Преобразование Y-Δ

This article may be too technical for most readers to understand. Please help improve it to make it understandable to non-experts, without removing the technical details. (January 2021) (Learn how and when to remove this message)

В электротехнике преобразование Y -Δ , также пишется как звезда-дельта и известно под многими другими названиями, является математическим методом для упрощения анализа электрической сети . Название происходит от формы схем цепей , которые выглядят соответственно как буква Y и греческая заглавная буква Δ . Эта теория преобразования цепей была опубликована Артуром Эдвином Кеннелли в 1899 году. ^[1] Она широко используется при анализе трехфазных электрических цепей.

Преобразование Y-Δ можно считать частным случаем преобразования звезда-сетка для трех резисторов . В математике преобразование Y-Δ играет важную роль в теории круговых планарных графов . ^[2]

Преобразование Y-Δ известно под множеством других названий, в основном основанных на двух задействованных формах, перечисленных в любом порядке. Y , записанное как wye , также может называться T или star ; Δ , записанное как delta , также может называться triangle , Π (записывается как pi ) или mesh . Таким образом, общие названия для преобразования включают wye-delta или delta-wye , star-delta , star-mesh , или T-Π .

Преобразование используется для установления эквивалентности для сетей с тремя терминалами. Когда три элемента заканчиваются в общем узле и ни один из них не является источником, узел устраняется путем преобразования импедансов. Для эквивалентности импеданс между любой парой терминалов должен быть одинаковым для обеих сетей. Приведенные здесь уравнения справедливы как для комплексных, так и для действительных импедансов. Комплексный импеданс — это величина, измеряемая в омах , которая представляет сопротивление как положительные действительные числа обычным способом, а также представляет реактивное сопротивление как положительные и отрицательные мнимые значения .

Основная идея состоит в том, чтобы вычислить импеданс в конечном узле цепи Y с импедансами , к соседним узлам цепи Δ, по формуле${\displaystyle R_{\text{Y}}}$${\displaystyle R'}$${\displaystyle R''}$

${\displaystyle R_{\text{Y}}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}$

где все сопротивления в Δ-цепи. Это дает конкретную формулу${\displaystyle R_{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{2}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{3}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}$

Общая идея состоит в том, чтобы вычислить импеданс в Δ-цепи по формуле${\displaystyle R_{\Delta }}$

${\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\text{opposite}}}}}$

где — сумма произведений всех пар сопротивлений в цепи Y, а — сопротивление узла в цепи Y, который находится напротив ребра с . Формулы для отдельных ребер, таким образом,${\displaystyle R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}$${\displaystyle R_{\text{opposite}}}$${\displaystyle R_{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\text{a}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\[3pt]R_{\text{b}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\[3pt]R_{\text{c}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}}$

Или, если вместо сопротивления использовать проводимость :

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\text{a}}&={\frac {Y_{3}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{b}}&={\frac {Y_{3}Y_{1}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{c}}&={\frac {Y_{1}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что общая формула преобразования Y в Δ с использованием проводимости аналогична формуле преобразования Δ в Y с использованием сопротивления.

Возможность преобразования может быть показана как следствие теоремы о суперпозиции для электрических цепей . Короткое доказательство, а не выведенное как следствие более общего преобразования звезда-сетка , может быть дано следующим образом. Эквивалентность заключается в утверждении, что для любых внешних напряжений ( и ), приложенных к трем узлам ( и ), соответствующие токи ( и ) в точности одинаковы как для схемы Y, так и для схемы Δ, и наоборот. В этом доказательстве мы начинаем с заданных внешних токов в узлах. Согласно теореме о суперпозиции, напряжения могут быть получены путем изучения суперпозиции результирующих напряжений в узлах следующих трех задач, приложенных к трем узлам с током:${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle V_{3}}$${\displaystyle N_{1},N_{2}}$${\displaystyle N_{3}}$${\displaystyle I_{1},I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$

1. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),0}$
2. ${\displaystyle 0,{\frac {1}{3}}\left(I_{2}-I_{3}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{2}-I_{3}\right)}$и
3. ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right),0,{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right)}$

Эквивалентность можно легко показать, используя законы цепи Кирхгофа , что . Теперь каждая задача относительно проста, поскольку она включает в себя только один идеальный источник тока. Чтобы получить точно такие же выходные напряжения в узлах для каждой задачи, эквивалентные сопротивления в двух цепях должны быть одинаковыми, это можно легко найти, используя основные правила последовательных и параллельных цепей :${\displaystyle I_{1}+I_{2}+I_{3}=0}$

${\displaystyle R_{3}+R_{1}={\frac {\left(R_{\text{c}}+R_{\text{a}}\right)R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}},\quad {\frac {R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{\text{a}}}{R_{\text{c}}}}.}$

Хотя обычно шести уравнений более чем достаточно, чтобы выразить три переменные ( ) через другие три переменные ( ), здесь легко показать, что эти уравнения действительно приводят к приведенным выше выражениям.${\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}}$${\displaystyle R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}}$

Фактически теорема о суперпозиции устанавливает связь между величинами сопротивлений, теорема о единственности гарантирует единственность такого решения.

Резистивные сети между двумя терминалами теоретически могут быть упрощены до одного эквивалентного резистора (в более общем смысле, то же самое относится и к импедансу). Последовательные и параллельные преобразования являются основными инструментами для этого, но для сложных сетей, таких как мост, показанный здесь, их недостаточно.

Преобразование Y-Δ можно использовать для исключения одного узла за раз и создания сети, которую можно еще больше упростить, как показано на рисунке.

Обратное преобразование Δ-Y, добавляющее узел, часто бывает полезным, поскольку оно открывает путь к дальнейшему упрощению.

Каждая двухполюсная сеть, представленная планарным графом, может быть сведена к одному эквивалентному резистору с помощью последовательности последовательных, параллельных, Y-Δ и Δ-Y преобразований. ^[3] Однако существуют неплоские сети, которые невозможно упростить с помощью этих преобразований, например, правильная квадратная сетка, обернутая вокруг тора , или любой член семейства Петерсена .

В теории графов преобразование Y-Δ означает замену подграфа Y графа эквивалентным подграфом Δ. Преобразование сохраняет количество ребер в графе, но не количество вершин или количество циклов . Два графа называются эквивалентными по Y-Δ, если один из них может быть получен из другого с помощью серии преобразований Y-Δ в любом направлении. Например, семейство Петерсена является классом эквивалентности Y-Δ .

Для связи от Δ к от Y сравнивается импеданс между двумя соответствующими узлами. Импеданс в любой конфигурации определяется так, как если бы один из узлов был отключен от цепи.${\displaystyle \left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}}$${\displaystyle \left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}}$

Сопротивление между N ₁ и N ₂ при отключенном N _{3 в Δ:}

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)&=R_{\text{c}}\parallel (R_{\text{a}}+R_{\text{b}})\\[3pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{\text{c}}}}+{\frac {1}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}}}}}\\[3pt]&={\frac {R_{\text{c}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}\right)}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}$

Для упрощения пусть будет суммой .${\displaystyle R_{\text{T}}}$${\displaystyle \left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}}$

${\displaystyle R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}$

Таким образом,

${\displaystyle R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}}$

Соответствующее сопротивление между N ₁ и N ₂ в Y простое:

${\displaystyle R_{\text{Y}}\left(N_{1},N_{2}\right)=R_{1}+R_{2}}$

следовательно:

${\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}}$   (1)

Повторяю для :${\displaystyle R(N_{2},N_{3})}$

${\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}}$   (2)

и для :${\displaystyle R\left(N_{1},N_{3}\right)}$

${\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{\text{b}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}}}.}$   (3)

Отсюда значения могут быть определены путем линейной комбинации (сложения и/или вычитания).${\displaystyle \left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}}$

Например, сложение (1) и (3), а затем вычитание (2) дает

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}&={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}+{\frac {R_{\text{b}}(R_{\text{a}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}-{\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow 2R_{1}&={\frac {2R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}.\end{aligned}}}$

Для полноты картины:

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$ (4)

${\displaystyle R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$ (5)

${\displaystyle R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}}$ (6)

Позволять

${\displaystyle R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}$.

Мы можем записать уравнения Δ-Y как

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$   (1)

${\displaystyle R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$   (2)

${\displaystyle R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}.}$   (3)

Умножение пар уравнений дает

${\displaystyle R_{1}R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}^{2}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   (4)

${\displaystyle R_{1}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   (5)

${\displaystyle R_{2}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   (6)

и сумма этих уравнений равна

${\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}^{2}+R_{\text{a}}R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}+R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   (7)

Выносим множитель из правой части, оставляя в числителе и сокращая на a в знаменателе.${\displaystyle R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}$${\displaystyle R_{\text{T}}}$${\displaystyle R_{\text{T}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}&={}{\frac {\left(R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}\right)\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}^{2}}}\\&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\end{aligned}}}$ (8)

Обратите внимание на сходство между (8) и {(1), (2), (3)}

Разделить (8) на (1)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}{\frac {R_{\text{T}}}{R_{\text{b}}R_{\text{c}}}}\\&={}R_{\text{a}},\end{aligned}}}$

что является уравнением для . Разделив (8) на (2) или (3) (выражения для или ), получим оставшиеся уравнения.${\displaystyle R_{\text{a}}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle R_{3}}$

При анализе сбалансированных трехфазных энергосистем обычно анализируется эквивалентная пофазная (или однофазная) схема из-за ее простоты. Для этого используются эквивалентные соединения звездой для генераторов , трансформаторов , нагрузок и двигателей . Обмотки статора практического трехфазного генератора, соединенного треугольником, показанные на следующем рисунке, можно преобразовать в эквивалентный генератор, соединенный звездой, используя шесть следующих формул ^[a] :

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{s1Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s2Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s2}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s3Y}}={\dfrac {Z_{\text{s2}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&V_{\text{s1Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}-{\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}\right)Z_{\text{s1Y}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}-{\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}\right)Z_{\text{s2Y}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}-{\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}\right)Z_{\text{s3Y}}\end{aligned}}}$

В результате получается следующая сеть. Нейтральный узел эквивалентной сети фиктивен, как и фазные векторные напряжения. Во время преобразования линейные векторные токи и линейные (или фазные или фазные) векторные напряжения не изменяются.

Если фактический дельта-генератор сбалансирован, то есть внутренние векторные напряжения имеют одинаковую величину и сдвинуты по фазе на 120° относительно друг друга, а три комплексных сопротивления одинаковы, то предыдущие формулы сводятся к четырем следующим:

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{sY}}={\dfrac {Z_{\text{s}}}{3}}\\&V_{\text{s1Y}}={\dfrac {V_{\text{s1}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}={\dfrac {V_{\text{s2}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}={\dfrac {V_{\text{s3}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\end{aligned}}}$

где для последних трех уравнений первый знак (+) используется, если последовательность фаз положительная/ abc или второй знак (−), если последовательность фаз отрицательная/ acb .

• Трансформация «звезда-сетка»
• Анализ сетей (электрические цепи)
• Электрическая сеть , трехфазное питание , многофазные системы для примеров соединений Y и Δ
• Двигатель переменного тока для обсуждения техники пуска Y-Δ

• Уильям Стивенсон, Элементы анализа энергосистемы, 3-е изд., McGraw Hill, Нью-Йорк, 1975, ISBN 0-07-061285-4 

• Преобразование звезда-треугольник: знания о резистивных цепях и резисторах
• Калькулятор преобразования звезда-треугольник