{[ требуется ссылка ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle +\langle E_{y}^{2}\rangle \\&=\langle E_{a}^{2 }\rangle +\langle E_{b}^{2}\rangle \\&=\langle E_{r}^{2}\rangle +\langle E_{l}^{2}\rangle ,\\Q&\ equiv \langle E_{x}^{2}\rangle -\langle E_{y}^{2}\rangle ,\\U&\equiv \langle E_{a}^{2}\rangle -\langle E_{b }^{2}\rangle ,\\V&\equiv \langle E_{r}^{2}\rangle -\langle E_{l}^{2}\rangle .\end{выровнено}}}$

где нижние индексы относятся к трем различным базам пространства векторов Джонса : стандартный декартов базис ( ), декартов базис, повернутый на 45° ( ), и круговой базис ( ). Круговой базис определяется так, что , .${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$${\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}$${\displaystyle {\шляпа {l}}, {\шляпа {r}}}$${\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\hat {r}}=({\hat {x}}-i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$

Символы ⟨⋅⟩ представляют собой ожидаемые значения . Свет можно рассматривать как случайную величину, принимающую значения в пространстве C ² векторов Джонса . Любое заданное измерение дает определенную волну (с определенной фазой, эллипсом поляризации и величиной), но она продолжает мерцать и колебаться между различными результатами. Ожидаемые значения представляют собой различные средние значения этих результатов. Интенсивный, но неполяризованный свет будет иметь I > 0, но Q = U = V = 0, что отражает тот факт, что ни один тип поляризации не преобладает. Убедительная форма волны изображена в статье о когерентности .${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$

Противоположностью был бы идеально поляризованный свет, который, кроме того, имеет фиксированную, неизменяемую амплитуду — чистую синусоидальную кривую. Это представлено случайной величиной с единственным возможным значением, скажем . В этом случае можно заменить скобки на абсолютные значения полос, получив четко определенную квадратичную карту ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}I\equiv |E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}=|E_{r}|^{2}+|E_{l}|^{2}\\Q\equiv |E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U\equiv |E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V\equiv |E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\end{matrix}}}$

из векторов Джонса в соответствующие векторы Стокса; более удобные формы приведены ниже. Карта берет свое изображение в конусе, определяемом как | I | ² = | Q | ² + | U | ² + | V | ² , где чистота состояния удовлетворяет p = 1 (см. ниже).

На следующем рисунке показано, как знаки параметров Стокса определяются спиральностью и ориентацией большой полуоси эллипса поляризации.

В фиксированном ( ) базисе параметры Стокса при использовании соглашения об увеличении фазы равны${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\Q&=|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&=2\mathrm {Re} (E_{x}E_{y}^{*}),\\V&=-2\mathrm {Im} (E_{x}E_{y}^{*}),\\\end{aligned}}}$

в то время как для , они являются${\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\Q&=-2\mathrm {Re} (E_{a}^{*}E_{b}),\\U&=|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&=2\mathrm {Im} (E_{a}^{*}E_{b}).\\\end{aligned}}}$

и для , они есть${\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&=2\mathrm {Re} (E_{l}^{*}E_{r}),\\U&=-2\mathrm {Im} (E_{l}^{*}E_{r}),\\V&=|E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\\\end{aligned}}}$

Для чисто монохроматического когерентного излучения из приведенных выше уравнений следует, что

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},}$

тогда как для всего (некогерентного) пучкового излучения параметры Стокса определяются как усредненные величины, и предыдущее уравнение становится неравенством: ^[6]

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.}$

Однако мы можем определить общую интенсивность поляризации , так что${\displaystyle I_{p}}$

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},}$

где — общая доля поляризации.${\displaystyle I_{p}/I}$

Определим комплексную интенсивность линейной поляризации как

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\equiv |L|e^{i2\theta }\\&\equiv Q+iU.\\\end{aligned}}}$

При вращении эллипса поляризации можно показать, что и инвариантны, но${\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}$${\displaystyle I}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\rightarrow e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow {\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow {\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{aligned}}}$

С учетом этих свойств параметры Стокса можно рассматривать как составляющие три обобщенные интенсивности:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\geq 0,\\V&\in \mathbb {R} ,\\L&\in \mathbb {C} ,\\\end{aligned}}}$

где — полная интенсивность, — интенсивность круговой поляризации, — интенсивность линейной поляризации. Полная интенсивность поляризации равна , а ориентация и направление вращения определяются как${\displaystyle I}$${\displaystyle |V|}$${\displaystyle |L|}$${\displaystyle I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Так как и , то имеем${\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}$${\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|L|&={\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &={\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{aligned}}}$

С точки зрения параметров эллипса поляризации параметры Стокса равны

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{p}&=A^{2}+B^{2},\\Q&=(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=2ABh.\\\end{aligned}}}$

Обращение предыдущего уравнения дает

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Параметры Стокса (и, следовательно, поляризация некоторого электромагнитного излучения) могут быть непосредственно определены из наблюдений. ^[7] Используя линейный поляризатор и четвертьволновую пластину , можно получить следующую систему уравнений, связывающую параметры Стокса с измеренной интенсивностью: ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{l}(0)&={\frac {1}{2}}(I+Q)\\I_{l}({\frac {\pi }{4}})&={\frac {1}{2}}(I+U)\\I_{l}({\frac {\pi }{2}})&={\frac {1}{2}}(I-Q)\\I_{q}({\frac {\pi }{4}})&={\frac {1}{2}}(I+V),\\\end{aligned}}}$$

где - облученность излучения в точке, когда линейный поляризатор повернут на угол , и аналогично - облученность в точке, когда четвертьволновая пластина повернут на угол . Система может быть реализована с использованием обеих пластин одновременно под разными углами для измерения параметров. Это может дать более точное измерение относительных величин параметров (что часто является основным желаемым результатом) из-за того, что на все параметры влияют одни и те же потери.${\displaystyle I_{l}(\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle I_{q}(\theta )}$${\displaystyle \theta }$

С геометрической и алгебраической точек зрения параметры Стокса находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутым, выпуклым, 4-мерным вещественным конусом неотрицательных эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве C ² . Параметр I служит следом оператора, тогда как элементы матрицы оператора являются простыми линейными функциями четырех параметров I , Q , U , V , выступающими коэффициентами в линейной комбинации операторов Стокса . Собственные значения и собственные векторы оператора могут быть вычислены из параметров эллипса поляризации I , p , ψ , χ .

Параметры Стокса с I, равным 1 (т.е. операторы следа 1), находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутым единичным 3-мерным шаром смешанных состояний (или операторов плотности ) квантового пространства C ² , границей которого является сфера Блоха . Векторы Джонса соответствуют базовому пространству C ² , т.е. (ненормализованным) чистым состояниям той же системы. Обратите внимание, что общая фаза (т.е. общий фазовый множитель между двумя составляющими волнами на двух перпендикулярных осях поляризации) теряется при переходе от чистого состояния |φ⟩ к соответствующему смешанному состоянию |φ⟩⟨φ|, так же как она теряется при переходе от вектора Джонса к соответствующему вектору Стокса.

В базисе горизонтального состояния поляризации и вертикального состояния поляризации состояние линейной поляризации +45° равно , состояние линейной поляризации -45° равно , состояние левосторонней круговой поляризации равно , а состояние правосторонней круговой поляризации равно . Легко видеть, что эти состояния являются собственными векторами матриц Паули , и что нормализованные параметры Стокса ( U/I , V/I , Q/I ) соответствуют координатам вектора Блоха ( , , ). Эквивалентно, мы имеем , , , где - матрица плотности смешанного состояния. ${\displaystyle |H\rangle }$${\displaystyle |V\rangle }$${\displaystyle |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )}$${\displaystyle |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -|V\rangle )}$${\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +i|V\rangle )}$${\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -i|V\rangle )}$${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$${\displaystyle U/I=tr\left(\rho \sigma _{x}\right)}$${\displaystyle V/I=tr\left(\rho \sigma _{y}\right)}$${\displaystyle Q/I=tr\left(\rho \sigma _{z}\right)}$${\displaystyle \rho }$

Как правило, линейная поляризация под углом θ имеет чистое квантовое состояние ; поэтому коэффициент пропускания линейного поляризатора /анализатора под углом θ для источника света в смешанном состоянии с матрицей плотности равен , с максимальным коэффициентом пропускания при , или при , если ; минимальный коэффициент пропускания достигается в перпендикулярном к максимальному направлению пропускания направлении. Здесь отношение максимального коэффициента пропускания к минимальному определяется как коэффициент затухания , где степень линейной поляризации равна . Эквивалентно, формулу для коэффициента пропускания можно переписать как , что является расширенной формой закона Малюса ; здесь оба неотрицательны и связаны с коэффициентом затухания соотношением . Два из нормализованных параметров Стокса также могут быть рассчитаны по формуле .${\displaystyle |\theta \rangle =\cos {\theta }|H\rangle +\sin {\theta }|V\rangle }$${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+a_{x}\sigma _{x}+a_{y}\sigma _{y}+a_{z}\sigma _{z}\right)}$${\displaystyle tr(\rho |\theta \rangle \langle \theta |)={\frac {1}{2}}\left(1+a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta }\right)}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}})}$${\displaystyle \theta _{0}={\frac {1}{2}}\arctan {(a_{x}/a_{z})}}$${\displaystyle a_{z}>0}$${\displaystyle \theta _{0}={\frac {1}{2}}\arctan {(a_{x}/a_{z})}+{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle a_{z}<0}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}})}$ ${\displaystyle ER=(1+DOLP)/(1-DOLP)}$${\displaystyle DOLP={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}}}$${\displaystyle A\cos ^{2}{(\theta -\theta _{0})}+B}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle ER=(A+B)/B}$${\displaystyle a_{x}=DOLP\sin {2\theta _{0}},\,a_{z}=DOLP\cos {2\theta _{0}},\,DOLP=(ER-1)/(ER+1)}$

Также стоит отметить, что поворот оси поляризации на угол θ соответствует оператору поворота сферы Блоха . Например, горизонтальное состояние поляризации повернется на . Эффект четвертьволновой пластины, выровненной по горизонтальной оси, описывается , или, что эквивалентно, фазовым затвором S , а результирующий вектор Блоха становится . При такой конфигурации, если мы применим метод вращающегося анализатора для измерения коэффициента затухания, мы сможем вычислить и также проверить . Чтобы этот метод работал, быстрая ось и медленная ось волновой пластины должны быть выровнены с опорными направлениями для базисных состояний.${\displaystyle R_{y}(2\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$${\displaystyle |H\rangle }$${\displaystyle |\theta \rangle =\cos {\theta }|H\rangle +\sin {\theta }|V\rangle }$${\displaystyle R_{z}(\pi /2)={\begin{bmatrix}e^{-i\pi /4}&0\\0&e^{+i\pi /4}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle (-a_{y},a_{x},a_{z})}$${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$

Эффект четвертьволновой пластины, повернутой на угол θ, можно определить по формуле вращения Родригеса как , при этом . Коэффициент пропускания полученного света через линейный поляризатор (анализаторную пластину) вдоль горизонтальной оси можно рассчитать, используя ту же формулу вращения Родригеса и сосредоточившись на ее компонентах на и :${\displaystyle R_{n}(\pi /2)={\frac {1}{\sqrt {2}}}I-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}$${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}\cos {2\theta }+{\hat {x}}\sin {2\theta }}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=tr[R_{n}(\pi /2)\rho R_{n}(-\pi /2)|H\rangle \langle H|]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+(a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta })\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left(1+a_{y}\sin {2\theta }+DOLP\times {\frac {\cos {(4\theta -2\theta _{0})}+\cos {(2\theta _{0})}}{2}}\right)\end{aligned}}}$

Вышеприведенное выражение является теоретической основой многих поляриметров. Для неполяризованного света T=1/2 является константой. Для чисто циркулярно поляризованного света T имеет синусоидальную зависимость от угла θ с периодом 180 градусов и может достигать абсолютного затухания, когда T=0. Для чисто линейно поляризованного света T имеет синусоидальную зависимость от угла θ с периодом 90 градусов, и абсолютное затухание достижимо только тогда, когда исходная поляризация света находится под углом 90 градусов к поляризатору (т. е. ). В этой конфигурации и , с максимумом 1/2 при θ=45° и точкой затухания при θ=0°. Этот результат можно использовать для точного определения быстрой или медленной оси четвертьволновой пластины, например, используя поляризационный расщепитель луча для получения линейно поляризованного света, выровненного с пластиной анализатора, и вращая четвертьволновую пластину между ними.${\displaystyle a_{z}=-1}$${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle T={\frac {1-\cos {(4\theta )}}{4}}}$

Аналогично, эффект полуволновой пластины, повернутой на угол θ, описывается выражением , которое преобразует матрицу плотности в:${\displaystyle R_{n}(\pi )=-i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}(\pi )\rho R_{n}(-\pi )&={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot [-{\vec {\sigma }}+2{\hat {n}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[I-{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+2({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\right]\end{aligned}}}$

Вышеприведенное выражение показывает, что если исходный свет имеет чистую линейную поляризацию (т.е. ), то результирующий свет после полуволновой пластины все еще имеет чистую линейную поляризацию (т.е. без компонента) с повернутой главной осью. Такое вращение линейной поляризации имеет синусоидальную зависимость от угла θ с периодом 90 градусов.${\displaystyle a_{y}=0}$${\displaystyle \sigma _{y}}$

• исчисление Мюллера
• исчисление Джонса
• Поляризация (волны)
• Модель неба Рэлея
• Операторы Стокса
• Смешение поляризации

• Джексон, Дж. Д., Классическая электродинамика , John Wiley & Sons, 1999. ISBN 9780471309321 
• Стоун, Дж. М., Радиация и оптика , McGraw-Hill, 1963.
• Коллетт, Э., Полевое руководство по поляризации , SPIE Field Guides, том FG05 , SPIE, 2005. ISBN 0-8194-5868-6 . 
• Э. Хехт, Оптика , 2-е изд., Эддисон-Уэсли (1987). ISBN 0-201-11609-X . 
• Уильям Х. Макмастер (1954). «Поляризация и параметры Стокса». Am. J. Phys . 22 (6): 351. Bibcode : 1954AmJPh..22..351M. doi : 10.1119/1.1933744.
• Уильям Х. Макмастер (1961). "Матричное представление поляризации". Rev. Mod. Phys . 33 (1): 8. Bibcode :1961RvMP...33....8M. doi :10.1103/RevModPhys.33.8.