n-мерная головоломка с последовательными ходами

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  "N-мерная головоломка с последовательными ходами" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Кубик Рубика — оригинальная и самая известная из трехмерных головоломок с последовательными ходами . Было много виртуальных реализаций этой головоломки в программном обеспечении . Это естественное расширение для создания головоломок с последовательными ходами в более чем трех измерениях . Хотя ни одна такая головоломка не может быть физически построена, правила того, как они работают, довольно строго определены математически и аналогичны правилам, найденным в трехмерной геометрии. Следовательно, их можно моделировать с помощью программного обеспечения. Как и в случае с механическими головоломками с последовательными ходами, есть рекорды для решателей, хотя пока и не та же степень конкурентоспособной организации.

• Вершина . Нульмерная точка, в которой встречаются фигуры более высокой размерности.
• Край . Одномерная фигура, на которой сходятся фигуры более высоких размерностей.
• Лицо . Двумерная фигура, в которой (для объектов размерностью больше трех) сходятся фигуры более высоких размерностей.
• Ячейка . Трехмерная фигура, в которой (для объектов размерностью больше четырех) встречаются фигуры более высоких размерностей.
• n - Многогранник . n -мерная фигура, продолжающая то, что указано выше. Конкретная геометрическая форма может заменить многогранник, где это уместно, например, 4-куб, обозначающий тессеракт .
• n -ячейка . Фигура большего размера, содержащая n ячеек.
• Кусок . Отдельная подвижная часть головоломки, имеющая ту же размерность, что и вся головоломка.
• Кубик . В сообществе собирателей этот термин обычно используется для обозначения «фигуры».
• Наклейка . Цветные метки на головоломке, которые идентифицируют состояние головоломки. Например, угловые кубики кубика Рубика представляют собой одну деталь, но на каждой из них по три наклейки. Наклейки в головоломках с большей размерностью будут иметь размерность больше двух. Например, в 4-кубе наклейки представляют собой трехмерные тела.

Для сравнения приведем данные, относящиеся к стандартному кубику Рубика 3 ^{х 3 :}

Количество достижимых комбинаций  ${\displaystyle ={\frac {12!\cdot 8!}{2}}\cdot {\frac {2^{12}}{2}}\cdot {\frac {3^{8}}{3}}\sim 10^{20}}$

Существуют некоторые споры о том, следует ли считать кубики с гранями в центре отдельными деталями, поскольку их нельзя перемещать относительно друг друга. В разных источниках может быть указано разное количество деталей. В этой статье кубики с гранями в центре подсчитываются, поскольку это делает арифметические последовательности более последовательными, и их, безусловно, можно вращать, решение чего требует алгоритмов. Однако кубик прямо посередине не подсчитывается, поскольку на нем нет видимых наклеек и, следовательно, не требует решения. Арифметически мы должны иметь

${\displaystyle P=V+E+F+C\,\!}$

Однако в рисунках, приведенных в этой статье, P всегда на единицу меньше этого (или n -мерного расширения этой формулы), поскольку C (или соответствующий многогранник наивысшей размерности для более высоких размерностей) не учитывается.

Геометрическая форма: Тессеракт

Программное обеспечение Superliminal MagicCube4D реализует множество версий головоломок с извилистыми 4D-многогранниками, включая кубы N ^4. Пользовательский интерфейс позволяет выполнять 4D-скручивания и вращения, а также управлять параметрами 4D-просмотра, такими как проекция в 3D, размер и расстояние между кубами, а также размер наклейки.

Компания Superliminal Software создала Зал славы для тех, кто побил рекорды в решении этой головоломки.

Достижимые комбинации: ^[2]

${\displaystyle ={\frac {24!\cdot 32!}{2}}\cdot {\frac {16!}{2}}\cdot 2^{23}\cdot (3!)^{31}\cdot 3\cdot {\left({\frac {4!}{2}}\right)}^{15}\cdot 4}$

${\displaystyle \sim 10^{120}\,\!}$

Достижимые комбинации: ^[2]

${\displaystyle {}={\frac {15!}{2}}\cdot {\left({\frac {4!}{2}}\right)}^{14}\cdot 4}$

${\displaystyle {}\sim 10^{28}\,\!}$

Достижимые комбинации: ^[2]

${\displaystyle ={\frac {15!}{2}}\cdot \left({\frac {4!}{2}}\right)^{14}\cdot 4\cdot {\frac {64!}{2}}\cdot 3^{63}\cdot {\frac {96!\cdot 2}{2\cdot (4!)^{24}}}\cdot {\frac {2^{95}\cdot 64!\cdot 2}{2\cdot (8!)^{8}}}}$

${\displaystyle \sim 10^{334}\,\!}$

Достижимые комбинации: ^[2]

${\displaystyle ={\frac {48!}{(6!)^{8}}}\cdot {\frac {96!}{(12!)^{8}}}\cdot {\frac {64!}{(8!)^{8}}}\cdot {\frac {24!\cdot 32!}{2}}\cdot (3!)^{31}\cdot 2^{23}\cdot {\frac {64!}{2}}\cdot }$${\displaystyle 3^{63}\cdot 16!\cdot \left({\frac {4!}{2}}\right)^{15}\cdot 4\cdot {\frac {96!}{(4!)^{24}}}\cdot 2^{95}\cdot {\frac {96!}{(4!)^{24}}}\cdot 2^{95}}$

${\displaystyle \sim 10^{701}\,\!}$

Геометрическая форма: пентеракт

Magic Cube 5D от Roice Nelson способен создавать головоломки из 5 кубов в шести размерах от 2 ⁵ до 7 ^5. Позволяет выполнять 5D-повороты и управлять вращением куба в нескольких измерениях, управлять 4-D и 5-D перспективой, регулировать расстояние между кубиками и наклейками, а также управлять размером, аналогично Magiccube4D.

Однако 5-мерная головоломка гораздо сложнее для понимания, чем 4-мерная. Важной особенностью реализации Roice является возможность отключения или выделения выбранных кубиков и наклеек. Тем не менее, сложность получаемых изображений все еще довольно серьезна, как можно увидеть на скриншотах.

Ройс поддерживает Зал Безумия для рекордсменов, решивших эту головоломку. По состоянию на 6 января 2011 года было два успешных решения для размера 7 ⁵ куба из 5. ^[3]

Достижимые комбинации: ^[4]

${\displaystyle ={\frac {32!}{2}}\cdot 60^{32}\cdot {\frac {80!}{2}}\cdot {\frac {24^{80}}{2}}\cdot {\frac {40!\cdot 80!}{2}}\cdot {\frac {6^{80}}{2}}\cdot {\frac {2^{40}}{2}}}$

${\displaystyle \sim 10^{561}\,\!}$

Достижимые комбинации: ^[4]

${\displaystyle ={\frac {31!}{2}}\cdot 60^{31}}$

${\displaystyle \sim 10^{89}\,\!}$

Достижимые комбинации: ^[4]

${\displaystyle ={\frac {31!}{2}}\cdot 60^{31}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}}$

${\displaystyle \sim 10^{2075}\,\!}$

Достижимые комбинации: ^[4]

${\displaystyle {\begin{matrix}={\frac {32!}{2}}\cdot 60^{32}\cdot {\frac {80!}{2}}\cdot {\frac {24^{80}}{2}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {40!\cdot 80!}{2}}\cdot {\frac {6^{80}}{2}}\cdot {\frac {2^{40}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {240!}{(6!)^{40}}}\cdot {\frac {2^{240}}{2}}\cdot {\frac {320!}{(8!)^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {480!}{(12!)^{40}}}\cdot {\frac {2^{480}}{2}}\cdot {\frac {80!}{(8!)^{10}}}\cdot {\frac {160!}{(16!)^{10}}}\cdot \\{\frac {240!}{(24!)^{10}}}\cdot {\frac {320!}{(32!)^{10}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sim 10^{5267}\,\!}$

Достижимые комбинации: ^[4]

${\displaystyle {\begin{matrix}={\frac {31!}{2}}\cdot 60^{31}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {640!}{24^{160}}}\cdot {\frac {3^{640}}{3}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot \\{\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sim 10^{11441}\,\!}$

Достижимые комбинации: ^[4]

${\displaystyle {\begin{matrix}={\frac {32!}{2}}\cdot 60^{32}\cdot {\frac {80!}{2}}\cdot {\frac {24^{80}}{2}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {80!\cdot 40!}{2}}\cdot {\frac {6^{80}}{2}}\cdot {\frac {2^{40}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {640!}{24^{160}}}\cdot {\frac {3^{640}}{3}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {240!}{6!^{40}}}\cdot \\{\frac {2^{240}}{2}}\cdot {\frac {480!}{12!^{40}}}\cdot {\frac {2^{480}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {240!}{6!^{40}}}\cdot {\frac {2^{240}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {480!}{12!^{40}}}\cdot {\frac {2^{480}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {80!}{8!^{10}}}\cdot {\frac {240!}{24!^{10}}}\cdot {\frac {320!}{32!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\cdot {\frac {80!}{8!^{10}}}\cdot \\{\frac {480!}{48!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot {\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {240!}{24!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot {\frac {320!}{32!^{10}}}\cdot {\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sim 10^{21503}\,\!}$

Геометрическая форма: гексагонакт (6D) и гептеракт (7D)

Программное обеспечение Magic Cube 7D Андрея Астрелина способно создавать головоломки до 7 измерений в двенадцати размерах от 3 ^{х 4} до 5 х ⁷ .

По состоянию на июль 2024 года среди головоломок, эксклюзивных для Magic Cube 7D, решены только головоломки 3 ⁶ , 3 ⁷ , 4 ⁶ и 5 ^{6 . [5]}

Геометрическая форма: 120-клеточная (также называется гекатоникосохороном или додекаконтахороном)

120-ячейка — это 4-мерная геометрическая фигура ( 4-политоп ), состоящая из 120 додекаэдров , которые, в свою очередь, являются 3-мерной фигурой, состоящей из 12 пятиугольников . 120-ячейка — это 4-мерный аналог додекаэдра, точно так же, как тессеракт (4-куб) является 4-мерным аналогом куба. Таким образом, 4-мерная 120-ячеечная программная головоломка с последовательными ходами от Gravitation3d является 4-мерным аналогом Megaminx , 3-мерной головоломки, которая имеет форму додекаэдра.

Головоломка представлена ​​только в одном размере, то есть три кубика на стороне, но в шести схемах раскраски различной сложности. Полная головоломка требует разного цвета для каждой ячейки, то есть 120 цветов. Такое большое количество цветов добавляет сложности головоломке, поскольку некоторые оттенки довольно трудно различить. Самая простая форма — два взаимосвязанных тора, каждый тор образует кольцо кубиков в разных измерениях. Полный список схем раскраски выглядит следующим образом:

• 2-цветные торы.
• 9-цветные ячейки 4-куба. То есть та же схема раскраски, что и у 4-куба.
• 9-цветные слои.
• 12-цветные кольца.
• 60-цветный антипод. Каждая пара диаметрально противоположных додекаэдрических ячеек имеет один и тот же цвет.
• Полный пазл из 120 цветов.

Элементы управления очень похожи на 4-D Magic Cube с элементами управления 4-D перспективой, размером ячейки, размером наклейки и расстоянием, а также обычным масштабированием и вращением. Кроме того, есть возможность полностью отключить группы ячеек на основе выбора торов, ячеек 4-куба, слоев или колец.

Gravitation3d создала «Зал славы» для решателей, которые должны предоставить файл журнала для своего решения. По состоянию на апрель 2017 года головоломка была решена двенадцать раз. ^[6]

Достижимые комбинации: ^[7]

${\displaystyle ={\frac {600!}{2}}\cdot {\frac {1200!}{2}}\cdot {\frac {720!}{2}}\cdot {\frac {2^{720}}{2}}\cdot {\frac {6^{1200}}{2}}\cdot {\frac {12^{600}}{3}}}$

${\displaystyle \sim 10^{8126}\,}$

Этот расчет достижимых комбинаций не был математически доказан и может рассматриваться только как верхняя граница. Его вывод предполагает существование набора алгоритмов, необходимых для создания всех комбинаций «минимального изменения». Нет никаких оснований полагать, что эти алгоритмы не будут найдены, поскольку решатели головоломок преуспели в их нахождении для всех подобных головоломок, которые были решены до сих пор.

Геометрическая форма: квадрат

Двухмерная головоломка типа Рубика не может быть физически построена, как и четырехмерная. ^[8] Трехмерная головоломка может быть построена без наклеек на третьем измерении, и тогда она будет вести себя как двухмерная головоломка, но истинная реализация головоломки останется в виртуальном мире. Показанная здесь реализация принадлежит Superliminal, которые называют ее двухмерным магическим кубом.

Головоломка не представляет большого интереса для решателей, поскольку ее решение довольно тривиально. Во многом это связано с тем, что невозможно поставить деталь на место с помощью поворота. Некоторые из самых сложных алгоритмов для стандартного кубика Рубика должны иметь дело с такими поворотами, когда деталь находится в правильном положении, но не в правильной ориентации. В головоломках с более высокими размерами это скручивание может принять довольно обескураживающую форму детали, которая, по-видимому, вывернута наизнанку. Достаточно сравнить сложность головоломки 2×2×2 с головоломкой 3×3 (которая имеет такое же количество деталей), чтобы увидеть, что эта способность вызывать повороты в более высоких измерениях во многом связана со сложностью, а следовательно, и с удовлетворением от решения, всегда популярного кубика Рубика.

Достижимые комбинации:

${\displaystyle =4!\,\!=24}$

Центральные элементы имеют фиксированную ориентацию относительно друг друга (точно так же, как центральные элементы стандартного кубика 3×3×3) и, следовательно, не участвуют в расчете комбинаций.

Эта головоломка на самом деле не является истинным 2-мерным аналогом кубика Рубика. Если группа операций над одним многогранником n -мерной головоломки определяется как любой поворот ( n  – 1)-мерного многогранника в ( n  – 1)-мерном пространстве, то размер группы,

• для 5-куба это вращения 4-многогранника в 4-пространстве = 8×6×4 = 192,
• для 4-куба это вращения 3-многогранника (куба) в 3-пространстве = 6×4 = 24,
• для 3-куба это вращения 2-многогранника (квадрата) в 2-пространстве = 4
• для 2-куба это вращения 1-многогранника в 1-пространстве = 1

Другими словами, 2D-головоломку вообще невозможно перетасовать, если на ходы наложить те же ограничения, что и для настоящей 3D-головоломки. Ходы, фактически данные 2D Magic Cube, являются операциями отражения. Эта операция отражения может быть распространена на головоломки более высокого измерения. Для 3D-куба аналогичной операцией будет удаление грани и замена ее наклейками, обращенными внутрь куба. Для 4-куба аналогичной операцией будет удаление куба и замена его наизнанку.

Другая головоломка с альтернативным измерением — это вид, достижимый в Magic Cube 3D Дэвида Вандершеля. 4-куб, спроецированный на 2D-экран компьютера, является примером общего типа n -мерной головоломки, спроецированной на ( n  – 2)-мерное пространство. 3D-аналог этого — спроецировать куб на 1-мерное представление, что и может сделать программа Вандершеля.

Вандершель сокрушается, что никто не утверждал, что решил одномерную проекцию этой головоломки. ^[9] Однако, поскольку записи по этой головоломке не ведутся, возможно, на самом деле она не является нерешенной.

• Группа кубика Рубика
• Список программного обеспечения для кубика Рубика
• Список четырехмерных игр

• HJ Kamack и TR Keane, «Тессеракт Рубика» , доступно онлайн здесь и заархивировано 25 декабря 2008 г.
• Веллеман, Д., «Тессеракт Рубика», Mathematics Magazine , т. 65 , № 1 (февраль 1992 г.), стр. 27–36, Математическая ассоциация Америки .
• Пиковер, К., Путешествие по гиперпространству , стр. 120–122, Oxford University Press, 1999.
• Пиковер, К., Тест на IQ пришельцев , Глава 24, Dover Publications, 2001.
• Пиковер, К., Дзен магических квадратов, кругов и звезд , стр. 130–133, Princeton University Press, 2001.
• Дэвид Сингмастер, Computer Cubists , июнь 2001 г. Список, поддерживаемый Сингмастером, включая ссылки на 4D. Получено 19 июня 2008 г.

• Сверхпороговый
• Анатомия d-мерного кубика Рубика от Gravitation3d
• 3D-магический куб Дэвида Вандершеля