Пучок алгебр

This article may be too technical for most readers to understand. Please help improve it to make it understandable to non-experts, without removing the technical details. (November 2023) (Learn how and when to remove this message)

В алгебраической геометрии пучок алгебр на кольчатом пространстве X — это пучок коммутативных колец на X , который также является пучком -модулей${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ . Он квазикогерентен, если он таков как модуль.

Когда X является схемой , как и кольцо, можно взять глобальный Spec квазикогерентного пучка алгебр: это приводит к контравариантному функтору из категории квазикогерентных (пучков) -алгебр на X в категорию схем, которые аффинны над X (определены ниже). Более того, это эквивалентность: квазиобратный задается отправкой аффинного морфизма в ^[1]${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}.}$

Морфизм схем называется аффинным, если имеет открытое аффинное покрытие , такое, что аффинно. ^[2] Например, конечный морфизм является аффинным. Аффинный морфизм является квазикомпактным и отделимым ; в частности, прямой образ квазикогерентного пучка вдоль аффинного морфизма является квазикогерентным.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle f^{-1}(U_{i})}$

Базовое изменение аффинного морфизма является аффинным. ^[3]

Пусть — аффинный морфизм между схемами и локально окольцованным пространством вместе с отображением . Тогда естественное отображение между множествами:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle E}$${\displaystyle g:E\to Y}$

${\displaystyle \operatorname {Mor} _{Y}(E,X)\to \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{Y}-{\text{alg}}}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X},g_{*}{\mathcal {O}}_{E})}$

является биективным. ^[4]

• Пусть — нормализация алгебраического многообразия X. Тогда, поскольку f конечна, она квазикогерентна и .${\displaystyle f:{\widetilde {X}}\to X}$${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}})={\widetilde {X}}}$
• Пусть — локально свободный пучок конечного ранга на схеме X. Тогда — квазикогерентная -алгебра и — ассоциированное векторное расслоение над X (называемое тотальным пространством ).${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (E^{*})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (E^{*}))\to X}$${\displaystyle E}$
• В более общем случае, если F — когерентный пучок на X , то все еще существует , обычно называемая абелевой оболочкой F ; см. Конус (алгебраическая геометрия)#Примеры .${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (F))\to X}$

Для заданного окольцованного пространства S существует категория пар, состоящая из окольцованного морфизма пространства и -модуля . Тогда формирование прямых образов определяет контравариантный функтор из в категорию пар, состоящую из -алгебры A и A -модуля M , который переводит каждую пару в пару .${\displaystyle C_{S}}$${\displaystyle (f,M)}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle (f,M)}$${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}},f_{*}M)}$

Теперь предположим, что S — схема, а затем пусть — подкатегория, состоящая из пар, таких, что — аффинный морфизм между схемами и квазикогерентным пучком на . Тогда указанный выше функтор определяет эквивалентность между и категорией пар, состоящей из -алгебры A и квазикогерентного -модуля . ^[5]${\displaystyle \operatorname {Aff} _{S}\subset C_{S}}$${\displaystyle (f:X\to S,M)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Aff} _{S}}$${\displaystyle (A,M)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

Вышеуказанная эквивалентность может быть использована (помимо прочего) для выполнения следующей конструкции. Как и прежде, задана схема S , пусть A будет квазикогерентной -алгеброй, а затем возьмем ее глобальную Spec: . Тогда для каждого квазикогерентного A -модуля M , существует соответствующий квазикогерентный -модуль такой, что называется пучком, связанным с M . Другими словами, определяет эквивалентность между категорией квазикогерентных -модулей и квазикогерентными -модулями.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle f:X=\operatorname {Spec} _{S}(A)\to S}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$${\displaystyle f_{*}{\widetilde {M}}\simeq M,}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle A}$

• квазиаффинный морфизм
• Теорема Серра об аффинности

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1971). Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на французском языке). Том. 166 (2-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157

• https://ncatlab.org/nlab/show/affine+morphism