Акустическое сопротивление

Акустическое сопротивление и удельное акустическое сопротивление являются мерами сопротивления, которое система оказывает акустическому потоку в результате приложенного к системе акустического давления . Единицей измерения акустического сопротивления в системе СИ является паскаль-секунда на кубический метр (обозначение Па·с/м 3 ), или в системе МКС рейл ^на квадратный метр ( Рейл/м ² ), тогда как единицей измерения удельного акустического сопротивления является паскаль-секунда на метр (Па·с/м), или в системе МКС рейл (Рейл). ^[1] Существует близкая аналогия с электрическим импедансом , который измеряет сопротивление, которое система оказывает электрическому току в результате приложенного к системе напряжения .

Для линейной системы, не зависящей от времени , соотношение между акустическим давлением, приложенным к системе, и результирующим акустическим объемным расходом через поверхность, перпендикулярную направлению этого давления в точке его приложения, определяется следующим образом: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle p(t)=[R*Q](t),}$

или эквивалентно

${\displaystyle Q(t)=[G*p](t),}$

где

• p — акустическое давление;
• Q — акустический объемный расход;
• ${\displaystyle *}$— оператор свертки ;
• R — акустическое сопротивление во временной области ;
• G = R ⁻¹ — акустическая проводимость во временной области ( R ⁻¹ — свертка, обратная R ).

Акустический импеданс , обозначаемый Z , представляет собой преобразование Лапласа , или преобразование Фурье , или аналитическое представление акустического сопротивления во временной области : ^[1]

${\displaystyle Z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[R](s)={\frac {{\mathcal {L}} [p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}},}$

${\displaystyle Z(\omega){\stackrel {\mathrm {def} {{}={}}}{\mathcal {F}}[R](\omega)={\frac {{\mathcal {F }}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}},}$

${\displaystyle Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

где

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$— оператор преобразования Лапласа;
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$— оператор преобразования Фурье;
• индекс «а» — оператор аналитического представления;
• Q ⁻¹ — это свертка, обратная Q.

Акустическое сопротивление , обозначаемое R , и акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое X , представляют собой действительную и мнимую части акустического импеданса соответственно: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle Z(s)=R(s)+iX(s),}$

${\displaystyle Z(\omega) = R(\omega)+iX(\omega),}$

${\displaystyle Z(t)=R(t)+iX(t),}$

где

• i — мнимая единица ;
• в Z ( s ), R ( s ) не является преобразованием Лапласа временного акустического сопротивления R ( t ), Z ( s ) является;
• в Z ( ω ), R ( ω ) не является преобразованием Фурье временной области акустического сопротивления R ( t ), Z ( ω ) является;
• в Z ( t ), R ( t ) — акустическое сопротивление во временной области, а X ( t ) — преобразование Гильберта акустического сопротивления во временной области R ( t ), согласно определению аналитического представления.

Индуктивное акустическое сопротивление , обозначаемое X _L , и емкостное акустическое сопротивление , обозначаемое X _C , являются положительной и отрицательной частью акустического реактивного сопротивления соответственно: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),}$

${\displaystyle X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).}$

Акустическая проводимость , обозначаемая Y , представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление акустической проводимости во временной области : ^[1]

${\displaystyle Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

где

• Z ⁻¹ — свертка, обратная Z ;
• p ⁻¹ — это свертка, обратная p .

Акустическая проводимость , обозначаемая G , и акустическая восприимчивость , обозначаемая B , являются действительной и мнимой частью акустической проводимости соответственно: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle Y(s)=G(s)+iB(s),}$

${\displaystyle Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),}$

${\displaystyle Y(t)=G(t)+iB(t),}$

где

• в Y ( s ), G ( s ) не является преобразованием Лапласа временной акустической проводимости G ( t ), Y ( s ) является;
• в Y ( ω ), G ( ω ) не является преобразованием Фурье временной области акустической проводимости G ( t ), Y ( ω ) является;
• в Y ( t ), G ( t ) — акустическая проводимость во временной области, а B ( t ) — преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области G ( t ), согласно определению аналитического представления.

Акустическое сопротивление представляет собой передачу энергии акустической волны. Давление и движение находятся в фазе, поэтому работа выполняется над средой перед волной. Акустическое реактивное сопротивление представляет собой давление, которое не совпадает по фазе с движением и не вызывает средней передачи энергии. ^{[ требуется цитата ]} Например, закрытая колба, подключенная к органной трубе, будет иметь движущийся в нее воздух и давление, но они не совпадают по фазе, поэтому чистая энергия в нее не передается. Пока давление растет, воздух входит, а когда оно падает, он выходит, но среднее давление, когда воздух входит, такое же, как и при выходе, поэтому мощность течет вперед и назад, но без усредненной по времени передачи энергии. ^{[ требуется цитата ]} Еще одна электрическая аналогия — конденсатор, подключенный поперек линии электропередачи: ток течет через конденсатор, но он находится в противофазе с напряжением, поэтому чистая мощность в него не передается.

Для линейной системы, не зависящей от времени , соотношение между акустическим давлением, приложенным к системе, и результирующей скоростью частицы в направлении этого давления в точке его приложения определяется выражением

${\displaystyle p(t)=[r*v](t),}$

или эквивалентно:

${\displaystyle v(t)=[g*p](t),}$

где

• p — акустическое давление;
• v — скорость частицы;
• r — удельное акустическое сопротивление во временной области ;
• g = r ⁻¹ — удельная акустическая проводимость во временной области ( r ⁻¹ — свертка, обратная r ). ^{[ необходима ссылка ]}

Удельный акустический импеданс , обозначаемый z , представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление удельного акустического сопротивления во временной области : ^[1]

${\displaystyle z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},}$

${\displaystyle z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},}$

${\displaystyle z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

где v ⁻¹ — свертка, обратная v .

Удельное акустическое сопротивление , обозначаемое r , и удельное акустическое реактивное сопротивление , обозначаемое x , представляют собой действительную и мнимую части удельного акустического импеданса соответственно: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle z(s)=r(s)+ix(s),}$

${\displaystyle z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),}$

${\displaystyle z(t)=r(t)+ix(t),}$

где

• в z ( s ), r ( s ) не является преобразованием Лапласа временной области удельного акустического сопротивления r ( t ), z ( s ) является;
• в z ( ω ), r ( ω ) не является преобразованием Фурье временной области удельного акустического сопротивления r ( t ), z ( ω ) является;
• в z ( t ), r ( t ) — это удельное акустическое сопротивление во временной области, а x ( t ) — это преобразование Гильберта удельного акустического сопротивления во временной области r ( t ), согласно определению аналитического представления.

Удельное индуктивное акустическое сопротивление , обозначаемое x _L , и удельное емкостное акустическое сопротивление , обозначаемое x _C , являются положительной и отрицательной частью удельного акустического сопротивления соответственно: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),}$

${\displaystyle x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).}$

Удельная акустическая проводимость , обозначаемая y , представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление удельной акустической проводимости во временной области : ^[1]

${\displaystyle y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

где

• z ⁻¹ — свертка, обратная z ;
• p ⁻¹ — это свертка, обратная p .

Удельная акустическая проводимость , обозначаемая g , и удельная акустическая восприимчивость , обозначаемая b , являются действительной и мнимой частью удельной акустической проводимости соответственно: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle y(s)=g(s)+ib(s),}$

${\displaystyle y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),}$

${\displaystyle y(t)=g(t)+ib(t),}$

где

• в y ( s ), g ( s ) не является преобразованием Лапласа временной области акустической проводимости g ( t ), y ( s ) является;
• в y ( ω ), g ( ω ) не является преобразованием Фурье временной области акустической проводимости g ( t ), y ( ω ) является;
• в y ( t ) g ( t ) — акустическая проводимость во временной области, а b ( t ) — преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области g ( t ), согласно определению аналитического представления.

Удельный акустический импеданс z является интенсивным свойством конкретной среды (например, может быть указан z воздуха или воды); с другой стороны, акустический импеданс Z является экстенсивным свойством конкретной среды и геометрии (например, может быть указан Z конкретного воздуховода, заполненного воздухом). ^{[ необходима цитата ]}

Акустический ом — единица измерения акустического импеданса. Единица измерения давления в системе СИ — паскаль, а расхода — кубический метр в секунду, поэтому акустический ом равен 1 Па·с/м ³ .

Акустический ом может быть применен к потоку жидкости за пределами области акустики. Для таких приложений может быть использован гидравлический ом с идентичным определением. Измерение гидравлического ома будет отношением гидравлического давления к гидравлическому объемному расходу.

Для одномерной волны, проходящей через отверстие площадью A , акустический объемный расход Q представляет собой объем среды, проходящей за секунду через отверстие; если акустический поток перемещается на расстояние d x = v d t , то объем проходящей среды равен d V = A d x , поэтому: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.}$

Если волна одномерна, то она дает

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},}$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.}$

Основной закон недисперсионной линейной акустики в одном измерении дает соотношение между напряжением и деформацией: ^[1]

${\displaystyle p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},}$

где

• p — акустическое давление в среде;
• ρ — объемная плотность среды;
• c — скорость звуковых волн, распространяющихся в среде;
• δ — смещение частицы ;
• x — пространственная переменная вдоль направления распространения звуковых волн.

Это уравнение справедливо как для жидкостей, так и для твердых тел.

• жидкости , ρc ² = K ( K обозначает модуль объемной упругости );
• твердые тела , ρc ² = K + 4/3 G ( G обозначает модуль сдвига ) для продольных волн и ρc ² = G для поперечных волн . ^{[ необходима ссылка ]}

Второй закон Ньютона, примененный локально в среде, дает: ^[2]

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.}$

Объединение этого уравнения с предыдущим дает одномерное волновое уравнение :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.}$

Плоские волны

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)}$

которые являются решениями этого волнового уравнения, состоят из суммы двух прогрессивных плоских волн, распространяющихся вдоль оси x с одинаковой скоростью и в противоположных направлениях : ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}$

из которого можно вывести

${\displaystyle v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\big [}f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.}$

Для прогрессивных плоских волн: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}}$

или

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}}$

Наконец, удельное акустическое сопротивление z равно

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.}$^{[ необходима ссылка ]}

Абсолютное значение этого удельного акустического сопротивления часто называют характеристическим удельным акустическим сопротивлением и обозначают z ₀ : ^[1]

${\displaystyle z_{0}=\rho c.}$

Уравнения также показывают, что

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.}$

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (March 2019) (Learn how and when to remove this message)

This section possibly contains original research. Please improve it by verifying the claims made and adding inline citations. Statements consisting only of original research should be removed. (March 2019) (Learn how and when to remove this message)

Температура влияет на скорость звука и плотность массы, а значит, и на удельное акустическое сопротивление. ^{[ необходима ссылка ]}

Для одномерной волны, проходящей через отверстие площадью A , Z = z / A , поэтому, если волна является прогрессирующей плоской волной, то: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.}$

Абсолютное значение этого акустического импеданса часто называют характеристическим акустическим импедансом и обозначают Z ₀ : ^[1]

${\displaystyle Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.}$

и характерный удельный акустический импеданс равен

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.}$

Если отверстие площадью A является началом трубы, и в трубу посылается плоская волна, то волна, проходящая через отверстие, является прогрессивной плоской волной при отсутствии отражений, а обычные отражения от другого конца трубы, открытого или закрытого, являются суммой волн, распространяющихся от одного конца к другому. ^[3] (Возможно, что отражений не будет, если труба очень длинная, из-за длительного времени, необходимого для возвращения отраженных волн, и их затухания из-за потерь на стенке трубы. ^[3] ) Такие отражения и возникающие в результате стоячие волны очень важны при проектировании и эксплуатации музыкальных духовых инструментов. ^[4]

• Волновое уравнение для звука
• Что такое акустический импеданс и почему он важен?