Математика трехфазной электроэнергии
Математика и основные принципы трехфазной электроэнергетики
Один цикл напряжения трехфазной системы, обозначенный от 0 до 360° (2π радиан) по оси времени. Нарисованная линия представляет собой изменение мгновенного напряжения (или тока) по отношению ко времени. Этот цикл повторяется с частотой , которая зависит от энергосистемы.

В электротехнике трехфазные системы электропитания имеют по крайней мере три проводника, по которым передаются переменные напряжения , смещенные во времени на одну треть периода. Трехфазная система может быть организована в треугольник (∆) или звезду (Y) (также обозначается как звезда в некоторых областях, так как символически она похожа на букву «Y»). Система звезда позволяет использовать два разных напряжения от всех трех фаз , например, система 230/400 В, которая обеспечивает 230 В между нейтралью (центральный хаб) и любой из фаз, и 400 В между любыми двумя фазами. Система треугольника обеспечивает только одно напряжение, но она имеет большую избыточность, поскольку может продолжать нормально работать с одной из трех обмоток питания в автономном режиме, хотя и на 57,7% от общей мощности. [1] Гармонический ток в нейтрали может стать очень большим, если подключены нелинейные нагрузки.

Определения

В топологии соединения звездой (звездой) с последовательностью вращения L1 - L2 - L3 изменяющиеся во времени мгновенные напряжения можно рассчитать для каждой фазы A, C, B соответственно по формуле:

В Л 1 − Н = В П грех ⁡ ( θ ) {\displaystyle V_{L1-N}=V_{P}\sin \left(\theta \right)\,\!}
В Л 2 − Н = В П грех ⁡ ( θ − 2 3 π ) = В П грех ⁡ ( θ + 4 3 π ) {\displaystyle V_{L2-N}=V_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)=V_{P}\sin \left(\theta +{\frac {4}{3}}\pi \right)}
В Л 3 − Н = В П грех ⁡ ( θ − 4 3 π ) = В П грех ⁡ ( θ + 2 3 π ) {\displaystyle V_{L3-N}=V_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)=V_{P}\sin \left(\theta +{\frac {2}{3}}\pi \right)}

где:

В П {\displaystyle V_{P}} пиковое напряжение,
θ = 2 π ф т {\displaystyle \theta =2\пи фут\,\!} фазовый угол в радианах
т {\displaystyle т} время в секундах
ф {\displaystyle f} это частота в циклах в секунду и
Напряжения L1-N, L2-N и L3-N указаны относительно точки соединения звездой.

Диаграммы

На рисунках ниже показано, как система из шести проводов, подающих три фазы от генератора, может быть заменена всего тремя. Также показан трехфазный трансформатор.

  • Элементарный шестипроводной трехфазный генератор переменного тока, в котором каждая фаза использует отдельную пару проводов передачи.
    Элементарный шестипроводной трехфазный генератор переменного тока, в котором каждая фаза использует отдельную пару проводов передачи.
  • Элементарный трехпроводной трехфазный генератор переменного тока, показывающий, как фазы могут совместно использовать только три провода передачи.
    Элементарный трехпроводной трехфазный генератор переменного тока, показывающий, как фазы могут совместно использовать только три провода передачи.
  • Каждая фаза трехфазного трансформатора имеет собственную пару обмоток с общим сердечником.
    Каждая фаза трехфазного трансформатора имеет собственную пару обмоток с общим сердечником.

Сбалансированные нагрузки

Обычно в электроэнергетических системах нагрузки распределяются настолько равномерно, насколько это практически возможно, по фазам. Обычно сначала обсуждается сбалансированная система, а затем описываются эффекты несбалансированных систем как отклонения от элементарного случая.

Постоянная передача мощности

Важным свойством трехфазного питания является то, что мгновенная мощность, доступная для резистивной нагрузки, , постоянна во все времена. Действительно, пусть П = В я = В 2 Р {\displaystyle \scriptstyle P\,=\,VI\,=\,{\frac {V^{2}}{R}}}

P L i = V L i 2 R P T O T = ∑ i P L i {\displaystyle {\begin{aligned}P_{Li}&={\frac {V_{Li}^{2}}{R}}\\P_{TOT}&=\sum _{i}P_{Li}\end{aligned}}}

Для упрощения математики мы определяем безразмерную мощность для промежуточных вычислений: p = 1 V P 2 P T O T R {\displaystyle \scriptstyle p\,=\,{\frac {1}{V_{P}^{2}}}P_{TOT}R}

p = sin 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ ( θ − 2 3 π ) + sin 2 ⁡ ( θ − 4 3 π ) = 3 2 {\displaystyle p=\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)+\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)={\frac {3}{2}}}

Следовательно (обратная подстановка):

P T O T = 3 V P 2 2 R . {\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2R}}.}

Поскольку мы исключили, мы видим, что общая мощность не меняется со временем. Это необходимо для поддержания бесперебойной работы больших генераторов и двигателей. θ {\displaystyle \theta }

Обратите внимание также, что при использовании среднеквадратичного напряжения приведенное выше выражение принимает следующую более классическую форму: V = V p 2 {\displaystyle V={\frac {V_{p}}{\sqrt {2}}}} P T O T {\displaystyle P_{TOT}}

P T O T = 3 V 2 R {\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V^{2}}{R}}} .

Нагрузка не обязательно должна быть резистивной для достижения постоянной мгновенной мощности, поскольку, если она сбалансирована или одинакова для всех фаз, ее можно записать как

Z = | Z | e j φ {\displaystyle Z=|Z|e^{j\varphi }}

так что пиковый ток равен

I P = V P | Z | {\displaystyle I_{P}={\frac {V_{P}}{|Z|}}}

для всех фаз и мгновенные токи

I L 1 = I P sin ⁡ ( θ − φ ) {\displaystyle I_{L1}=I_{P}\sin \left(\theta -\varphi \right)}
I L 2 = I P sin ⁡ ( θ − 2 3 π − φ ) {\displaystyle I_{L2}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)}
I L 3 = I P sin ⁡ ( θ − 4 3 π − φ ) {\displaystyle I_{L3}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}

Теперь мгновенные мощности в фазах равны

P L 1 = V L 1 I L 1 = V P I P sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ − φ ) {\displaystyle P_{L1}=V_{L1}I_{L1}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta \right)\sin \left(\theta -\varphi \right)}
P L 2 = V L 2 I L 2 = V P I P sin ⁡ ( θ − 2 3 π ) sin ⁡ ( θ − 2 3 π − φ ) {\displaystyle P_{L2}=V_{L2}I_{L2}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)}
P L 3 = V L 3 I L 3 = V P I P sin ⁡ ( θ − 4 3 π ) sin ⁡ ( θ − 4 3 π − φ ) {\displaystyle P_{L3}=V_{L3}I_{L3}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}

Используя формулы вычитания углов :

P L 1 = V P I P 2 [ cos ⁡ ( φ ) − cos ⁡ ( 2 θ − φ ) ] {\displaystyle P_{L1}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -\varphi \right)\right]}
P L 2 = V P I P 2 [ cos ⁡ ( φ ) − cos ⁡ ( 2 θ − 4 3 π − φ ) ] {\displaystyle P_{L2}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}
P L 3 = V P I P 2 [ cos ⁡ ( φ ) − cos ⁡ ( 2 θ − 8 3 π − φ ) ] {\displaystyle P_{L3}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}

которые в сумме дают общую мгновенную мощность

P T O T = V P I P 2 { 3 cos ⁡ φ − [ cos ⁡ ( 2 θ − φ ) + cos ⁡ ( 2 θ − 4 3 π − φ ) + cos ⁡ ( 2 θ − 8 3 π − φ ) ] } {\displaystyle P_{TOT}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left\{3\cos \varphi -\left[\cos \left(2\theta -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]\right\}}

Поскольку три члена, заключенные в квадратные скобки, представляют собой трехфазную систему, они в сумме дают ноль, и общая мощность становится равной

P T O T = 3 V P I P 2 cos ⁡ φ {\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}I_{P}}{2}}\cos \varphi }

или

P T O T = 3 V P 2 2 | Z | cos ⁡ φ {\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2|Z|}}\cos \varphi }

демонстрируя вышеизложенное утверждение.

Опять же, используя среднеквадратичное напряжение , можно записать в обычной форме V = V p 2 {\displaystyle V={\frac {V_{p}}{\sqrt {2}}}} P T O T {\displaystyle P_{TOT}}

P T O T = 3 V 2 Z cos ⁡ φ {\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V^{2}}{Z}}\cos \varphi } .

Нет нейтрального тока

В случае равных нагрузок на каждой из трех фаз в нейтрали нет чистого тока. Нейтральный ток представляет собой обратную векторную сумму линейных токов. См. законы цепей Кирхгофа .

I L 1 = V L 1 − N R , I L 2 = V L 2 − N R , I L 3 = V L 3 − N R − I N = I L 1 + I L 2 + I L 3 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{L1}&={\frac {V_{L1-N}}{R}},\;I_{L2}={\frac {V_{L2-N}}{R}},\;I_{L3}={\frac {V_{L3-N}}{R}}\\-I_{N}&=I_{L1}+I_{L2}+I_{L3}\end{aligned}}}

Определим безразмерный ток : i = I N R V P {\displaystyle i={\frac {I_{N}R}{V_{P}}}}

i = sin ⁡ ( θ ) + sin ⁡ ( θ − 2 π 3 ) + sin ⁡ ( θ + 2 π 3 ) = sin ⁡ ( θ ) + 2 sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( 2 π 3 ) = sin ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}i&=\sin \left(\theta \right)+\sin \left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)+\sin \left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)+2\sin \left(\theta \right)\cos \left({\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)-\sin \left(\theta \right)\\&=0\end{aligned}}}

Поскольку мы показали, что ток нейтрали равен нулю, мы видим, что удаление нейтрального сердечника не окажет никакого влияния на цепь, при условии, что система сбалансирована. Такие соединения обычно используются только тогда, когда нагрузка на трех фазах является частью одного и того же оборудования (например, трехфазный двигатель), поскольку в противном случае переключение нагрузок и небольшие дисбалансы вызовут большие колебания напряжения.

Несбалансированные системы

На практике системы редко имеют идеально сбалансированные нагрузки, токи, напряжения и импедансы во всех трех фазах. Анализ неуравновешенных случаев значительно упрощается за счет использования методов симметричных компонентов . Неуравновешенная система анализируется как суперпозиция трех сбалансированных систем, каждая из которых имеет положительную, отрицательную или нулевую последовательность сбалансированных напряжений.

При указании размеров проводки в трехфазной системе нам нужно знать только величину фазных и нейтральных токов. Нейтральный ток можно определить, сложив три фазных тока вместе как комплексные числа , а затем преобразовав из прямоугольных в полярные координаты. Если трехфазные среднеквадратичные (RMS) токи равны , , и , то нейтральный RMS ток равен: I L 1 {\displaystyle I_{L1}} I L 2 {\displaystyle I_{L2}} I L 3 {\displaystyle I_{L3}}

I L 1 + I L 2 cos ⁡ ( 2 3 π ) + j I L 2 sin ⁡ ( 2 3 π ) + I L 3 cos ⁡ ( 4 3 π ) + j I L 3 sin ⁡ ( 4 3 π ) {\displaystyle I_{L1}+I_{L2}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \right)+jI_{L2}\sin \left({\frac {2}{3}}\pi \right)+I_{L3}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \right)+jI_{L3}\sin \left({\frac {4}{3}}\pi \right)}

который решает

I L 1 − I L 2 1 2 − I L 3 1 2 + j 3 2 ( I L 2 − I L 3 ) {\displaystyle I_{L1}-I_{L2}{\frac {1}{2}}-I_{L3}{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left(I_{L2}-I_{L3}\right)}

Полярная величина этого числа равна квадратному корню из суммы квадратов действительной и мнимой частей, что сводится к [2]

I L 1 2 + I L 2 2 + I L 3 2 − I L 1 I L 2 − I L 1 I L 3 − I L 2 I L 3 {\displaystyle {\sqrt {I_{L1}^{2}+I_{L2}^{2}+I_{L3}^{2}-I_{L1}I_{L2}-I_{L1}I_{L3}-I_{L2}I_{L3}}}}

Нелинейные нагрузки

При линейных нагрузках нейтраль несет ток только из-за дисбаланса между фазами. Устройства, использующие выпрямительно-конденсаторные входы (например, импульсные блоки питания для компьютеров, офисного оборудования и т. п.), вводят гармоники третьего порядка. Токи третьей гармоники находятся в фазе на каждой из фаз питания и, следовательно, будут суммироваться в нейтрали, что может привести к тому, что ток нейтрали в системе «звезда» превысит фазные токи. [3] [4]

Вращающееся магнитное поле

Любая многофазная система, в силу смещения во времени токов в фазах, позволяет легко генерировать магнитное поле, которое вращается с частотой сети. Такое вращающееся магнитное поле делает возможными многофазные асинхронные двигатели . Действительно, там, где асинхронные двигатели должны работать от однофазного питания (такого, которое обычно распределяется в домах), двигатель должен содержать какой-то механизм для создания вращающегося поля, в противном случае двигатель не сможет генерировать никакого момента покоя и не запустится. Поле, создаваемое однофазной обмоткой, может обеспечить энергией уже вращающийся двигатель, но без вспомогательных механизмов двигатель не будет разгоняться с места.

Вращающееся магнитное поле постоянной амплитуды требует, чтобы все три фазных тока были равны по величине и точно смещены на треть цикла по фазе. Несбалансированная работа приводит к нежелательным эффектам для двигателей и генераторов.

Переход на другие фазовые системы

При условии, что две формы напряжения имеют по крайней мере некоторое относительное смещение на оси времени, отличное от кратного полупериода, любой другой многофазный набор напряжений может быть получен с помощью массива пассивных трансформаторов . Такие массивы будут равномерно балансировать многофазную нагрузку между фазами исходной системы. Например, сбалансированное двухфазное питание может быть получено из трехфазной сети с помощью двух специально сконструированных трансформаторов с ответвлениями на 50% и 86,6% первичного напряжения. Это соединение Скотта Т создает настоящую двухфазную систему с разницей во времени между фазами в 90°. Другим примером является генерация систем с более высоким порядком фаз для больших выпрямительных систем, чтобы производить более плавный выход постоянного тока и уменьшать гармонические токи в источнике питания.

Когда требуется трехфазный ток, но у поставщика электроэнергии доступна только однофазная мощность, можно использовать фазовый преобразователь для генерации трехфазного тока из однофазного. Мотор-генератор часто используется в промышленных применениях на заводах.

Системные измерения

В трехфазной системе для измерения мощности требуется не менее двух преобразователей, когда нейтрали нет, или три преобразователя, когда она есть. [5] Теорема Блонделя утверждает, что количество требуемых измерительных элементов на единицу меньше количества токопроводящих проводников. [6]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ "Трехфазные схемы "Дельта" и "Звезда"" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2013-05-13 . Получено 2012-11-21 .общественное достояние
  2. ^ Келджик, Джеффри (2008). Электричество 3: Производство и поставка электроэнергии . Клифтон Парк, Нью-Йорк: Cengage Learning/Delmar. стр. 49. ISBN 978-1435400290.
  3. ^ Ловенштейн, Майкл. «Фильтр блокировки 3-й гармоники: хорошо зарекомендовавший себя подход к смягчению гармонического тока». Журнал IAEI. Архивировано из оригинала 27 марта 2011 г. Получено 24 ноября 2012 г.
  4. ^ Энджети, Прасад. «Гармоники в низковольтных трехфазных четырехпроводных электрических распределительных системах и решения по фильтрации» (PDF) . Лаборатория силовой электроники и качества электроэнергии Техасского университета A&M. Архивировано (PDF) из оригинала 13 июня 2010 г. . Получено 24 ноября 2012 г. .
  5. ^ "Измерение трехфазной мощности методом двух ваттметров" (PDF) .[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]
  6. ^ "МЕТОД ДВУХМЕТРОВОГО ВАТТМЕТРА" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2014-02-21.
  • Стивенсон, Уильям Д. младший (1975). Элементы анализа энергосистем . Серия «Электротехника и электроника» издательства McGraw-Hill (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-061285-4.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematics_of_three-phase_electric_power&oldid=1242343358"